Variable und Gleichungen

Variables and Equations

Mathematik Klasse 5 23 Aufgaben

AlgebraGleichungenVariablesKerncurriculum

Eine Variable x ist ein Platzhalter für eine Zahl — nicht für einen Gegenstand. Aus „das Dreifache einer Zahl" oder „das Doppelte, vermehrt um 5" werden Terme wie 3 · x und 2 · x + 5. Eine Variable tritt in drei Rollen auf (Malle 1993): als Unbekannte, deren Wert eine Gleichung festlegt (x + 45 = 60); als allgemeine Zahl, für die jede Einsetzung stimmt (x + 3 = 3 + x); und als Veränderliche, die eine Lösungsmenge durchläuft (3 · x + 2 < 19). Gleichungen löst man einsetzend-probierend oder mit Umkehroperationen und Probe, auch mehrschrittig (5 · x + 40 = 70) und mit Klammer ((x + 8) ÷ 5 = 3); das Einsetzen bleibt vor dem Kalkül die tragende Vorstellung.

Voraussetzungen (1)

Verbindung der Grundrechenarten

Klasse 5

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Ermöglicht (2)

Gleichungen im Gleichgewicht — Äquivalenzumformungen verstehen

Leicht

Lückentext #1 10s ▶ Testen

Schreibe mit einer Variablen: das Dreifache einer Zahl = ___.

✓ Antwort: 3 · x

Das Dreifache einer Zahl x schreibt man als 3 · x.

Lückentext #2 15s ▶ Testen

Schreibe mit einer Variablen: das Doppelte einer Zahl, vermehrt um 5 = ___.

✓ Antwort: 2 · x + 5

Das Doppelte ist 2 · x, vermehrt um 5 ergibt 2 · x + 5.

Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Welche Sprechweise passt zum Term 4 · x − 3?

● Das Vierfache einer Zahl, vermindert um 3
○ Das Vierfache einer um 3 verminderten Zahl
○ Das Dreifache einer Zahl, vermindert um 4

4 · x ist das Vierfache der Zahl x, und „− 3" vermindert dieses Ergebnis um 3. Bei „das Vierfache einer um 3 verminderten Zahl" stünde dagegen 4 · (x − 3).

Multiple Choice #4 12s ▶ Testen

Mia setzt im Term 3 · x für x die Zahl 4 ein. Welche Zahl entsteht?

● 12
○ 34
○ 7

Die Variable x ist ein Platzhalter für eine Zahl: Einsetzen heißt rechnen, also 3 · 4 = 12 — nicht die Ziffern aneinanderhängen (34) und nicht addieren (7).

Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Im Term x + x darf man für die beiden x verschiedene Zahlen einsetzen, zum Beispiel 2 + 5.

✓ Falsch

Nein — derselbe Buchstabe steht im selben Term immer für dieselbe Zahl. Mit x = 2 ist x + x = 2 + 2 = 4.

Zahleneingabe #6 15s ▶ Testen

Löse die Gleichung: x + 45 = 60.

✓ Antwort: 15

x = 60 − 45 = 15. Probe: 15 + 45 = 60 ✓

Zahleneingabe #7 15s ▶ Testen

Löse die Gleichung: x − 8 = 39.

✓ Antwort: 47

Umkehroperation: x = 39 + 8 = 47. Probe: 47 − 8 = 39 ✓

Zahleneingabe #8 15s ▶ Testen

Löse die Gleichung: 6 · x = 54.

✓ Antwort: 9

x = 54 ÷ 6 = 9. Probe: 6 · 9 = 54 ✓

Multiple Choice #9 15s ▶ Testen

Welche Zahl erfüllt die Gleichung 2 · x + 3 = 9?

● 3
○ 9
○ 6

„Erfüllen" heißt: Beim Einsetzen entsteht eine wahre Aussage. Mit x = 3 stimmt es, denn 2 · 3 + 3 = 9. Die 9 ist nur die rechte Seite, und 6 ist der Zwischenschritt 9 − 3.

Zahleneingabe #10 20s ▶ Testen

Lars, Udo und Tom haben 17, 18 und 13 Murmeln. Wie viele Murmeln hätte jeder, wenn sie gleich aufteilen? (Arithmetisches Mittel)

✓ Antwort: 16

(17 + 18 + 13) ÷ 3 = 48 ÷ 3 = 16 Murmeln.

Zahleneingabe #11 20s ▶ Testen

Schätze zuerst und löse dann genau: 8 · x = 184.

✓ Antwort: 23

Überschlag: 184 ÷ 8 ≈ 160 ÷ 8 = 20, also liegt x knapp über 20. Genau: x = 184 ÷ 8 = 23. Probe: 8 · 23 = 184 ✓. Schätzen vor dem Rechnen schützt vor groben Fehlern.

Mittel

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Welche Gleichung wird von JEDER Zahl erfüllt, die du für x einsetzt?

● x + 7 = 7 + x
○ x + 7 = 14
○ x + 7 = x

x + 7 = 7 + x stimmt für jede Einsetzung (Kommutativgesetz) — hier ist x eine allgemeine Zahl. x + 7 = 14 legt x dagegen fest (Unbekannte, x = 7), und x + 7 = x stimmt für gar keine Zahl.

Zahleneingabe #2 25s ▶ Testen

Löse: 5 · x + 40 = 70.

✓ Antwort: 6

Erst die Addition umkehren: 5 · x = 70 − 40 = 30. Dann die Multiplikation: x = 30 ÷ 5 = 6. Probe: 5 · 6 + 40 = 70 ✓

Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Löse: (x + 8) ÷ 5 = 3.

✓ Antwort: 7

Erst die Division umkehren: x + 8 = 3 · 5 = 15. Dann die Addition: x = 15 − 8 = 7. Probe: (7 + 8) ÷ 5 = 15 ÷ 5 = 3 ✓

Zahleneingabe #4 20s ▶ Testen

Mach die Probe: Behauptung ist, dass x = 8 die Gleichung 4 · x − 6 = 26 löst. Welcher Wert entsteht auf der linken Seite, wenn du x = 8 einsetzt?

✓ Antwort: 26

Einsetzen: 4 · 8 − 6 = 32 − 6 = 26. Die linke Seite ergibt 26, das ist gleich der rechten Seite — x = 8 ist also die Lösung.

Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Die Gleichung x + 1 = x hat keine Lösung.

✓ Wahr

Es gibt keine Zahl x, für die x + 1 = x gilt, denn man kann nicht 1 addieren und denselben Wert erhalten. Die Lösungsmenge ist leer.

Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Die Gleichung x + 3 = 3 + x wird von jeder Zahl erfüllt.

✓ Wahr

Nach dem Kommutativgesetz der Addition gilt a + 3 = 3 + a für jede Zahl. Damit ist jede Zahl Lösung — die Lösungsmenge sind alle Zahlen.

Multiple Choice #7 30s ▶ Testen

Welche natürlichen Zahlen erfüllen die Ungleichung 3 · x + 2 < 19? Gib die Lösungsmenge an.

● 0, 1, 2, 3, 4, 5
○ 1, 2, 3, 4, 5
○ 0, 1, 2, 3, 4

3 · x < 17, also x < 17 ÷ 3 ≈ 5,67. Natürliche Zahlen darunter: 0, 1, 2, 3, 4, 5. (Die 0 gehört zu den natürlichen Zahlen.)

Zahleneingabe #8 25s ▶ Testen

Das Fünffache einer Zahl, vermindert um 25, ist 50. Wie heißt die Zahl?

✓ Antwort: 15

5 · x − 25 = 50, also 5 · x = 75 und x = 15. Probe: 5 · 15 − 25 = 75 − 25 = 50 ✓

Zahleneingabe #9 25s ▶ Testen

Lina kauft 3 Tafeln Schokolade, zahlt mit 50 € und erhält 38 € zurück. Was kostet eine Tafel?

✓ Antwort: 4

Die 3 Tafeln kosten 50 − 38 = 12 €. Gleichung: 3 · x = 12, also x = 12 ÷ 3 = 4 €.

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Gib zwei aufeinanderfolgende natürliche Zahlen an, deren Summe 65 beträgt. Wie heißt die kleinere?

✓ Antwort: 32

x + (x + 1) = 65, also 2 · x + 1 = 65, 2 · x = 64 und x = 32. Probe: 32 + 33 = 65 ✓

Multiple Choice #2 35s ▶ Testen

Eine Gleichung hat die Lösungen x = 3 und x = 5. Welche könnte es sein?

● (x − 3) · (x − 5) = 0
○ x · x = 15
○ x · (x − 8) = 0

Für x = 3: (3 − 3) · (3 − 5) = 0 · (−2) = 0 ✓. Für x = 5: (5 − 3) · (5 − 5) = 2 · 0 = 0 ✓. Ein Produkt ist null, sobald ein Faktor null ist.

Zahleneingabe #3 35s ▶ Testen

Das Neunfache einer Zahl, vermindert um 7, liegt zwischen 100 und 110. Welche natürliche Zahl ist es?

✓ Antwort: 12

100 < 9 · x − 7 < 110, also 107 < 9 · x < 117 und 11,9 < x < 13. Die einzige natürliche Zahl darin ist 12. Probe: 9 · 12 − 7 = 101 ✓