Gleicher Flächeninhalt, verschiedener Umfang
Same Area, Different Perimeter
Gleicher Flächeninhalt bedeutet nicht gleicher Umfang — die Umkehrung der ebenso falschen Annahme, gleicher Umfang bedeute gleiche Fläche. Dieselben 12 Einheitsquadrate bilden ein Rechteck 1·12, 2·6 oder 3·4, mit Umfängen von 26 cm, 16 cm und 14 cm. Der Flächeninhalt bleibt 12 cm², die Randlänge ändert sich stark. Bei gegebener Fläche hat das quadratischste Rechteck den kleinsten Umfang.
Können & Üben
Seil und Kästchen — Vorhersagen, Legen, Erklären
workshop45 min · weekly
klassenraum, lernzeit-mathe
Ein Predict–Observe–Explain zum Anfassen. Jedes Kind bekommt ein 24 cm langes Wollfaden-Stück (zu einer Schlaufe geknotet), Karopapier und 24 gleiche Plättchen (oder Cent-Stücke) als Einheitsquadrate. 1) VORHERSAGEN — Runde eins zum Umfang: Die Kinder legen die Schlaufe als langes schmales Rechteck aufs Karopapier. Frage in die Runde „Wenn ich die Schlaufe zu einem fast quadratischen Rechteck umforme — bleibt der Faden gleich lang? Und passt dann mehr, weniger oder gleich viel Fläche hinein?" Jedes Kind kreuzt auf einem Zettel an: mehr / weniger / gleich. (Die meisten tippen auf „gleich".) 2) LEGEN & BEOBACHTEN: Die Schlaufe mehrmals umformen — 1·11, 3·9, 6·6 — und jedes Mal das Innere mit Plättchen auslegen und die Quadrate zählen. Der Faden (Umfang) bleibt immer gleich lang; die Kästchenzahl (Fläche) wächst von 11 auf 36. Danach die Umkehrung mit genau 12 Plättchen: dieselbe Fläche als 1·12, 2·6, 3·4 legen und den Faden außen herum drumlegen — der Faden wird jedes Mal anders lang. 3) ERKLÄREN: Im Kreis vergleicht jedes Kind seine Vorhersage mit dem Ergebnis. Leitfrage „Wieso kann der Umfang gleich bleiben, während die Fläche sich ändert?" Hinführen auf: Umfang misst die Randlinie, Fläche misst das Innere — zwei verschiedene Maße, das eine sagt nichts über das andere. Zum Abschluss am Bildschirm den Reshaper öffnen und beide Modi gegenüberstellen: fester Umfang, wachsende Fläche — feste Fläche, wechselnder Umfang.
guide
3–12
Jetzt drehen wir die Frage um. Diesmal halten wir den
Mit den 12 Quadraten kannst du verschiedene Rechtecke legen — man nennt sie die Faktorpaare von 12: 1 · 12, 2 · 6 und 3 · 4. Steck die Quadrate mit ◀ und ▶ um und beobachte die gelbe Randlinie:
- 1 · 12 (ein langer Streifen): U = 2 · (1 + 12) = 26 cm
- 2 · 6: U = 2 · (2 + 6) = 16 cm
- 3 · 4 (fast quadratisch): U = 2 · (3 + 4) = 14 cm
Immer 12 Quadrate Fläche — aber der
Voraussetzungen (1)
Ermöglicht (1)
Zwei Rechtecke mit dem gleichen Flächeninhalt haben immer den gleichen Umfang.
Welche Rechtecke haben alle den Flächeninhalt 24 cm²?
Ein Rechteck aus 16 Einheitsquadraten ist als langer Streifen 1 · 16 gelegt. Wie groß ist sein Umfang (in cm)?
Dieselben 16 Quadrate werden zum Quadrat 4 · 4 umgelegt. Wie groß ist jetzt der Umfang (in cm)?
Drei Rechtecke haben alle den Flächeninhalt 36 cm². Welches hat den kleinsten Umfang?
Herr Bauer will ein Beet mit 20 m² Fläche als Rechteck 2 m · 10 m anlegen und einen Zaun rundherum ziehen. Wie viele Meter Zaun braucht er?