Vorzeichen in den Quadranten

Signs in Each Quadrant

Mathematik Klasse 10 28 Aufgaben
TrigonometrieEinheitskreisQuadranten

Am Einheitskreis ist cos α die x-Koordinate und sin α die y-Koordinate des Punktes P, deshalb hängt ihr Vorzeichen allein von dessen Lage ab: sin > 0 oberhalb der x-Achse, cos > 0 rechts der y-Achse. Im II. Quadranten ist cos also negativ und sin positiv — der häufige Fehler, cos dort für positiv zu halten, löst sich an der Koordinatenanschauung statt an einer Merkregel. So lassen sich stumpfe und überstumpfe Winkel später über ihren Referenzwinkel samt Vorzeichen bestimmen.

Bei 120° lag P links der y-Achse: , aber . Die beiden Achsen teilen den Einheitskreis in vier Viertel, die Quadranten, nummeriert gegen den Uhrzeigersinn: I rechts oben, II links oben, III links unten, IV rechts unten.

Bewege α durch alle vier Quadranten: Wo kippt das Vorzeichen von cos α, wo das von sin α? Notiere für jeden Quadranten beide Vorzeichen.

Weil die x-Koordinate und die y-Koordinate ist, entscheidet allein die Lage von P: Rechts der y-Achse ist positiv, oberhalb der x-Achse . Was du an den Anzeigen abgelesen hast, steht in dieser Tabelle:

Quadrant Winkelbereich
I
II
III
IV

Die Eselsbrücke: Im I. Quadranten ist alles positiv. Dann wandert man gegen den Uhrzeigersinn — zuerst wird negativ (II.), dann auch (III.), und schließlich wird wieder positiv (IV.).

Voraussetzungen (1)

Sinus und Kosinus als Koordinaten
Klasse 10
›

Ermöglicht (1)

Stumpfe und überstumpfe Winkel
Klasse 10
›
Leicht
Multiple Choice #1 10s ▶ Testen

Welches Vorzeichen hat sin 30°?

  • ● positiv
  • ○ negativ
  • ○ null
30° liegt im I. Quadranten, oberhalb der x-Achse — die y-Koordinate (sin) ist positiv.
Multiple Choice #2 10s ▶ Testen

Welches Vorzeichen hat cos 170°?

  • ● negativ
  • ○ positiv
  • ○ null
170° liegt im II. Quadranten, links der y-Achse — die x-Koordinate (cos) ist negativ.
Multiple Choice #3 10s ▶ Testen

Welches Vorzeichen hat sin 200°?

  • ● negativ
  • ○ positiv
  • ○ null
200° liegt im III. Quadranten, unterhalb der x-Achse — die y-Koordinate (sin) ist negativ.
Multiple Choice #4 10s ▶ Testen

Welches Vorzeichen hat cos 310°?

  • ● positiv
  • ○ negativ
  • ○ null
310° liegt im IV. Quadranten, rechts der y-Achse — die x-Koordinate (cos) ist positiv.
Multiple Choice #5 10s ▶ Testen

Welches Vorzeichen hat cos 95°?

  • ● negativ
  • ○ positiv
  • ○ null
95° liegt schon im II. Quadranten (knapp über 90°), links der y-Achse — cos ist negativ.
Multiple Choice #6 10s ▶ Testen

Welches Vorzeichen hat sin 260°?

  • ● negativ
  • ○ positiv
  • ○ null
260° liegt im III. Quadranten, unterhalb der x-Achse — sin ist negativ.
Multiple Choice #7 10s ▶ Testen

Welches Vorzeichen hat cos 250°?

  • ● negativ
  • ○ positiv
  • ○ null
250° liegt im III. Quadranten, links der y-Achse — cos ist negativ.
Multiple Choice #8 10s ▶ Testen

Welches Vorzeichen hat sin 345°?

  • ● negativ
  • ○ positiv
  • ○ null
345° liegt im IV. Quadranten, unterhalb der x-Achse — sin ist negativ.
Multiple Choice #9 10s ▶ Testen

In welchem Quadranten liegt der Winkel 210°?

  • ● III. Quadrant
  • ○ II. Quadrant
  • ○ IV. Quadrant
180° < 210° < 270°, also liegt der Winkel im III. Quadranten. Der II. Quadrant reicht nur bis 180°, der IV. beginnt erst bei 270°.
Multiple Choice #10 10s ▶ Testen

In welchem Quadranten liegt der Winkel 285°?

  • ● IV. Quadrant
  • ○ III. Quadrant
  • ○ I. Quadrant
270° < 285° < 360°, also liegt der Winkel im IV. Quadranten. Der III. Quadrant endet bei 270°; nahe 360° ist man noch nicht wieder im I. Quadranten.
Multiple Choice #11 10s ▶ Testen

In welchem Quadranten liegt der Winkel 100°?

  • ● II. Quadrant
  • ○ I. Quadrant
  • ○ III. Quadrant
90° < 100° < 180°, also liegt der Winkel im II. Quadranten. Der I. Quadrant endet bei 90°, der III. beginnt erst bei 180°.
Multiple Choice #12 15s ▶ Testen

In welchen Quadranten ist sin α negativ?

  • ● III. und IV. Quadrant
  • ○ I. und II. Quadrant
  • ○ II. und III. Quadrant
sin α ist die y-Koordinate; sie ist unterhalb der x-Achse negativ, also im III. und IV. Quadranten.
Multiple Choice #13 15s ▶ Testen

In welchen Quadranten ist cos α negativ?

  • ● II. und III. Quadrant
  • ○ I. und IV. Quadrant
  • ○ III. und IV. Quadrant
cos α ist die x-Koordinate; sie ist links der y-Achse negativ, also im II. und III. Quadranten.
Multiple Choice #14 20s ▶ Testen

An welchem Punkt sind sin α und cos α beide negativ?

  • ● (−0,6 | −0,8)
  • ○ (0,6 | −0,8)
  • ○ (−0,6 | 0,8)
Beide Koordinaten sind nur im III. Quadranten negativ — also bei (−0,6 | −0,8).
Wahr / Falsch #15 10s ▶ Testen

cos 150° ist positiv.

✓ Falsch
150° liegt im II. Quadranten, links der y-Achse — die x-Koordinate (cos) ist dort negativ.
Multiple Choice #16 15s ▶ Testen

Welche Vorzeichen haben sin α und cos α im II. Quadranten?

  • ● sin > 0 und cos < 0
  • ○ sin < 0 und cos > 0
  • ○ sin > 0 und cos > 0
Im II. Quadranten liegt P oberhalb der x-Achse (y = sin > 0) und links der y-Achse (x = cos < 0). Also ist der Sinus positiv und der Kosinus negativ.
Mittel
Lückentext #1 15s ▶ Testen

Im III. Quadranten gilt: cos α ist negativ und sin α ist ___

✓ Antwort: negativ
Im III. Quadranten liegt P links unten — beide Koordinaten sind negativ, also auch sin α.
Zahleneingabe #2 20s ▶ Testen

Gib die Nummer des Quadranten an, in dem der Winkel 200° liegt (1, 2, 3 oder 4).

✓ Antwort: 3
200° liegt zwischen 180° und 270°, also im III. Quadranten.
Lückentext #3 20s ▶ Testen

Der Winkel 305° liegt im ___ . Quadranten (Zahl 1 bis 4).

✓ Antwort: 4
305° liegt zwischen 270° und 360°, also im IV. Quadranten. Dort ist cos α positiv und sin α negativ.
Zahleneingabe #4 20s ▶ Testen

In welchem Quadranten (1 bis 4) sind sin α und cos α beide positiv?

✓ Antwort: 1
Im I. Quadranten liegt P rechts oben, also sind x und y beide positiv.
Lückentext #5 20s ▶ Testen

Im II. Quadranten gilt: sin α ist positiv und cos α ist ___

✓ Antwort: negativ
Links oben ist x negativ und y positiv, also cos α negativ und sin α positiv.
Lückentext #6 20s ▶ Testen

Im IV. Quadranten gilt: cos α ist positiv und sin α ist ___

✓ Antwort: negativ
Rechts unten ist x positiv und y negativ, also cos α positiv und sin α negativ.
Schwer
Zahleneingabe #1 25s ▶ Testen

Berechne sin 200° mit dem Taschenrechner (auf zwei Nachkommastellen).

✓ Antwort: -0.34
200° liegt im III. Quadranten, der Sinus ist dort negativ. sin 200° ≈ −0,34.
Zahleneingabe #2 25s ▶ Testen

Berechne cos 305° mit dem Taschenrechner (auf zwei Nachkommastellen).

✓ Antwort: 0.57
305° liegt im IV. Quadranten, der Kosinus ist dort positiv. cos 305° ≈ 0,57.
KI-bewertete Rechnung #3 240s ▶ Testen

Zeichne einen Einheitskreis und trage die Punkte für 60°, 150°, 200° und 320° ein. Lege dann eine Tabelle an mit den Spalten Winkel, Quadrant, Vorzeichen von sin α, Vorzeichen von cos α und fülle sie für diese vier Winkel aus. Schreibe deine Lösung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: 60° → I. Quadrant, sin +, cos +. 150° → II. Quadrant, sin +, cos −. 200° → III. Quadrant, sin −, cos −. 320° → IV. Quadrant, sin −, cos +.
cos α ist die x-Koordinate, sin α die y-Koordinate. Wer den Punkt einzeichnet, liest die Vorzeichen direkt an der Lage ab und muss sich keine Tabelle merken.
Zahleneingabe #4 35s ▶ Testen

Ein Winkel liegt im III. Quadranten und hat den Bezugswinkel 25° zur x-Achse. Wie groß ist α (in Grad)?

✓ Antwort: 205
Im III. Quadranten gilt α = 180° + Bezugswinkel = 180° + 25° = 205°.
Zahleneingabe #5 30s ▶ Testen

Berechne sin 40° mit dem Taschenrechner (auf zwei Nachkommastellen) und achte auf das Vorzeichen.

✓ Antwort: 0.64
40° liegt im I. Quadranten, also ist der Sinus positiv - sin 40° ≈ 0,64.
Zahleneingabe #6 30s ▶ Testen

Berechne cos 140° mit dem Taschenrechner (auf zwei Nachkommastellen).

✓ Antwort: -0.77
140° liegt im II. Quadranten, dort ist der Kosinus negativ - cos 140° ≈ −0,77.