Exponentiell oder linear? Wachstum erkennen

Exponential or linear? Recognising growth

Mathematik Klasse 10 17 Aufgaben
ExponentiellFunktionenModellierenProzentKerncurriculum

Der Unterschied zwischen linearem und exponentiellem Wachstum ist der Wechsel vom Summanden zum Faktor: linear kommt in jedem Schritt gleich viel dazu, exponentiell wird in jedem Schritt mit demselben Faktor multipliziert (Confrey & Smith 1995: splitting als eigenständige multiplikative Operation, nicht wiederholte Addition). Die Wachstumsart zeigt sich an Wertetabellen; Prozentsatz und Faktor übersetzen sich ineinander (+3 % ⇒ ·1,03; −20 % ⇒ ·0,8 — nicht ·0,2). An Verdopplungs-Kontexten wird sichtbar, wie drastisch exponentielles Wachstum unterschätzt wird, wenn man linear weiterdenkt (Wagenaar & Sagaria 1975). Trägt das Modellieren realer Wachstums- und Abklingvorgänge im Anschlusstopic.

Voraussetzungen (2)

Prozentrechnung – Vertiefung
Klasse 7
›
Lineare Funktionen
Klasse 8
›

Ermöglicht (1)

Exponentielles Wachstum und Abnahme
Klasse 10
›
Leicht
Multiple Choice #1 12s ▶ Testen

Ein Bestand entwickelt sich: 100, 200, 400, 800. Welche Wachstumsart liegt vor?

  • ● Exponentielles Wachstum
  • ○ Lineares Wachstum
  • ○ Quadratisches Wachstum
Der Quotient benachbarter Werte ist konstant (jeweils mal 2) — das Kennzeichen exponentiellen Wachstums. Linear wäre eine konstante Differenz.
Multiple Choice #2 12s ▶ Testen

Ein Bestand entwickelt sich: 100, 150, 200, 250. Welche Wachstumsart liegt vor?

  • ● Lineares Wachstum
  • ○ Exponentielles Wachstum
  • ○ Quadratisches Wachstum
Die Differenz benachbarter Werte ist konstant (+50) — das ist lineares Wachstum. Exponentiell wäre ein konstanter Faktor, nicht ein konstanter Summand.
Multiple Choice #3 15s ▶ Testen

„Die Einwohnerzahl wächst jährlich um 3 %." Mit welchem Faktor multipliziert man pro Jahr?

  • ● 1,03
  • ○ 0,03
  • ○ 3
Um 3 % wachsen heißt auf 103 % — also mal 1,03. Der Faktor 0,03 würde fast alles vernichten.
Multiple Choice #4 15s ▶ Testen

„Der Wert nimmt jährlich um 20 % ab." Welcher Faktor gehört dazu?

  • ● 0,8
  • ○ 0,2
  • ○ −0,2
Um 20 % abnehmen heißt auf 80 % — mal 0,8. Wer mal 0,2 rechnet, verwechselt „um" mit „auf".
Lückentext #5 12s ▶ Testen

Der Faktor 1,07 pro Jahr entspricht einem jährlichen Wachstum um ___ %.

✓ Antwort: 7
1,07 = 107 % — also 7 % mehr als vorher.
Wahr / Falsch #6 12s ▶ Testen

Ein Bestand verdoppelt sich täglich: 5, 10, 20, 40. An jedem Tag kommt gleich viel dazu.

✓ Falsch
Die Zuwächse sind 5, 10, 20 — sie wachsen selbst mit. Gleich großer Zuwachs pro Schritt wäre lineares Wachstum; exponentiell heißt gleicher Faktor pro Zeitabschnitt.
Lückentext #7 20s ▶ Testen

Ein Bestand von 200 wächst pro Jahr mit dem Faktor 1,5. Nach 2 Jahren beträgt er ___.

✓ Antwort: 450
200 · 1,5 = 300 nach einem Jahr, 300 · 1,5 = 450 nach zwei Jahren.
Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Welche Situation beschreibt exponentielles Wachstum?

  • ● Eine Bakterienkultur wächst jede Stunde um 5 % ihres aktuellen Bestands.
  • ○ Ein Handyvertrag kostet jeden Monat 20 €.
  • ○ Ein Sparschwein bekommt jede Woche 5 € dazu.
Nur dort hängt der Zuwachs vom aktuellen Bestand ab — gleicher Faktor 1,05 pro Stunde statt gleicher Summand.
Multiple Choice #9 15s ▶ Testen

Eine Stadt hat 20 000 Einwohner; die Einwohnerzahl ändert sich mit dem Faktor 0,95 pro Jahr. Wie viele Einwohner sind es nach einem Jahr?

  • ● 19 000
  • ○ 21 000
  • ○ 1 000
Faktor 0,95 heißt: auf 95 % des Vorjahreswerts, also Abnahme um 5 % — 20 000 · 0,95 = 19 000. 21 000 wäre Wachstum um 5 %; 1 000 verwechselt „auf 95 %" mit „Abnahme um 95 %".
Mittel
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Seerosen bedecken einen Teich; ihre Fläche verdoppelt sich täglich. Am Tag 30 bedecken sie die ganze Wasserfläche. Wann war er halb bedeckt?

  • ● Am Tag 29.
  • ○ Am Tag 15.
  • ○ Am Tag 20.
Einen Verdopplungsschritt vor „voll" ist „halb voll". Wer Tag 15 tippt, denkt linear — der klassische Fehlschluss.
Multiple Choice #2 25s ▶ Testen

Angebot A: 1000 € sofort plus 100 € pro Tag, 30 Tage lang. Angebot B: 1 Cent, der sich 30 Tage lang täglich verdoppelt. Was bringt mehr?

  • ● Angebot B
  • ○ Angebot A
  • ○ Beide ungefähr gleich viel
0,01 € · 2²⁹ ≈ 5,4 Mio. €. Exponentielles Wachstum wird massiv unterschätzt, weil wir linear weiterdenken.
Wahr / Falsch #3 20s ▶ Testen

Zweimal hintereinander 50 % Wachstum ergibt insgesamt 100 % Wachstum.

✓ Falsch
Faktoren multiplizieren sich: 1,5 · 1,5 = 2,25 — insgesamt 125 % Wachstum, nicht 100 %.
Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

Ein Preis von 100 € steigt um 25 % und sinkt danach um 25 %. Was kostet die Ware am Ende?

  • ● 93,75 €
  • ○ 100 €
  • ○ 95 €
100 · 1,25 = 125, dann 125 · 0,75 = 93,75. Die 25 % beziehen sich auf verschiedene Grundwerte — deshalb landet man nicht wieder bei 100 €.
Multiple Choice #5 18s ▶ Testen

Welche Kurve gehört zu exponentiellem Wachstum?

  • ● Eine Kurve, die immer steiler ansteigt
  • ○ Eine steigende Gerade
  • ○ Eine Kurve, die immer flacher ansteigt
Weil pro Schritt mit demselben Faktor multipliziert wird, werden die Zuwächse selbst immer größer — die Kurve wird immer steiler. Eine Gerade wäre linear; immer flacher ansteigen tut z. B. eine Wurzelkurve.
Wahr / Falsch #6 20s ▶ Testen

Ein Bestand entwickelt sich: 100, 110, 121, 133,1. Er wächst linear.

✓ Falsch
Die Zuwächse sind 10, 11, 12,1 — sie wachsen mit. Der Quotient ist konstant 1,1, also exponentielles Wachstum, auch wenn es am Anfang fast wie +10 aussieht.
Wahr / Falsch #7 20s ▶ Testen

Jede neue Generation eines USB-Sticks fasst doppelt so viel wie die vorige – 1 GB, 2 GB, 4 GB und so weiter. Der Stick der 8. Generation fasst mehr als die Sticks der Generationen 1 bis 7 zusammen.

✓ Wahr
Die 8. Generation fasst 2⁷ = 128 GB, die Generationen 1 bis 7 zusammen 1 + 2 + 4 + … + 64 = 127 GB – 1 GB weniger. Beim Verdoppeln übertrifft jeder neue Schritt die Summe aller früheren.
Schwer
Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

In zwei gleichen Aquarien wächst die Fläche der Wasserlinsen jede Woche um 50 %. In Aquarium B werden sie 2 Wochen später eingesetzt, mit gleich viel Fläche wie anfangs in A. Wie ist das Verhältnis 8 Wochen nach dem Start in A, wenn beide ungebremst weiterwachsen?

  • ● In A ist 2,25-mal so viel Fläche wie in B
  • ○ In A ist doppelt so viel Fläche wie in B
  • ○ B hat A fast eingeholt
A ist 8 Wochen gewachsen, B 6 Wochen. Der Unterschied sind zwei Wachstumsschritte: 1,5 · 1,5 = 2,25 – und dieser Faktor bleibt, solange beide gleich schnell wachsen. „Doppelt so viel" zählt 50 % + 50 % zusammen, statt zweimal mit 1,5 zu multiplizieren. Einholen kann B erst, wenn A gebremst wird, etwa weil das Aquarium voll ist.