Mal macht kleiner, geteilt macht größer — die Richtungs-Falle

Times Makes Smaller, Divide Makes Bigger — The Direction Trap

Mathematik Klasse 6 5 Aufgaben

BrücheArithmetikKerncurriculum

Bei Brüchen kleiner als 1 gilt die von den ganzen Zahlen gewohnte Regel nicht mehr: „mal" macht nicht immer größer, „geteilt" nicht immer kleiner. 6 · 1/2 = 3 (die Hälfte von 6 — kleiner), aber 6 : 1/2 = 12 (wie oft ein Halb in 6 passt — größer). Dividieren heißt, mit dem Kehrwert malzunehmen. Der Richtungs-Fehler löst sich, wenn man „mal" als „ein Teil von" und „geteilt" als „wie oft passt hinein" liest.

Können & Üben

Vorhersagen — Nachlegen — Erklären: Warum 1/2 + 1/3 nicht 2/5 ist

workshop

30 min · once

klassenraum, gruppentisch

Eine Predict–Observe–Explain-Werkstatt mit Bruchstreifen, die genau die beiden Lernfehler „Zähler und Nenner getrennt addieren" und „mal macht größer, geteilt macht kleiner" sichtbar macht und auflöst. Ablauf in drei Schritten: (1) VORHERSAGEN — bevor etwas hingelegt wird: Die Begleitperson nennt eine Aufgabe (erst 1/2 + 1/3, dann 1/4 + 1/3, dann 3/4 + 1/6). Jedes Kind schreibt auf, was es für das Ergebnis hält UND wie es rechnet. Die typische Fehlrechnung („1/2 + 1/3 = 2/5, oben plus oben, unten plus unten") wird ausdrücklich notiert — sie ist der Denkfehler, den wir gleich prüfen. Zweite Runde: Was ist größer, 6 · 1/2 oder 6 : 1/2? Auch hier zuerst raten und begründen. (2) NACHLEGEN — die Kinder legen 1/2 und 1/3 als gleich lange Bruchstreifen hin und legen daneben das behauptete 2/5. Sie sehen: 2/5 ist kleiner als 1/2 allein — das kann keine Summe sein. Dann machen sie die Streifen gleichnamig (beide in Sechstel unterteilen), lesen 3/6 und 2/6 ab und zählen zusammen: 5/6. Für die zweite Falle legen sie 6 Kästchen und nehmen die Hälfte (3), dann teilen sie jedes Kästchen in Hälften und zählen (12). (3) ERKLÄREN — ein Kind formuliert die Regel in eigenen Worten: „Teile darf man nur zusammenzählen, wenn sie gleich groß sind — deshalb erst gleichnamig machen, dann nur die Zähler addieren, der Nenner bleibt." Und für die zweite Falle: „Mal einem Bruch unter 1 macht kleiner, geteilt durch einen Bruch unter 1 macht größer." Die Begleitperson führt nicht vor, sondern hört zu und stellt nur Rückfragen: „Warum kann 2/5 nicht stimmen? Was hat dich überrascht? Kannst du das einem Kind erklären, das noch oben und unten getrennt addiert?" Eine Beobachtung pro Kind wandert ins Lerntagebuch.

2–4

Die Falle $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{2}{5}$ entstand, weil eine Regel der ganzen Zahlen auf Brüche übertragen wurde. Beim Malnehmen und Teilen wartet eine zweite Falle derselben Art: „Malnehmen macht größer, Teilen macht kleiner." Bei ganzen Zahlen stimmt das — $6 \cdot 2 = 12$ ist größer, $6 : 2 = 3$ ist kleiner. Bei Brüchen unter 1 ist es genau umgekehrt.

Erst raten: Was ist größer — $6 \cdot \frac{1}{2}$ oder $6 : \frac{1}{2}$ ? Viele tippen aus Gewohnheit auf das Malnehmen. Prüfen wir beide.

Malnehmen mit $\frac{1}{2}$ heißt: die Hälfte davon. „Mal ein halb" bedeutet ein Teil von — du nimmst nicht 6 Stück doppelt, sondern nur die Hälfte:

Die Hälfte von 6 ist 3 — kleiner als 6.

Also $6 \cdot \frac{1}{2} = 3$ — kleiner geworden. Teilen durch $\frac{1}{2}$ heißt: Wie oft passt ein Halb hinein? In 6 ganze Stücke passen ganz schön viele Hälften:

In 6 Ganze passen 12 Hälften — das Ergebnis ist größer als 6.

Also $6 : \frac{1}{2} = 12$ — größer geworden. Genau andersherum als die alte Regel behauptet. Aus dem Abschnitt „Geteilt heißt messen" kennst du die Abkürzung dazu: Teilen heißt mit dem Kehrwert malnehmen — statt $: \frac{1}{2}$ rechnest du $\cdot \frac{2}{1} = \cdot 2$ , also $6 \cdot 2 = 12$ . Probe: $12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ .

Und noch ein nützlicher Blick auf denselben Bruch: Als Dezimalzahl ist $\frac{1}{2} = 0, 5$ . „Mal 0,5" ist offensichtlich „mal weniger als 1" — und mit weniger als 1 malzunehmen macht kleiner. Stell den Bruch im Bild ein und lies ihn als Dezimalzahl ab:

Beide Fallen haben denselben Kern: Eine Regel der ganzen Zahlen gilt bei Brüchen nicht ungeprüft. Ein Bruch unter 1 ist ein Teil — Malnehmen damit macht kleiner, Teilen dadurch macht größer.

Voraussetzungen (1)

Geteilt heißt messen: Wie oft passt es hinein?

Klasse 6

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Leicht

Zahleneingabe #1 15s ▶ Testen

Berechne 6 · 1/2 (die Hälfte von 6).

✓ Antwort: 3

"Mal ein halb" heißt "die Hälfte von" — die Hälfte von 6 ist 3. Malnehmen mit einem Bruch unter 1 macht kleiner.

Mittel

Zahleneingabe #1 20s ▶ Testen

Berechne 6 : 1/2 (wie oft passt ein Halb in 6?).

✓ Antwort: 12

In jedes der 6 Ganzen passen 2 Hälften, also 12 insgesamt. Teilen durch einen Bruch unter 1 macht größer — man rechnet mal Kehrwert: 6 · 2 = 12.

Wahr / Falsch #2 20s ▶ Testen

Finde den Fehler: "Malnehmen macht immer größer, also ist 8 · 1/2 größer als 8."

✓ Falsch

Falsch. Bei ganzen Zahlen stimmt "mal macht größer", aber mit einem Bruch unter 1 wird es kleiner: 8 · 1/2 = 4.

Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Was rechnet man statt : 1/3?

● · 3
○ · 1/3
○ : 3
○ · 2/3

Teilen heißt mit dem Kehrwert malnehmen. Der Kehrwert von 1/3 ist 3/1 = 3, also : 1/3 = · 3.

Schwer

Multiple Choice #1 30s ▶ Testen

Ohne zu rechnen: Was ist größer, 10 · 3/4 oder 10 : 3/4?

● 10 : 3/4, weil man durch einen Bruch unter 1 teilt
○ 10 · 3/4, weil Malnehmen immer größer macht
○ beide gleich
○ kann man nicht sagen

3/4 ist kleiner als 1. Mal 3/4 macht kleiner (7,5), geteilt durch 3/4 macht größer (etwa 13,3). Teilen durch einen Bruch unter 1 gewinnt.