Potenzbegriff erweitern — warum a⁰ = 1 gilt

Extending the concept of powers — why a⁰ = 1

Mathematik Klasse 9 14 Aufgaben
AlgebraPotenzenExponentenKerncurriculum

a⁰ = 1, a⁻ⁿ = 1/aⁿ und a^(1/2) = √a sind keine willkürlichen Setzungen, sondern die einzigen, die die Potenzgesetze erhalten. In der Reihe 2³ = 8, 2² = 4, 2¹ = 2 halbiert jeder Schritt — setzt man das Muster fort, folgt zwingend 2⁰ = 1 und 2⁻¹ = 1/2, sonst brechen die Potenzgesetze zusammen. Ebenso erzwingt (a^(1/2))² = a¹, dass a^(1/2) = √a gilt: rationale Exponenten sind Wurzeln. Das ist das Permanenzprinzip (Malle 2007; vom Hofe, Grundvorstellungen), und es räumt die Fehlvorstellungen aus, a⁰ = 0 oder negative Exponenten ergäben negative Zahlen.

Voraussetzungen (2)

Potenzen und Zählprinzip
Klasse 5
›
Quadratzahlen und Quadratwurzeln
Klasse 9
›

Ermöglicht (2)

Potenzen und Wurzeln
Klasse 9
›
Potenzfunktionen
Klasse 9
›
Leicht
Multiple Choice #1 15s ▶ Testen

Setze die Reihe fort: 2³ = 8, 2² = 4, 2¹ = 2, 2⁰ = ?

  • ● 1 — jeder Schritt halbiert, also 2 : 2 = 1.
  • ○ 0 — hoch null gibt nichts.
  • ○ 2 — es bleibt einfach stehen.
In der Reihe wird bei jedem Schritt durch 2 geteilt. Das Muster fortzusetzen erzwingt 2⁰ = 1.
Wahr / Falsch #2 10s ▶ Testen

5⁰ = 0.

✓ Falsch
Nein — 5⁰ = 1. In der Permanenzreihe 5² = 25, 5¹ = 5 teilt jeder Schritt durch 5, also folgt 5 : 5 = 1.
Multiple Choice #3 12s ▶ Testen

Setze die Reihe fort: 3² = 9, 3¹ = 3, 3⁰ = 1, 3⁻¹ = ?

  • ○ −3
  • ● 1/3
  • ○ 0
Bei jedem Schritt nach rechts wird durch 3 geteilt: 9, 3, 1, also danach 1/3. Nur so bleiben die Potenzgesetze gültig, z. B. 3⁻¹ · 3¹ = 3⁰ = 1. Ein negativer Exponent macht die Zahl nicht negativ.
Lückentext #4 12s ▶ Testen

10⁻² = 1/___

✓ Antwort: 100
10⁻² ist der Kehrwert von 10² — also 1/100.
Wahr / Falsch #5 12s ▶ Testen

3⁻² ist eine negative Zahl.

✓ Falsch
Nein — 3⁻² = 1/9, eine positive Zahl. Das Minus im Exponenten bedeutet Kehrwert, nicht Vorzeichen.
Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

4^(1/2) = ?

  • ● 2 — denn (4^(1/2))² muss 4¹ ergeben.
  • ○ 1 — die Hälfte von hoch eins.
  • ○ 8 — vier mal zwei.
Nach dem Potenzgesetz ist (4^(1/2))² = 4^(1/2 · 2) = 4. Die Zahl, deren Quadrat 4 ist, ist 2 — also ist 4^(1/2) = √4.
Lückentext #7 15s ▶ Testen

2⁰ · 2⁵ = 2^___

✓ Antwort: 5
0 + 5 = 5. Damit das Gesetz aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ stimmt, muss 2⁰ die neutrale 1 sein.
Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

a⁰ = 1 ist so festgelegt, dass die Potenzgesetze (z. B. aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ) ohne Ausnahme weitergelten.

✓ Wahr
Ja — das ist das Permanenzprinzip. Jede andere Festlegung würde die vertrauten Rechengesetze brechen.
Lückentext #9 10s ▶ Testen

5⁻¹ = 1/___

✓ Antwort: 5
Hoch −1 heißt Kehrwert — 5⁻¹ = 1/5.
Multiple Choice #10 20s ▶ Testen

In der Reihe 10³ = 1000, 10² = 100, 10¹ = 10, … wird bei jedem Schritt …

  • ● durch 10 geteilt — deshalb geht es mit 1, 1/10, 1/100 weiter.
  • ○ 10 abgezogen — deshalb kommt 0.
  • ○ halbiert — deshalb kommt 5.
Die Permanenzreihe zur Basis 10 erklärt 10⁰ = 1 und 10⁻¹ = 1/10 in einem Zug.
Mittel
Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Welche Rechnung begründet, dass 9^(1/2) = √9 sein muss?

  • ● (9^(1/2))² = 9^(1/2 · 2) = 9¹ — das Quadrat ergibt 9, also ist 9^(1/2) die Wurzel.
  • ○ 9 : 2 = 4,5 — der Exponent teilt die Zahl.
  • ○ 9^(1/2) = 9 − 1/2 = 8,5.
Sollen die Potenzgesetze weitergelten, bleibt für 9^(1/2) nur die Deutung als √9 = 3.
Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Paul behauptet: 2⁻³ = −8. Was ist sein Denkfehler?

  • ● Er deutet das Minus als Vorzeichen — richtig ist der Kehrwert, 2⁻³ = 1/8.
  • ○ Er hat falsch multipliziert — richtig wäre −6.
  • ○ Gar keiner, das stimmt.
Ein negativer Exponent macht die Potenz nicht negativ, sondern kehrt sie um — 2⁻³ = 1/2³ = 1/8.
Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

8^(1/3) = ?

  • ● 2 — die Zahl, deren dritte Potenz 8 ist.
  • ○ 8/3
  • ○ 24
(8^(1/3))³ = 8¹ — gesucht ist die dritte Wurzel aus 8, also 2.
Wahr / Falsch #4 15s ▶ Testen

2^(1/2) liegt zwischen 1 und 2.

✓ Wahr
Ja — 2^(1/2) = √2 ≈ 1,41. Wer 2^(1/2) = 1 rechnet, hat den Bruch-Exponenten als Abrunden missverstanden.