Die Regel für den Rest — kleiner als der Divisor
The Rule for the Remainder — Smaller Than the Divisor
Bei der Division mit Rest ist der Rest immer kleiner als der Divisor. Der häufigste Fehler verletzt genau das: Man hört zu früh auf zu verteilen und schreibt einen Rest hin, der noch mindestens so groß ist wie der Divisor ("17 : 5 = 2 Rest 7"). Weil 7 größer als 5 ist, geht noch eine ganze Gruppe mehr: 7 − 5 = 2, richtig also 3 Rest 2. Die Frage "Ist der Rest kleiner als der Divisor?" ist der eingebaute Test, mit dem sich dieser Fehler selbst finden lässt. Sie ist die Selbstkontrolle, die die Deutung des Rests in Sachaufgaben (rest-im-sachkontext) und später die schriftliche Division mit Rest voraussetzen.
Können & Üben
Vorhersagen — Verteilen — Erklären: Warum ist 17 : 5 nicht 2 Rest 7?
workshop30 min · once
klassenraum, gruppentisch
Eine Predict–Observe–Explain-Werkstatt, die den „Rest ist größer als der Divisor"-Fehler sichtbar macht und die Deutung des Rests im Sachkontext an echtem Material erprobt. Jedes Kind bekommt Wendeplättchen (oder ein Divisionsbrett mit Reagenzgläsern) für das Aufteilen/Verteilen und eine kleine Sammlung von Sachaufgaben-Karten für den dritten Teil. Ablauf in drei Schritten pro Runde: (1) VORHERSAGEN — die Begleitperson schreibt 17 : 5 an. Jedes Kind sagt oder schreibt seine Vorhersage für Quotient und Rest auf, ohne zu legen. Wird „2 Rest 7" genannt, wird das ausdrücklich mitnotiert — es ist kein Versehen, sondern genau der Denkfehler, den die Gruppe gleich prüft. (2) VERTEILEN/AUFTEILEN — die Kinder legen 17 Plättchen und bilden Fünfergruppen (Divisionsbrett: 17 Plättchen stellenweise auf 5 Röhrchen verteilen), bis keine ganze Gruppe mehr geht. Wer bei zwei Gruppen und einem Haufen von 7 aufgehört hat, soll den Haufen genau zählen und vergleichen: „Passt da nicht noch eine ganze Gruppe rein?" Die Gruppe legt die dritte Gruppe nach und stellt fest: 3 Gruppen, Rest 2 — und 2 ist kleiner als 5, jetzt stimmt es. Zur Probe: 3 · 5 + 2 = 17. Danach wird dieselbe Rechnung in einen Sachkontext gesetzt: „17 Kinder, Autos zu 5 — wie viele Autos für alle?" Die Kinder legen wieder, merken aber, dass 2 übrige Kinder trotzdem ein Auto brauchen — 4 Autos, nicht 3. Eine zweite Sachaufgabe-Karte fragt stattdessen nach vollen Tüten oder nach dem Rest selbst, sodass die Gruppe direkt vergleicht, wie unterschiedlich die Antwort ausfällt, obwohl die Rechnung gleich bleibt. (3) ERKLÄREN — ein Kind formuliert die Regel in eigenen Worten: „Der Rest muss kleiner sein als der Divisor — sonst geht noch eine Gruppe mehr." Ein zweites Kind erklärt an der Sachaufgabe-Karte, warum hier auf- oder abgerundet wurde oder der Rest selbst die Antwort war. Die Begleitperson führt nicht vor, sondern hört zu und stellt nur Rückfragen: „Wie groß ist dein Rest? Ist er kleiner als der Divisor? Was genau hat die Aufgabe gefragt?" Eine Beobachtung pro Kind wandert ins Lerntagebuch. Als handelnder Ausgleich zur reinen Rechenübung am Papier.
maths-manipulatives-lead
2–6
Finn rechnet 23 : 6. Er zieht ab: 23 − 6 = 17, 17 − 6 = 11, 11 − 6 = 5. Drei Gruppen sind fertig. Er schreibt: 23 : 6 = 3 Rest 5. Stimmt das? Kurz nachgedacht: 5 ist kleiner als 6 — passt, hier ist wirklich Schluss.
Jetzt rechnet Finn 23 : 6 noch einmal, diesmal schneller, und hört schon nach zwei Abzügen auf: 23 − 6 = 17, 17 − 6 = 11. Er schreibt: 23 : 6 = 2 Rest 11. Was ist diesmal anders?
Elf ist fast doppelt so groß wie sechs! In den elf steckt noch eine ganze
Die eingebaute Prüfung
Genau deshalb gilt die feste Regel: Der
Für 23 : 6 heißt das: 11 ist nicht kleiner als 6, also weiter — 11 − 6 = 5, Quotient von 2 auf 3 erhöht. Richtig ist 23 : 6 = 3 Rest 5, und die Probe bestätigt es: 3 · 6 + 5 = 23. ✓
Voraussetzungen (1)
Ermöglicht (2)
Jana rechnet 20 : 5 = 3 Rest 5. Ist das fertig gerechnet?
Welche Division ist fertig gerechnet?
Ein Kind rechnet 29 : 4 = 5 Rest 9 und hört auf. Rechne fertig: 29 : 4 = ? Rest 1
Welche Division ist fertig gerechnet?
Ein Kind rechnet 23 : 4 = 4 Rest 7. Ist das fertig gerechnet?
Ein Kind rechnet 25 : 3 = 8 Rest 1. Ist das fertig gerechnet?
Welcher Rest kann bei „geteilt durch 4" vorkommen?
Welcher Rest kann bei „geteilt durch 6" vorkommen?
Welcher Rest kann bei „geteilt durch 9" vorkommen?
Welcher Rest kann bei „geteilt durch 7" vorkommen?
Lina rechnet 32 : 7 = 3 Rest 11. Wie geht es richtig weiter?
Jemand rechnet 31 : 7 = 2 Rest 17 und hört auf. Rechne fertig: 31 : 7 = ? Rest 3
Für 19 : 4 schreibt Ben „3 Rest 7" und Mia „4 Rest 3". Sind beide Ergebnisse richtig?
Welche Division ist fertig gerechnet?
Ein Kind rechnet 26 : 4 = 5 Rest 6. Wie geht es richtig weiter?
Ein Kind rechnet 33 : 5 = 5 Rest 8. Wie geht es richtig weiter?