Potenzen und Wurzeln

Powers and Roots

Mathematik Klasse 9 26 Aufgaben
AlgebraPotenzenWurzelnExponentenKerncurriculum

Die Potenzgesetze fassen das Rechnen mit gleicher Basis zusammen: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ und (a·b)ⁿ = aⁿ·bⁿ. Eine Wurzel ist eine Potenz mit gebrochenem Exponenten: ⁿ√a = a^(1/n), etwa √a = a^(1/2). Damit lassen sich Terme mit Potenzen und Wurzeln zusammenfassen und vereinfachen. Diese Fluenz trägt später Exponentialfunktion und Logarithmus.

Voraussetzungen (2)

Potenzbegriff erweitern — warum a⁰ = 1 gilt
Klasse 9
›
Quadratwurzeln
Klasse 9
›

Ermöglicht (1)

Einwegfunktion und Schlüsseltausch
Klasse 10
›
Leicht
Lückentext #1 10s ▶ Testen

Potenzgesetz: a^m · a^n = a^(___)

✓ Antwort: m+n
Bei gleicher Basis werden die Exponenten addiert: a^m · a^n = a^(m+n).
Lückentext #2 10s ▶ Testen

Potenzgesetz: a^m / a^n = a^(___)

✓ Antwort: m−n
Bei gleicher Basis werden die Exponenten subtrahiert: a^m / a^n = a^(m−n).
Lückentext #3 10s ▶ Testen

Potenzgesetz: (a^m)^n = a^(___)

✓ Antwort: m·n
Potenz einer Potenz: Die Exponenten werden multipliziert: (a^m)^n = a^(m·n).
Zahleneingabe #4 10s ▶ Testen

Berechne: 2^3 · 2^4 = 2^n. Was ist n?

✓ Antwort: 7
2^3 · 2^4 = 2^(3+4) = 2^7 = 128.
Zahleneingabe #5 10s ▶ Testen

Berechne: 5^6 / 5^4 = ?

✓ Antwort: 25
5^6 / 5^4 = 5^(6−4) = 5^2 = 25.
Zahleneingabe #6 15s ▶ Testen

Berechne: (3^2)^3 = ?

✓ Antwort: 729
(3^2)^3 = 3^(2·3) = 3^6 = 729.
Lückentext #7 10s ▶ Testen

Potenzgesetz: (a · b)^n = a^n · ___

✓ Antwort: b^n
Ein Produkt wird potenziert, indem man jeden Faktor potenziert: (a · b)^n = a^n · b^n.
Zahleneingabe #8 15s ▶ Testen

Vereinfache: (2 · 3)^4 / 6^3 = ?

✓ Antwort: 6
(2 · 3)^4 = 6^4. Dann 6^4 / 6^3 = 6^1 = 6.
Multiple Choice #9 10s ▶ Testen

Was bedeutet a^0 für a ≠ 0?

  • ○ 0
  • ● 1
  • ○ a
  • ○ undefiniert
Für alle a ≠ 0 gilt a^0 = 1. Dies folgt aus a^n / a^n = a^(n−n) = a^0 = 1.
Multiple Choice #10 10s ▶ Testen

Was bedeutet a^(−1)?

  • ○ −a
  • ● 1/a
  • ○ −1/a
  • ○ a − 1
a^(−1) = 1/a. Negative Exponenten erzeugen den Kehrwert.
Zahleneingabe #11 15s ▶ Testen

Berechne: 2^(−3) als Bruch. Wie lautet der Nenner?

✓ Antwort: 8
2^(−3) = 1/2^3 = 1/8. Der Nenner ist 8.
Zahleneingabe #12 15s ▶ Testen

Vereinfache: (x^4 · x^3) / x^5 = x^n. Was ist n?

✓ Antwort: 2
x^4 · x^3 = x^7. Dann x^7 / x^5 = x^2. Also n = 2.
Multiple Choice #13 15s ▶ Testen

Welche Darstellung ist korrekt?

  • ○ √a · √b = √(a + b)
  • ● √a · √b = √(a · b)
  • ○ √a + √b = √(a + b)
  • ○ √(a²) = a für alle a
Das Wurzelgesetz für Produkte: √a · √b = √(a · b) für a, b ≥ 0.
Zahleneingabe #14 15s ▶ Testen

Stelle 0,001 als Zehnerpotenz dar: 0,001 = 10^n. Was ist n?

✓ Antwort: -3
0,001 = 1/1000 = 1/10^3 = 10^(−3).
Zahleneingabe #15 15s ▶ Testen

Schreibe in wissenschaftlicher Notation: 5 400 000 = 5,4 · 10^n. Was ist n?

✓ Antwort: 6
5 400 000 = 5,4 · 1 000 000 = 5,4 · 10^6.
Zahleneingabe #16 15s ▶ Testen

Vereinfache: √(50) · √(2) = ?

✓ Antwort: 10
√50 · √2 = √(50 · 2) = √100 = 10.
Wahr / Falsch #17 10s ▶ Testen

Für alle a > 0 gilt: a^(1/2) · a^(1/2) = a.

✓ Wahr
Richtig. a^(1/2) · a^(1/2) = a^(1/2 + 1/2) = a^1 = a.
Mittel
Lückentext #1 15s ▶ Testen

Schreibe als Potenz: ⁵√a = a^(___)

✓ Antwort: 1/5
Die n-te Wurzel von a entspricht a^(1/n). Also ⁵√a = a^(1/5).
Zahleneingabe #2 20s ▶ Testen

Berechne: 8^(2/3) = ?

✓ Antwort: 4
8^(2/3) = (³√8)^2 = 2^2 = 4.
Zahleneingabe #3 20s ▶ Testen

Berechne: 27^(−1/3) als Bruch. Wie lautet der Nenner?

✓ Antwort: 3
27^(−1/3) = 1 / 27^(1/3) = 1 / ³√27 = 1/3. Der Nenner ist 3.
Zahleneingabe #4 20s ▶ Testen

Vereinfache: (a^2 · b^3)^2 = a^m · b^n. Was ist m + n?

✓ Antwort: 10
(a^2 · b^3)^2 = a^(2·2) · b^(3·2) = a^4 · b^6. Also m + n = 4 + 6 = 10.
Zahleneingabe #5 20s ▶ Testen

Vereinfache: ³√(8) · ³√(27) = ?

✓ Antwort: 6
³√8 · ³√27 = ³√(8 · 27) = ³√216 = 6.
Lückentext #6 20s ▶ Testen

Schreibe als Wurzel: x^(3/4) = (⁴√x)^___

✓ Antwort: 3
x^(3/4) = (x^(1/4))^3 = (⁴√x)^3. Der Zähler wird zum Potenzexponenten.
Zahleneingabe #7 30s ▶ Testen

Die Lichtgeschwindigkeit beträgt ca. 3 · 10^8 m/s. In einer Millisekunde (10^(−3) s) legt Licht wie viele km zurück?

✓ Antwort: 300
3 · 10^8 m/s · 10^(−3) s = 3 · 10^5 m = 300 000 m = 300 km.
Zahleneingabe #8 15s ▶ Testen

Berechne: 4^(3/2) = ?

✓ Antwort: 8
4^(3/2) = (√4)^3 = 2^3 = 8.
Schwer
Zahleneingabe #1 25s ▶ Testen

Vereinfache: (16/81)^(1/4) = a/b in gekürzter Form. Was ist a + b?

✓ Antwort: 5
(16/81)^(1/4) = ⁴√16 / ⁴√81 = 2/3. Also a = 2, b = 3, a + b = 5.