Kongruenz und Kongruenzsätze

Congruence and Congruence Theorems

Mathematik Klasse 7 16 Aufgaben

GeometrieKongruenzDreieckeKerncurriculum

Drei passende Stücke legen ein Dreieck eindeutig fest — welche drei, sagen die vier Kongruenzsätze SSS, SWS, WSW und SsW. Probieren mit Zirkel und Geodreieck zeigt die Grenzen: WWW reicht nicht (gleiche Winkel, verschiedene Größe), und SSW bleibt ohne die Zusatzbedingung mehrdeutig (Weigand et al.). Als Begründungswerkzeug eingesetzt, folgt aus „drei Stücke stimmen überein" die Gleichheit aller übrigen — die Schlussform hinter Basiswinkelsatz, Thales und den Konstruktionsbegründungen.

Voraussetzungen (2)

Kongruenz und Bewegungen

Ermöglicht (3)

Ähnlichkeit und zentrische Streckung

Klasse 9

›

Dreieckskonstruktionen

Klasse 7

›

Gleichschenklige und gleichseitige Dreiecke

Klasse 7

›

Leicht

Multiple Choice #1 15s ▶ Testen

Wann sind zwei Dreiecke kongruent?

○ Wenn sie gleich groß aussehen
● Wenn sie in Form und Größe übereinstimmen
○ Wenn sie ähnlich sind
○ Wenn sie die gleiche Fläche haben

Kongruent bedeutet deckungsgleich: gleiche Form und gleiche Größe.

Multiple Choice #2 15s ▶ Testen

Welcher Kongruenzsatz gilt? Gegeben: drei Seiten eines Dreiecks.

● SSS
○ SWS
○ WSW
○ SSW

SSS (Seite-Seite-Seite): Wenn alle drei Seiten gegeben sind, ist das Dreieck eindeutig bestimmt.

Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Der Kongruenzsatz SWS bedeutet: Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel bestimmen ein Dreieck eindeutig.

✓ Wahr

Richtig. SWS: Seite-Winkel-Seite, wobei der Winkel zwischen den beiden Seiten liegt.

Multiple Choice #4 15s ▶ Testen

Gegeben sind a = 5 cm, b = 7 cm und γ = 60° (Winkel zwischen a und b). Welcher Kongruenzsatz wird angewendet?

○ SSS
● SWS
○ WSW
○ SsW

Zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel → SWS.

Multiple Choice #5 15s ▶ Testen

Gegeben sind α = 50°, c = 6 cm und β = 70°. Welcher Kongruenzsatz wird angewendet?

○ SSS
○ SWS
● WSW
○ SSW

Zwei Winkel und die eingeschlossene Seite → WSW (Winkel-Seite-Winkel).

Lückentext #6 10s ▶ Testen

Beim Kongruenzsatz SWS liegt der Winkel ___ den beiden gegebenen Seiten.

✓ Antwort: zwischen

SWS: Der Winkel muss der eingeschlossene Winkel sein, also zwischen den beiden Seiten liegen.

Wahr / Falsch #7 15s ▶ Testen

Zwei Dreiecke mit a = 4 cm, b = 5 cm, c = 6 cm sind immer kongruent.

✓ Wahr

Richtig. Nach SSS ist ein Dreieck durch drei Seitenlängen eindeutig bestimmt (bis auf Spiegelung).

Zahleneingabe #8 15s ▶ Testen

Ein Dreieck hat die Seiten a = 5 cm, b = 5 cm und c = 5 cm. Wie groß ist jeder Innenwinkel?

✓ Antwort: 60

Ein gleichseitiges Dreieck hat drei gleiche Winkel: 180° : 3 = 60°.

Mittel

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Welche Angabe reicht NICHT aus, um ein Dreieck eindeutig zu konstruieren?

○ Drei Seiten (SSS)
○ Zwei Seiten und eingeschlossener Winkel (SWS)
● Drei Winkel (WWW)
○ Zwei Winkel und die eingeschlossene Seite (WSW)

WWW bestimmt nur die Form (ähnliche Dreiecke), nicht die Größe. Es gibt unendlich viele Dreiecke mit denselben drei Winkeln.

Wahr / Falsch #2 20s ▶ Testen

Der Kongruenzsatz SSW gilt immer.

✓ Falsch

Falsch. SSW (zwei Seiten und ein gegenüberliegender Winkel) kann zu zwei verschiedenen Dreiecken führen (mehrdeutiger Fall). Er gilt nur eingeschränkt.

Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Kann ein Dreieck mit den Seiten 3 cm, 4 cm und 8 cm existieren?

○ Ja, nach SSS
○ Nein, weil 3 + 4 < 8
○ Ja, es ist stumpfwinklig
● Nein, weil 3 + 4 = 7 < 8

Dreiecksungleichung: Die Summe zweier Seiten muss größer sein als die dritte. 3 + 4 = 7 < 8. Kein Dreieck möglich.

Wahr / Falsch #4 20s ▶ Testen

Kongruenzsatz WSW: Zwei Winkel und eine Seite bestimmen das Dreieck eindeutig, egal welche Seite gegeben ist.

✓ Wahr

Richtig. Da der dritte Winkel durch die Innenwinkelsumme festgelegt ist, kann man WSW auch als SWW oder WWS lesen.

Multiple Choice #5 15s ▶ Testen

Unterscheide Voraussetzung und Behauptung: 'Wenn ein Dreieck gleichseitig ist, dann sind alle Winkel 60°.' Was ist die Voraussetzung?

○ Alle Winkel sind 60°
● Das Dreieck ist gleichseitig
○ Das Dreieck hat drei Seiten
○ Die Innenwinkelsumme ist 180°

Die Voraussetzung steht nach dem 'Wenn': Das Dreieck ist gleichseitig.

Wahr / Falsch #6 20s ▶ Testen

Wenn ein Satz wahr ist, ist auch sein Kehrsatz (Umkehrung) immer wahr.

✓ Falsch

Falsch. Die Umkehrung eines wahren Satzes kann falsch sein. Beispiel: 'Wenn es regnet, ist die Straße nass' ist wahr, aber 'Wenn die Straße nass ist, regnet es' muss nicht stimmen.

Lückentext #7 15s ▶ Testen

Die vier Kongruenzsätze für Dreiecke heißen: SSS, SWS, WSW und ___.

✓ Antwort: SsW

Die vier Kongruenzsätze sind SSS, SWS, WSW und SsW (bzw. SSW unter bestimmten Bedingungen).

Schwer

Multiple Choice #1 35s ▶ Testen

Welche Bestimmungsstücke ergeben nach dem Kongruenzsatz SsW (mit s < S) möglicherweise zwei verschiedene Dreiecke?

● a = 5, b = 8, α = 30°
○ a = 5, b = 3, α = 30°
○ a = 5, b = 5, γ = 60°
○ a = 5, c = 8, β = 90°

Bei SsW (dem Winkel liegt die kürzere Seite gegenüber) kann es zwei Lösungen geben: a < b und α gegenüber von a.