Die Häufigkeit nähert sich der Wahrscheinlichkeit
Frequency Approaches Probability
Über viele Wiederholungen nähert sich die gemessene Häufigkeit der theoretischen Wahrscheinlichkeit an — eine kindgerechte Vorstufe des Gesetzes der großen Zahlen. Bei wenigen Würfen bleibt der gemessene Anteil noch lumpig und schwankt stark; bei einem Glücksrad mit zwei gleich großen Feldern pendelt er sich über viele Drehungen immer enger um die 50-%-Marke ein. So löst sich der Glücksspiel-Trugschluss auf: Der Zufall „gleicht sich nicht aus", die Häufigkeit nähert sich nur der Wahrscheinlichkeit.
Können & Üben
Vorhersagen — Drehen — Erklären: Hat das Rad ein Gedächtnis?
workshop25 min · once
klassenraum, gruppentisch
Eine Predict–Observe–Explain-Werkstatt, die den Glücksspiel-Trugschluss in beiden Hälften sichtbar macht: Weder hat das Rad ein Gedächtnis, noch sagt eine kurze Serie schon etwas über die wahre Wahrscheinlichkeit. Gebraucht wird ein echtes Glücksrad mit zwei gleich großen Feldern (ersatzweise ein Würfel — gerade Zahl gegen ungerade — oder eine Münze), eine Strichliste auf Papier und, falls vorhanden, ein Wecker oder Timer. Ablauf in drei Schritten. (1) VORHERSAGEN — vor der ersten Serie: Eine Person dreht fünfmal hintereinander und liest laut vor, was kommt. Sobald viermal dieselbe Farbe gefallen ist, hält die Gruppe an und jedes Kind sagt seine Vorhersage für den fünften Dreh — UND die Begründung dafür. Die typische Fehlvorhersage ("Jetzt MUSS die andere Farbe kommen, die war schon so oft dran") wird ausdrücklich mitnotiert, nicht korrigiert. Danach wird gedreht und das tatsächliche Ergebnis mit den Vorhersagen verglichen. (2) DREHEN — jetzt drehen die Kinder in zwei Runden. Runde A: fünf Drehungen, Strichliste führen, auszählen. Runde B: dieselbe Übung noch einmal von vorn (Strichliste zurücksetzen), wieder fünf Drehungen, auszählen. Die beiden Fünferergebnisse werden nebeneinandergestellt — meist sehen sie ganz unterschiedlich aus (z. B. 3:2 und 4:1), obwohl dasselbe faire Rad benutzt wurde. Dann folgt Runde C: eine lange Serie von mindestens 30 Drehungen ohne Zwischenstopp, mit fortlaufender Strichliste. Nach jeder zehnten Drehung wird kurz der Anteil der Hauptfarbe geschätzt und aufgeschrieben, sodass die Gruppe sieht, wie sich der Anteil über die Zeit einer 50/50-Verteilung annähert. (3) ERKLÄREN — ein Kind aus jeder Gruppe erklärt in eigenen Worten zwei Regeln: erstens "Das Rad hat kein Gedächtnis — jeder Dreh ist unabhängig vom vorigen, auch nach einer langen Serie derselben Farbe." Zweitens "Eine kurze Serie beweist nichts — erst über viele Drehungen nähert sich die Häufigkeit der Wahrscheinlichkeit an." Die Gruppe vergleicht ihre Runde A/B-Ergebnisse (lumpig, unterschiedlich) mit ihrer Runde-C-Kurve (wird mit mehr Drehungen glatter) als handfesten Beleg für beide Regeln. Die Begleitperson führt nicht vor, sondern hört zu und stellt nur Rückfragen: "Warum, glaubst du, kommt jetzt die andere Farbe? Was hat dich bei Runde A und B überrascht? Was ist bei Runde C anders gelaufen als bei A und B? Kannst du einem Kind erklären, das noch denkt, das Rad müsse sich an die letzten Drehungen 'erinnern'?" Eine Beobachtung pro Kind wandert ins Lerntagebuch.
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Du weiĂźt jetzt: Eine kurze Serie am
Rot und Blau sind bei jedem Dreh
Man nennt den gemessenen Anteil die Häufigkeit. Die Häufigkeit nähert sich mit immer mehr Versuchen der Wahrscheinlichkeit an — aber erst über viele Wiederholungen, nie in einer kurzen Serie. Das ist die Auflösung des Glücksspiel-Trugschlusses: Nicht jeder einzelne Dreh "korrigiert" die bisherigen Ergebnisse — sondern erst die schiere Menge an Drehungen sorgt dafür, dass sich alles ausgleicht.
Voraussetzungen (1)
Du drehst ein faires 50/50-Rad nur fünfmal. Welches Ergebnis ist dabei gut möglich?
Je öfter du ein faires Rad drehst, desto dichter liegt der Rot-Anteil bei 50 %.
Ein faires 50/50-Rad zeigt nach 10 Drehungen 7-mal Rot (70 %). Es wird bis 200 Drehungen weitergedreht. Welcher Rot-Anteil ist am Ende am ehesten zu erwarten?
Bei sehr vielen Drehungen nähert sich die ___ (der gemessene Anteil) der Wahrscheinlichkeit an.
Noah dreht ein faires Rad fünfmal und bekommt 4-mal Rot. Er sagt: „Das beweist, dass Rot wahrscheinlicher ist als Blau.“ Wie kann Noah seine Behauptung wirklich prüfen?