Hypothesentest

Hypothesis Test

Mathematik Klasse 13 10 Aufgaben
WahrscheinlichkeitStochastikHypothesentestSignifikanztestKerncurriculum

Ein Signifikanztest entscheidet nicht, ob die Nullhypothese wahr ist, sondern nur, ob die Daten unter ihr so unwahrscheinlich sind, dass man sie verwirft. Vorab legt man Nullhypothese H₀, Gegenhypothese H₁ und ein Signifikanzniveau α (etwa 5 %) fest; daraus ergibt sich ein Ablehnungsbereich, in den das Stichprobenergebnis fällt oder nicht. Ein- und zweiseitige Tests unterscheiden sich darin, ob H₁ eine Richtung angibt. Der Fehler 1. Art verwirft ein wahres H₀, der Fehler 2. Art behält ein falsches H₀ bei — beide lassen sich nicht gleichzeitig beliebig klein machen.

Voraussetzungen (2)

Binomialverteilung — Formel, Erwartungswert und Varianz
Klasse 12
›
Normalverteilung
Klasse 13
›
Leicht
Lückentext #1 20s ▶ Testen

Liegt die beobachtete Trefferzahl im ___-bereich, so wird die Nullhypothese abgelehnt.

✓ Antwort: Ablehnungs
Der Ablehnungsbereich (kritischer Bereich) enthält die Werte, die unter H₀ so unwahrscheinlich sind, dass man H₀ verwirft. Sonst liegt der Wert im Annahmebereich.
Zahleneingabe #2 20s ▶ Testen

Eine Münze wird 100-mal geworfen, um die Hypothese H₀ p = 0,5 zu testen. Berechne den Erwartungswert der Trefferzahl unter H₀ (E = n · p).

✓ Antwort: 50
Unter H₀ gilt E(X) = n · p = 100 · 0,5 = 50. Der Ablehnungsbereich liegt bei deutlich vom Erwartungswert 50 abweichenden Trefferzahlen.
Mittel
Wahr / Falsch #1 25s ▶ Testen

Wenn die Nullhypothese H₀ abgelehnt wird, ist damit bewiesen, dass die Gegenhypothese H₁ wahr ist.

✓ Falsch
Falsch. Ein Test beweist nichts. Eine Ablehnung von H₀ bedeutet nur, dass das Ergebnis unter H₀ unwahrscheinlich genug war (unter dem Signifikanzniveau); es bleibt eine Restwahrscheinlichkeit für einen Fehler 1. Art.
Wahr / Falsch #2 25s ▶ Testen

Wird H₀ nicht abgelehnt, so ist H₀ damit bewiesen.

✓ Falsch
Falsch. "H₀ nicht ablehnen" heißt nur, dass die Daten nicht stark genug gegen H₀ sprechen – nicht, dass H₀ stimmt. Ein Test kann H₀ niemals beweisen, nur Indizien dagegen sammeln.
Multiple Choice #3 30s ▶ Testen

Was beschreibt der Fehler 1. Art?

  • ● H₀ wird abgelehnt, obwohl H₀ in Wirklichkeit gilt.
  • ○ H₀ wird beibehalten, obwohl H₁ in Wirklichkeit gilt.
  • ○ H₁ wird abgelehnt, obwohl H₁ gilt.
  • ○ Beide Hypothesen werden gleichzeitig abgelehnt.
Fehler 1. Art (α-Fehler): Man verwirft eine zutreffende Nullhypothese. Der Fehler 2. Art (β-Fehler) ist das Gegenstück: H₀ wird beibehalten, obwohl H₁ gilt.
Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

Bei einem zweiseitigen Test mit Signifikanzniveau α = 5 % wird der Ablehnungsbereich aufgeteilt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit in jedem der beiden Randbereiche?

  • ● jeweils 2,5 %
  • ○ jeweils 5 %
  • ○ jeweils 1 %
  • ○ jeweils 10 %
Beim zweiseitigen Test wird α gleichmäßig auf beide Enden verteilt, also 2,5 % links und 2,5 % rechts.
Schwer
Wahr / Falsch #1 30s ▶ Testen

Das Signifikanzniveau α (z. B. 5 %) ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Nullhypothese wahr ist.

✓ Falsch
Falsch. α ist die Wahrscheinlichkeit, H₀ fälschlich abzulehnen, OBWOHL sie gilt (Fehler 1. Art). Es ist keine Aussage darüber, ob H₀ wahr ist – eine Hypothese ist wahr oder falsch, nicht "mit Wahrscheinlichkeit α".
Multiple Choice #2 35s ▶ Testen

Ein Hersteller behauptet, höchstens 10 % seiner Bauteile seien defekt. Du willst diese Behauptung mit einem Test überprüfen. Wie lauten sinnvoll H₀ und H₁?

  • ● H₀ p ≤ 0,10 (Behauptung gilt) gegen H₁ p > 0,10 (Ausschussquote ist höher)
  • ○ H₀ p = 0,5 gegen H₁ p ≠ 0,5
  • ○ H₀ p > 0,10 gegen H₁ p < 0,10
  • ○ H₀ und H₁ sind frei wählbar, das Ergebnis ist dasselbe
Die zu widerlegende Behauptung wird zur Nullhypothese. Der Test kann sie nur verwerfen (Indiz für H₁ p > 0,10), nicht bestätigen. Es handelt sich um einen rechtsseitigen Test.
Wahr / Falsch #3 30s ▶ Testen

Verkleinert man das Signifikanzniveau α (z. B. von 5 % auf 1 %), so wird der Ablehnungsbereich kleiner.

✓ Wahr
Richtig. Ein kleineres α verlangt stärkere Evidenz gegen H₀, der Ablehnungsbereich schrumpft. Damit sinkt der Fehler 1. Art, der Fehler 2. Art (β) steigt aber tendenziell – ein Zielkonflikt.
Wahr / Falsch #4 30s ▶ Testen

Ein nicht signifikantes Ergebnis (H₀ wird beibehalten) bedeutet, dass der untersuchte Effekt mit Sicherheit nicht existiert.

✓ Falsch
Falsch. Ein nicht signifikantes Ergebnis kann auch an einer zu kleinen Stichprobe liegen (geringe Teststärke, hoher β-Fehler). "Kein Nachweis eines Effekts" ist nicht dasselbe wie "Nachweis, dass kein Effekt existiert".