Der Rest im Sachkontext — was tun wir mit ihm?
The Remainder in Context — What Do We Do With It?
Derselbe Rechenausdruck 17 : 5 = 3 Rest 2 ergibt in einer Sachaufgabe je nach gestellter Frage eine andere Antwort: Braucht jedes Kind einen Platz, wird aufgerundet (4 Autos). Zählen nur volle Einheiten, wird abgerundet (3 volle Tüten). Manchmal ist der Rest selbst die gesuchte Zahl (2 Bonbons bleiben übrig), manchmal spielt er für die gestellte Frage gar keine Rolle. Der Abschnitt konfrontiert die verbreitete Gewohnheit, bei Sachaufgaben blind den Quotienten hinzuschreiben, ohne die Frage zu prüfen (Silver, Shapiro & Deutsch 1993; Verschaffel, Greer & De Corte 2000, "suspension of sense-making"). Er ist die Deutungsebene des Clusters division-with-remainder und bereitet die Sachaufgaben mit Rest im Zahlenraum bis 1000 (word-problems-to-1000) und die schriftliche Division mit Rest vor.
Können & Üben
Vorhersagen — Verteilen — Erklären: Warum ist 17 : 5 nicht 2 Rest 7?
workshop30 min · once
klassenraum, gruppentisch
Eine Predict–Observe–Explain-Werkstatt, die den „Rest ist größer als der Divisor"-Fehler sichtbar macht und die Deutung des Rests im Sachkontext an echtem Material erprobt. Jedes Kind bekommt Wendeplättchen (oder ein Divisionsbrett mit Reagenzgläsern) für das Aufteilen/Verteilen und eine kleine Sammlung von Sachaufgaben-Karten für den dritten Teil. Ablauf in drei Schritten pro Runde: (1) VORHERSAGEN — die Begleitperson schreibt 17 : 5 an. Jedes Kind sagt oder schreibt seine Vorhersage für Quotient und Rest auf, ohne zu legen. Wird „2 Rest 7" genannt, wird das ausdrücklich mitnotiert — es ist kein Versehen, sondern genau der Denkfehler, den die Gruppe gleich prüft. (2) VERTEILEN/AUFTEILEN — die Kinder legen 17 Plättchen und bilden Fünfergruppen (Divisionsbrett: 17 Plättchen stellenweise auf 5 Röhrchen verteilen), bis keine ganze Gruppe mehr geht. Wer bei zwei Gruppen und einem Haufen von 7 aufgehört hat, soll den Haufen genau zählen und vergleichen: „Passt da nicht noch eine ganze Gruppe rein?" Die Gruppe legt die dritte Gruppe nach und stellt fest: 3 Gruppen, Rest 2 — und 2 ist kleiner als 5, jetzt stimmt es. Zur Probe: 3 · 5 + 2 = 17. Danach wird dieselbe Rechnung in einen Sachkontext gesetzt: „17 Kinder, Autos zu 5 — wie viele Autos für alle?" Die Kinder legen wieder, merken aber, dass 2 übrige Kinder trotzdem ein Auto brauchen — 4 Autos, nicht 3. Eine zweite Sachaufgabe-Karte fragt stattdessen nach vollen Tüten oder nach dem Rest selbst, sodass die Gruppe direkt vergleicht, wie unterschiedlich die Antwort ausfällt, obwohl die Rechnung gleich bleibt. (3) ERKLÄREN — ein Kind formuliert die Regel in eigenen Worten: „Der Rest muss kleiner sein als der Divisor — sonst geht noch eine Gruppe mehr." Ein zweites Kind erklärt an der Sachaufgabe-Karte, warum hier auf- oder abgerundet wurde oder der Rest selbst die Antwort war. Die Begleitperson führt nicht vor, sondern hört zu und stellt nur Rückfragen: „Wie groß ist dein Rest? Ist er kleiner als der Divisor? Was genau hat die Aufgabe gefragt?" Eine Beobachtung pro Kind wandert ins Lerntagebuch. Als handelnder Ausgleich zur reinen Rechenübung am Papier.
maths-manipulatives-lead
2–6
17 Kinder, Autos zu je 5: die Rechnung 17 : 5 = 3 Rest 2 ist fertig. Aber die Antwort auf eine Sachaufgabe ist noch nicht automatisch fertig — die hängt davon ab, was genau gefragt ist. Bei genau dieser einen Rechnung gibt es vier ganz verschiedene richtige Antworten, je nach Frage:
-
Wie viele Autos braucht ihr, damit alle mitfahren? — 3
volle Autos reichen nur fĂĽr 15 Kinder. Die restlichen 2 brauchen auch ein
Auto, auch wenn es nicht voll ist. Der
Quotient wirdaufgerundet : 4 Autos. -
Wie viele volle FĂĽnfer-TĂĽten Bonbons bekommt ihr aus 17
Bonbons? — Eine Tüte zählt nur, wenn sie wirklich voll ist. Die 2
ĂĽbrigen Bonbons reichen nicht fĂĽr eine vierte TĂĽte. Der Quotient wird
abgerundet — genauer: hier bleibt er einfach, wie er ist: 3 volle Tüten. -
Wie oft passt die 5 ganz in die 17 hinein? — Eine reine
Rechenfrage ohne Autos oder TĂĽten. Gefragt ist nur das Wie-oft; der
Rest von 2 spielt für diese Frage gar keine Rolle: 3-mal. - Wie viele Bonbons bleiben übrig, wenn ihr 3 volle Tüten gepackt habt? — Hier ist genau der Rest die gesuchte Zahl: 2 Bonbons.
Auffällig: bei „volle Tüten" und „wie oft passt rein" kommt zufällig dieselbe Zahl heraus (3) — aber aus verschiedenen Gründen. Einmal, weil eine unvollständige Tüte nicht als „voll" zählt. Einmal, weil der Rest für die gestellte Frage überhaupt nicht gebraucht wird. Deshalb hilft es nicht, sich eine Zahl zu merken — du musst jedes Mal die Frage lesen.
Sortiere jetzt selbst: Wird hier aufgerundet, abgerundet, der Rest ignoriert, oder ist der Rest die Antwort?
- Aufrunden
- Abrunden
- Rest ignorieren
- Rest ist die Antwort
- 17 Kinder, Autos zu 5: Wie viele Autos braucht ihr fĂĽr alle?
- 22 Personen, ein Boot fasst 6: Wie viele Boote braucht ihr fĂĽr alle?
- 26 Bonbons, TĂĽten zu 5: Wie viele volle TĂĽten bekommt ihr?
- 31 Eier, Kartons zu 6: Wie viele volle Kartons fĂĽllt ihr?
- Wie oft passt die 5 ganz in die 17 hinein?
- Wie oft passt die 4 ganz in die 30 hinein?
- Ihr packt 3 volle TĂĽten aus 17 Bonbons: Wie viele Bonbons bleiben ĂĽbrig?
- 37 Blumen werden zu Fünfersträußen gebunden: Wie viele Blumen bleiben übrig?
Die eine feste Regel bleibt: Rechne zuerst ganz normal mit Rest — und achte darauf, dass der Rest kleiner als der Divisor ist. Erst danach entscheidest du anhand der Frage, was aus Quotient und Rest wird.
Voraussetzungen (1)
34 Ă„pfel werden in Kisten zu je 8 gepackt. Wie viele volle Kisten gibt es?
38 Muscheln werden in TĂĽten zu je 6 gepackt. Wie viele Muscheln bleiben ĂĽbrig?
45 Eier werden in Kartons zu je 10 gepackt. Wie viele Kartons werden voll?
30 Kinder fahren mit Autos, in jedes passen 4. Wie viele Autos braucht man, damit alle mitfahren?
45 Eier kommen in Schachteln zu 6. Wie viele Schachteln werden voll?
19 Kinder wollen Boot fahren, ein Boot fasst 4 Kinder. Wie viele Boote braucht ihr, damit alle mitfahren?
Ihr packt Tüten mit je 4 Keksen. Aus 22 Keksen — wie viele volle Tüten bekommt ihr?
25 Personen fahren mit Kleinbussen zu je 8 Plätzen. Ein Kind rechnet 25 : 8 = 3 Rest 1 und sagt: „3 Busse reichen." Wie viele Busse braucht ihr wirklich?
36 Stifte kommen in Becher zu je 5. Ben rechnet 36 : 5 = 7 Rest 1 und sagt: „8 volle Becher, denn 7 + 1 = 8." Stimmt das?
Ihr packt aus 29 Muscheln volle FĂĽnfertĂĽten. Wie viele Muscheln bleiben ĂĽbrig?
Alle drei Aufgaben fĂĽhren auf 27 : 4 = 6 Rest 3. Bei welcher Aufgabe musst du AUFRUNDEN?
28 Kinder setzen sich auf Bänke, auf jede passen 5. Wie viele Bänke sind voll besetzt?
Alle drei Aufgaben fĂĽhren auf 27 : 4 = 6 Rest 3. Bei welcher Aufgabe musst du ABRUNDEN?
29 Kinder fahren mit Kleinbussen zu je 7 Plätzen. Lea rechnet 29 : 7 = 4 Rest 1 und sagt: „Wir brauchen 5 Busse." Stimmt das?
33 Kinder wollen Boot fahren, in ein Boot passen 6 Kinder. Wie viele Boote braucht ihr, damit alle mitfahren?
Aus 50 Bonbons werden TĂĽten mit je 7 Bonbons gepackt. Wie viele volle TĂĽten werden es?
41 Murmeln werden gleichmäßig auf 6 Kinder verteilt. Wie viele Murmeln bleiben übrig?
34 Kinder setzen sich auf Bänke, auf jede Bank passen 5. Wie viele Bänke sind ganz voll?
30 Kinder fahren mit Autos. In jedes Auto passen 4 Kinder. Wie viele Autos werden voll, und wie viele Kinder bleiben ĂĽbrig?
45 Eier kommen in Schachteln zu 6. Wie viele Schachteln werden voll, und wie viele Eier bleiben ĂĽbrig?