Quadratwurzeln

Square Roots

Mathematik Klasse 9 19 Aufgaben
AlgebraWurzelnKerncurriculum

Die Wurzelgesetze gelten für Mal und Geteilt, nicht für Plus und Minus — genau daran scheitert der häufigste Fehler √(a + b) = √a + √b (Analogie zum Produktgesetz). Mit √(a·b) = √a·√b lässt sich teilweise radizieren (√72 = √(36·2) = 6√2), Produkte und Quotienten zusammenfassen, der Nenner rational machen und Summen wie √18 + √8 = 3√2 + 2√2 = 5√2 ordnen. Das Heron-Verfahren nähert Wurzeln schrittweise an. Alles baut auf dem Wurzelbegriff aus „Quadratzahlen und Quadratwurzeln" auf.

Voraussetzungen (2)

Quadratzahlen und Quadratwurzeln
Klasse 9
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Termumformungen
Klasse 7
›

Ermöglicht (3)

Potenzen und Wurzeln
Klasse 9
›
Quadratische Gleichungen
Klasse 9
›
Satz des Pythagoras
Klasse 9
›
Leicht
Zahleneingabe #1 10s ▶ Testen

Berechne: √49

✓ Antwort: 7
7 · 7 = 49, also √49 = 7.
Zahleneingabe #2 10s ▶ Testen

Berechne: √144

✓ Antwort: 12
12 · 12 = 144, also √144 = 12.
Lückentext #3 20s ▶ Testen

Vereinfache: √72 = ___ · √2

✓ Antwort: 6
√72 = √(36 · 2) = √36 · √2 = 6√2.
Lückentext #4 20s ▶ Testen

Vereinfache: √48 = ___√3

✓ Antwort: 4
√48 = √(16 · 3) = 4√3.
Zahleneingabe #5 15s ▶ Testen

Berechne: √3 · √12

✓ Antwort: 6
√3 · √12 = √(3 · 12) = √36 = 6.
Wahr / Falsch #6 10s ▶ Testen

π ist eine irrationale Zahl.

✓ Wahr
Richtig. π kann nicht als Bruch zweier ganzer Zahlen dargestellt werden und hat eine nicht-periodische Dezimaldarstellung.
Zahleneingabe #7 10s ▶ Testen

Berechne: (√5)²

✓ Antwort: 5
Per Definition: (√5)² = 5.
Lückentext #8 15s ▶ Testen

Vereinfache: √20 · √5 = ___

✓ Antwort: 10
√20 · √5 = √(20 · 5) = √100 = 10.
Multiple Choice #9 15s ▶ Testen

Welche Zahl ist rational?

  • ○ √7
  • ● √16
  • ○ π
  • ○ √3
√16 = 4, eine ganze Zahl und damit rational. Die anderen sind irrational.
Wahr / Falsch #10 15s ▶ Testen

√a · √b = √(a · b) gilt für alle a, b ≥ 0.

✓ Wahr
Richtig. Das Produktgesetz für Quadratwurzeln besagt: Für a, b ≥ 0 gilt √a · √b = √(a·b).
Mittel
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Welcher Wert liegt am nächsten an √50?

  • ○ 6,5
  • ● 7,1
  • ○ 7,5
  • ○ 8,0
7² = 49 und 7,1² = 50,41. Also liegt √50 ≈ 7,07, am nächsten bei 7,1.
Multiple Choice #2 15s ▶ Testen

Welcher Ausdruck ist exakt gleich √2?

  • ○ 1,414213562
  • ● 2/√2
  • ○ 1,414141… (periodisch)
2/√2 = (√2 · √2)/√2 = √2. Jede abbrechende oder periodische Dezimalzahl ist ein Bruch – √2 ist aber irrational. 1,414213562 ist nur gerundet; 1,414141… = 140/99, und (140/99)² ≈ 1,9998 ist nicht 2.
Lückentext #3 25s ▶ Testen

Mache den Nenner rational: 6/√3 = ___√3

✓ Antwort: 2
6/√3 = 6·√3/(√3·√3) = 6√3/3 = 2√3.
Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

Ein Quadrat hat den Flächeninhalt 32 cm². Wie lang ist die Seite in vereinfachter Wurzelform?

  • ● 4√2 cm
  • ○ 2√8 cm
  • ○ √32 cm
  • ○ 8√2 cm
Seite = √32 = √(16 · 2) = 4√2 cm.
Multiple Choice #5 25s ▶ Testen

Wie lautet das Heron-Verfahren zur Näherung von √a? Startwert x₀, dann:

  • ○ xₙ₊₁ = (xₙ + a) / 2
  • ● xₙ₊₁ = (xₙ + a/xₙ) / 2
  • ○ xₙ₊₁ = xₙ² / a
  • ○ xₙ₊₁ = a / (2·xₙ)
Beim Heron-Verfahren bildet man das Mittel aus dem aktuellen Wert xₙ und a/xₙ. So nähert man sich iterativ √a an.
Zahleneingabe #6 30s ▶ Testen

Heron-Verfahren: Berechne √10 mit Startwert x₀ = 3. Wie lautet x₁? (Runde auf 2 Dezimalen)

✓ Antwort: 3.17
x₁ = (3 + 10/3) / 2 = (3 + 3,333...) / 2 = 6,333.../2 ≈ 3,17.
Zahleneingabe #7 25s ▶ Testen

Berechne: √18 + √8 in der Form a√2. Was ist a?

✓ Antwort: 5
√18 = 3√2 und √8 = 2√2. Also √18 + √8 = 3√2 + 2√2 = 5√2.
Zahleneingabe #8 15s ▶ Testen

Vereinfache: (2√3)²

✓ Antwort: 12
(2√3)² = 2² · (√3)² = 4 · 3 = 12.
Lückentext #9 20s ▶ Testen

Mache den Nenner rational: 10/√5 = ___√5

✓ Antwort: 2
10/√5 = 10·√5/5 = 2√5.