Gleicher Umfang, verschiedener Flächeninhalt
Same Perimeter, Different Area
„Gleicher Umfang bedeutet gleicher Flächeninhalt" ist falsch. Hält man den Umfang fest und formt dasselbe Rechteck um, so wird der Flächeninhalt kleiner, je schmaler es wird; das quadratischste Rechteck hat bei gegebenem Umfang die größte Fläche. Bei Umfang 24 cm reicht die Fläche von 11 cm² (1·11) bis 36 cm² (6·6) — gleicher Rand, ganz verschiedener Inhalt.
Können & Üben
Seil und Kästchen — Vorhersagen, Legen, Erklären
workshop45 min · weekly
klassenraum, lernzeit-mathe
Ein Predict–Observe–Explain zum Anfassen. Jedes Kind bekommt ein 24 cm langes Wollfaden-Stück (zu einer Schlaufe geknotet), Karopapier und 24 gleiche Plättchen (oder Cent-Stücke) als Einheitsquadrate. 1) VORHERSAGEN — Runde eins zum Umfang: Die Kinder legen die Schlaufe als langes schmales Rechteck aufs Karopapier. Frage in die Runde „Wenn ich die Schlaufe zu einem fast quadratischen Rechteck umforme — bleibt der Faden gleich lang? Und passt dann mehr, weniger oder gleich viel Fläche hinein?" Jedes Kind kreuzt auf einem Zettel an: mehr / weniger / gleich. (Die meisten tippen auf „gleich".) 2) LEGEN & BEOBACHTEN: Die Schlaufe mehrmals umformen — 1·11, 3·9, 6·6 — und jedes Mal das Innere mit Plättchen auslegen und die Quadrate zählen. Der Faden (Umfang) bleibt immer gleich lang; die Kästchenzahl (Fläche) wächst von 11 auf 36. Danach die Umkehrung mit genau 12 Plättchen: dieselbe Fläche als 1·12, 2·6, 3·4 legen und den Faden außen herum drumlegen — der Faden wird jedes Mal anders lang. 3) ERKLÄREN: Im Kreis vergleicht jedes Kind seine Vorhersage mit dem Ergebnis. Leitfrage „Wieso kann der Umfang gleich bleiben, während die Fläche sich ändert?" Hinführen auf: Umfang misst die Randlinie, Fläche misst das Innere — zwei verschiedene Maße, das eine sagt nichts über das andere. Zum Abschluss am Bildschirm den Reshaper öffnen und beide Modi gegenüberstellen: fester Umfang, wachsende Fläche — feste Fläche, wechselnder Umfang.
guide
3–12
Zurück zum Seil vom Anfang. Das Seil ist immer gleich lang, also ist der
Zieh unten am Eckpunkt und forme das Rechteck um. Der Umfang bleibt dabei die ganze
Zeit bei 24 cm — du siehst es an der gelben Randlinie und am Wert. Achte auf die
cyanfarbenen
Beim ganz schmalen Rechteck 1 · 11 passen nur 11 Quadrate hinein.
Machst du es quadratischer, wächst die Fläche: 2 · 10 = 20, 3 · 9 = 27, 4 · 8 = 32,
5 · 7 = 35 — und beim quadratischsten Rechteck 6 · 6 sind es 36
Quadrate. Der Umfang war immer 24 cm. Der
Damit ist die Vermutung „gleicher Umfang ⇒ gleicher Flächeninhalt" widerlegt. Merke
dir zwei Dinge: Bei festem Umfang hat das quadratischste
Voraussetzungen (2)
Ermöglicht (1)
Ein Rechteck hat Länge 2 cm und Breite 4 cm. Wie groß ist sein Umfang (in cm)?
Ein anderes Rechteck hat Länge 3 cm und Breite 3 cm. Berechne seinen Umfang (in cm).
Rechteck A (1 cm · 7 cm) und Rechteck B (3 cm · 5 cm) haben beide den Umfang 16 cm. Mia sagt: "Dann ist auch der Flächeninhalt gleich." Hat Mia recht?
Die beiden Rechtecke von eben haben denselben Umfang (12 cm). Das eine ist 2 cm · 4 cm, das andere 3 cm · 3 cm. Um wie viele cm² ist der Flächeninhalt des quadratischen Rechtecks größer?
Lena hat ein 8 cm langes Gummiband zu einem Rechteck geformt (Umfang 8 cm). Sie zieht es schmaler. Was passiert mit dem Flächeninhalt?
Vier Rechtecke haben alle den Umfang 20 cm. Welches hat den größten Flächeninhalt?