Grundseite und Höhe im Dreieck
Base and Height in a Triangle
Ein Dreieck ist genau halb so groß wie das Parallelogramm mit derselben Grundseite und Höhe, denn eine Diagonale zerlegt das Parallelogramm in zwei flächengleiche Dreiecke: A = Grundseite · Höhe ÷ 2, etwa 6 cm · 4 cm ÷ 2 = 12 cm². Jede der drei Seiten kann als Grundseite dienen — dann aber muss die Höhe senkrecht zu genau dieser Seite gemessen werden, bei stumpfwinkligen Dreiecken auch über die verlängerte Grundseite hinaus, wo der Höhenfußpunkt außerhalb der Seite liegt.
Können & Üben
Schneiden, Verschieben, Erklären — das Parallelogramm wird zum Rechteck
workshop45 min · weekly
klassenraum, lernzeit-mathe
Ein Predict–Observe–Explain zum Anfassen. Jedes Kind bekommt ein aus Papier ausgeschnittenes Parallelogramm (Grundseite 16 cm, Höhe 6 cm, schräge Seite 10 cm — ein 6-8-10-Dreieck als schräger Rand, gut zu falten), Karopapier, eine Schere und ein Geodreieck. 1) VORHERSAGEN: Jedes Kind misst am eigenen Parallelogramm die Grundseite (16 cm) und die schräge Seite (10 cm) und rechnet 16 · 10 = 160 „cm²". Frage in die Runde: „Wenn ich dieses Parallelogramm zerschneide und zu einem Rechteck umlege — wird das Rechteck genauso groß, kleiner oder größer sein als meine Rechnung von eben?" Jedes Kind kreuzt an: größer / kleiner / gleich groß wie 160 cm². (Die Mehrheit tippt auf „gleich groß".) 2) SCHNEIDEN & BEOBACHTEN: Mit dem Geodreieck die Höhe einzeichnen — die senkrechte Strecke von einer oberen Ecke zur Grundseite, nicht die schräge Seite entlang! Genau entlang dieser Höhe schneiden, das abgeschnittene Dreieck an die andere Seite schieben und ankleben oder auflegen. Es entsteht ein Rechteck. Die Kinder messen es nach: Grundseite 16 cm, Höhe 6 cm — also 16 · 6 = 96 cm². Das ist die tatsächliche Fläche, nicht 160 cm². 3) ERKLÄREN: Im Kreis vergleicht jedes Kind seine Vorhersage mit dem Ergebnis. Leitfrage „Warum hat unsere erste Rechnung 160 cm² ergeben, obwohl die richtige Fläche nur 96 cm² ist?" Hinführen auf: Wir haben die schräge Seite mit der Grundseite multipliziert, nicht die Höhe. Beim Umlegen ist kein Papier verschwunden oder dazugekommen — die Fläche war die ganze Zeit 96 cm², wir haben sie nur falsch berechnet. Zum Abschluss am Bildschirm den Reshaper öffnen und die Rechteck-Umformung noch einmal digital nachvollziehen, dann ein Dreieck aus der Diagonale des Parallelogramms ausschneiden und gemeinsam die halbe Fläche nachrechnen.
guide
3–12
Zurück zum Parallelogramm mit Grundseite 8 m und Höhe 3 m (Flächeninhalt 24 m²).
Eine Diagonale zerlegt es in zwei gleich groĂźe
Grundseite und Höhe sind beim Dreieck genau dieselben wie beim halben Parallelogramm — nur wird am Ende durch 2 geteilt:
A = Grundseite · Höhe ÷ 2 = 8 · 3 ÷ 2 = 12
Beim Dreieck kommt aber noch etwas dazu: Es hat drei Seiten, und
jede davon darf als
Manchmal liegt der Fußpunkt der Höhe gar nicht auf der Grundseite selbst, sondern daneben. Das passiert bei einem stumpfwinkligen Dreieck — schau dir noch einmal das Dreieck von ganz oben an, mit Grundseite 8 m:
Trotzdem gilt dieselbe Rechnung wie vorhin: A = 8 · 3 ÷ 2 = 12 m² —
genau die Hälfte des Parallelogramms von ganz oben. Ob der Höhenfußpunkt innerhalb
oder außerhalb der Grundseite liegt, ändert an der Formel nichts. Nur eines bleibt
immer gleich: Die
Voraussetzungen (1)
Ermöglicht (1)
Ein Dreieck hat Grundseite 6 cm und Höhe 4 cm. Wie groß ist der Flächeninhalt?
Mia berechnet die Fläche des Dreiecks ABC mit der Seite AB als Grundseite. Ben nimmt stattdessen die Seite BC — mit der dazu senkrechten Höhe. Können beide dasselbe richtige Ergebnis bekommen?
Ein Dreieck hat Grundseite 10 cm und Höhe 3 cm. Wie viele cm² beträgt der Flächeninhalt?
Wählt man eine andere Seite eines Dreiecks als Grundseite, muss auch die ___ neu gemessen werden.
Ein Dreieck hat zwei gültige Grundseite-Höhe-Paare: Grundseite 8 cm mit Höhe 3 cm, oder Grundseite 4 cm mit Höhe 6 cm. Welche Rechnung ergibt seine Fläche?
Ein stumpfwinkliges Dreieck hat Grundseite 10 cm. Der Höhenfußpunkt liegt außerhalb der Grundseite, auf der gedachten Verlängerung. Die Höhe dorthin beträgt 4 cm. Wie groß ist der Flächeninhalt in cm²?
Ein stumpfwinkliges Dreieck hat die Grundseite 12 cm. Der Fußpunkt der Höhe (5 cm) liegt außerhalb der Grundseite, auf ihrer Verlängerung. Tim sagt: „Dann kann man die Fläche gar nicht ausrechnen." Was stimmt?
Ein Dreieck hat Grundseite 14 cm und die dazu passende Höhe 5 cm. Wie viele cm² beträgt der Flächeninhalt?