Herleitung des Sinussatzes

Deriving the Law of Sines

Mathematik Klasse 9 5 Aufgaben
GeometrieTrigonometrieSinussatz

Dieselbe Höhe, anders gelesen: sie ist zugleich b·sin α und a·sin β, weil sie in beiden Teildreiecken die Gegenkathete ist. Gleichsetzen und umstellen liefert a/sin α = b/sin β, und dieselbe Rechnung an einer zweiten Höhe hängt das dritte Verhältnis an. Der Satz sagt damit etwas Anschauliches: in jedem Dreieck gehört zur größeren Seite der größere Gegenwinkel, im festen Verhältnis. Räumt die Vorstellung aus, Sinussatz und Kosinussatz seien zwei unverbundene Formeln — beide kommen aus derselben Zerlegung.

Im rechten Teildreieck ist a die Hypotenuse und die Gegenkathete zum Winkel β. Damit gilt das übliche Sinus-Verhältnis im rechtwinkligen Dreieck:

Mit und folgt:

Das ist die Höhe vom Anfang, — jetzt aber aus einer Seite und einem Winkel berechnet, nicht gemessen.

Bewege den Schieberegler für — beobachte, wie sich ändert.

Voraussetzungen (1)

Anwendung des Kosinussatzes
Klasse 9
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Ermöglicht (1)

Höhe aus der zweiten Seite ausdrücken
Klasse 9
›
Leicht
Multiple Choice #1 15s ▶ Testen

Welche Gleichung entsteht, wenn man hc = a · sin β und hc = b · sin α gleichsetzt?

  • ○ a · sin α = b · sin β
  • ● a · sin β = b · sin α
  • ○ a / sin β = b / sin α
  • ○ a + b = sin α + sin β
Aus hc = a · sin β und hc = b · sin α folgt direkt a · sin β = b · sin α.
Multiple Choice #2 35s ▶ Testen

Die Höhe h_c wird in beiden rechtwinkligen Teildreiecken ausgedrückt. Welches Paar ist richtig?

  • ● h_c = a · sin β und h_c = b · sin α
  • ○ h_c = a · sin α und h_c = b · sin β
  • ○ h_c = a · cos β und h_c = b · cos α
Im Teildreieck bei B ist a die Hypotenuse und β der Winkel, also h_c = a · sin β; im Teildreieck bei A entsprechend h_c = b · sin α. Der Winkel gehört immer zur anderen Seite.
Mittel
Lückentext #1 25s ▶ Testen

Ergänze, was aus h_c = b · sin α und h_c = a · sin β folgt: b · sin α = ___

✓ Antwort: a · sin β
Dieselbe Höhe, zweimal ausgedrückt, also b · sin α = a · sin β. Durch sin α · sin β geteilt steht der Sinussatz da.
Schwer
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Im Teildreieck bei A gilt h_c = b · sin α. Berechne h_c für b = 10 cm und α = 35° (auf 0,1 cm genau).

✓ Antwort: 5.7
h_c = 10 cm · sin 35° ≈ 10 cm · 0,574 ≈ 5,7 cm.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Im Teildreieck bei B gilt h_c = a · sin β. Berechne h_c für a = 7 cm und β = 52° (auf 0,1 cm genau).

✓ Antwort: 5.5
h_c = 7 cm · sin 52° ≈ 7 cm · 0,788 ≈ 5,5 cm. Beide Teildreiecke müssen dieselbe Höhe liefern — das ist der Ansatz des Sinussatzes.