Ähnliche Dreiecke und Seitenverhältnisse
Similar Triangles and Side Ratios
Benennt die Seiten des rechtwinkligen Dreiecks — Hypotenuse, Gegenkathete und Ankathete, von α und von β aus gesehen — und zeigt dann, warum ihr Verhältnis nur vom Winkel abhängt: Zwei rechtwinklige Dreiecke mit einem gleichen spitzen Winkel sind ähnlich, das eine entsteht aus dem anderen durch Strecken mit einem Faktor k, und weil k jede Seite gleich vergrößert, kürzt es sich in jedem Seitenverhältnis weg. Genau das macht aus einer Messung eine Funktion des Winkels und ist die Voraussetzung dafür, dass „sin 30°" im nächsten Abschnitt überhaupt eine Zahl sein kann. Räumt die bei Filler (Didaktische Aspekte der Trigonometrie, HU Berlin) dokumentierte Fehlvorstellung aus, längere Seiten ergäben ein größeres Verhältnis. Trägt Sinus, Kosinus und Tangens, die nichts anderes sind als je eines dieser Verhältnisse — der Abschnitt selbst führt die Namen noch nicht ein.
Die Seiten haben Namen
Im rechtwinkligen Dreieck liegt der rechte Winkel
Die Seite gegenüber dem rechten Winkel heißt
Schaut man von β aus, tauschen die Katheten ihre Rollen:
Ähnliche Dreiecke
Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck mit einem spitzen Winkel
Alle drei sehen „gleich aus“ — nur die Größe unterscheidet sich, und das
bleibt so, wohin du
Bei rechtwinkligen Dreiecken genügt dafür schon ein einziger spitzer Winkel.
Der rechte Winkel ist in beiden sowieso 90°, und weil die Winkelsumme 180°
beträgt, ist der dritte Winkel dann in beiden
Strecken mit dem Faktor k
Ein ähnliches, größeres Dreieck entsteht, wenn man das Dreieck
streckt: Jede Seite wird mit derselben Zahl
Ein Seitenverhältnis ausrechnen
Die beiden Zahlen, die in der untersten Zeile der Figur stehen bleiben,
sind Seitenverhältnisse: eine Seitenlänge geteilt durch
eine andere. Im Original mit
Die Einheit kürzt sich weg — ein Seitenverhältnis ist eine reine Zahl. Genauso
ist
Mit
Nur der Winkel zählt
Was das Verhältnis ändert, ist der Winkel. Ein anderes
Voraussetzungen (1)
Ermöglicht (1)
Im rechtwinkligen Dreieck KLM liegt der rechte Winkel bei L. Welche Seite ist die Hypotenuse?
Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Seiten 20 cm, 21 cm und 29 cm. Welche davon ist die Hypotenuse?
Die Hypotenuse ist eine der beiden Katheten.
Im rechtwinkligen Dreieck XYZ liegt der rechte Winkel bei Z. Welche Seite ist die Gegenkathete des Winkels bei X?
Die Gegenkathete von α geht durch den Scheitel des Winkels α.
Im rechtwinkligen Dreieck DEF liegt der rechte Winkel bei F. Welche Seite ist die Ankathete des Winkels bei D?
Beide Seiten, die am Winkel α anliegen, heißen Ankathete von α.
Die Gegenkathete von α ist auch die Gegenkathete von β.
Man schaut nicht mehr von α, sondern von β aus auf das rechtwinklige Dreieck. Welche Seite behält ihren Namen?
Was haben zwei ähnliche Dreiecke sicher gemeinsam?
Zwei Dreiecke mit denselben Winkeln, aber verschieden langen Seiten sind ähnlich.
Zwei rechtwinklige Dreiecke haben beide einen Winkel von 35°. Was folgt daraus?
Zwei rechtwinklige Dreiecke haben beide den Winkel α = 25°, aber verschieden lange Hypotenusen. Dann sind sie nicht ähnlich.
Ein Dreieck mit den Seiten 3 cm, 4 cm und 5 cm wird mit dem Streckfaktor k = 2 gestreckt. Welche Seiten hat das neue Dreieck?
Streckt man ein Dreieck, kommt zu jeder Seite dieselbe Länge hinzu.
Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten 3 cm und 4 cm. Welches Dreieck ist dazu NICHT ähnlich?
In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Gegenkathete 3 cm und die Hypotenuse 5 cm lang. Welcher Wert ist das Seitenverhältnis Gegenkathete : Hypotenuse?
Das Seitenverhältnis 6 cm : 8 cm = 0,75 hat die Einheit cm.
Zwei rechtwinklige Dreiecke haben denselben spitzen Winkel α = 40°. Das eine hat eine Hypotenuse von 5 cm, das andere von 10 cm. Was gilt für das Verhältnis Gegenkathete : Hypotenuse?
Wenn man ein rechtwinkliges Dreieck gleichmäßig vergrößert, ändern sich die Seitenverhältnisse.
Man verlängert in einem rechtwinkligen Dreieck nur die Hypotenuse und lässt die Gegenkathete gleich lang. Dann bleibt das Verhältnis Gegenkathete : Hypotenuse gleich.
In Dreieck 1 ist die Gegenkathete 3 cm und die Hypotenuse 5 cm lang. Welches Dreieck hat denselben Winkel α?
In Dreieck 1 ist die Ankathete 4 cm und die Hypotenuse 5 cm lang. Welches Dreieck hat denselben Winkel α?
Ein rechtwinkliges Dreieck mit Gegenkathete 6 cm und Hypotenuse 10 cm hat ein größeres Verhältnis Gegenkathete : Hypotenuse als eines mit Gegenkathete 3 cm und Hypotenuse 5 cm.
Tippe auf die Hypotenuse.
Tippe auf die Hypotenuse.
Tippe auf die Hypotenuse.
Tippe auf die Gegenkathete von α.
Tippe auf die Gegenkathete von α.
Tippe auf die Gegenkathete des Winkels bei R.
Tippe auf die Gegenkathete von α.
Tippe auf die Ankathete von α.
Tippe auf die Ankathete des Winkels bei R.
Tippe auf die Ankathete von α.
Tippe auf die Ankathete von α.
Tippe auf die Gegenkathete von β.
Tippe auf die Ankathete von β.
Tippe auf die Gegenkathete von β.
Tippe auf die Ankathete von β.
Die beiden Dreiecke sind ähnlich.
Die beiden Dreiecke sind ähnlich.
Die beiden Dreiecke sind ähnlich.
Die beiden Dreiecke sind ähnlich.
Die beiden Dreiecke sind ähnlich.
Welches der Dreiecke B, C, D ist zu A ähnlich?
Die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt, heißt: ___
Die Kathete, die dem Winkel α gegenüberliegt, heißt: ___
Die Kathete, die am Winkel α anliegt, heißt: ___
Die Gegenkathete von α ist, von β aus gesehen, die ___
Zwei Dreiecke, deren Winkel alle übereinstimmen, heißen ___
In einem rechtwinkligen Dreieck ist α = 35°. Wie groß ist der andere spitze Winkel β (in Grad)?
Eine Dreiecksseite ist 4 cm lang. Das Dreieck wird mit dem Streckfaktor k = 1,5 gestreckt. Wie lang ist die Seite danach (in cm)?
In einem rechtwinkligen Dreieck ist a = 7 cm und c = 20 cm. Berechne das Seitenverhältnis a : c.
In einem rechtwinkligen Dreieck ist a : c = 0,6. Alle drei Seiten werden verdreifacht. Wie groß ist a : c danach?
Im rechtwinkligen Dreieck mit Gegenkathete 5 cm und Ankathete 12 cm ist Gegenkathete : Ankathete ≈ 0,42. Wie groß ist dieses Verhältnis im Dreieck mit Gegenkathete 10 cm und Ankathete 24 cm?
In einem rechtwinkligen Dreieck gilt a : c = 0,5. Im doppelt so großen, ähnlichen Dreieck gilt: a : c = ___
In einem rechtwinkligen Dreieck mit α = 30° ist Gegenkathete : Hypotenuse = 0,5. Ein anderes, viel größeres rechtwinkliges Dreieck hat ebenfalls Gegenkathete : Hypotenuse = 0,5. Wie groß ist dort α (in Grad)?
Das Dreieck PQR ist ähnlich zu ABC (P gehört zu A, Q zu B, R zu C). Wie groß ist der Winkel bei Q (in Grad)?
Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten 6 cm und 8 cm. Wie lang ist die Hypotenuse (in cm)?
In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse 13 cm und die Ankathete von α 5 cm lang. Wie lang ist die Gegenkathete von α (in cm)?
In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse 10 cm und die Gegenkathete von α 6 cm lang. Wie lang ist die Ankathete von α (in cm)?
Im rechtwinkligen Dreieck ABC mit γ = 90° gilt: a = 9 cm, b = 12 cm, c = 15 cm. Wie lang ist die Gegenkathete von β (in cm)?
Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten 5 cm und 12 cm und die Hypotenuse 13 cm; der Winkel β liegt der 12-cm-Seite gegenüber. Wie lang ist die Ankathete von β (in cm)?
Ein Dreieck hat die Winkel 35° und 65°. Ein zweites Dreieck ist dazu ähnlich, aber doppelt so groß. Wie groß ist sein größter Winkel (in Grad)?
Dreieck 1 ist rechtwinklig und hat einen Winkel von 27°. Dreieck 2 ist rechtwinklig und hat einen Winkel von 63°. Welcher Winkel in Dreieck 2 entspricht dem 27°-Winkel von Dreieck 1 (in Grad)?
Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Gegenkathete 3 cm und die Hypotenuse 5 cm. Ein ähnliches Dreieck hat die Hypotenuse 20 cm. Wie lang ist dort die Gegenkathete (in cm)?
Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten 5 cm und 12 cm. Es wird gestreckt; danach ist die Hypotenuse 39 cm lang. Wie groß ist der Streckfaktor k?
Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten a = 5 cm und b = 12 cm. Berechne das Seitenverhältnis a : c (auf zwei Nachkommastellen).
Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Ankathete 4 cm und die Hypotenuse 5 cm. Ein ähnliches Dreieck hat die Ankathete 12 cm. Wie lang ist dort die Hypotenuse (in cm)?
Dreieck 1 hat die Seiten 6 cm, 8 cm und 10 cm, Dreieck 2 die Seiten 9 cm, 12 cm und 15 cm. Der Winkel α liegt in beiden der Seite 6 cm bzw. 9 cm gegenüber. Zeige durch Rechnung, dass die drei Verhältnisse Gegenkathete : Hypotenuse, Ankathete : Hypotenuse und Gegenkathete : Ankathete in beiden Dreiecken denselben Wert haben. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
In Dreieck 1 ist die Gegenkathete 4 cm und die Hypotenuse 10 cm lang; dort ist α ≈ 23,6°. Dreieck 2 ist rechtwinklig mit Gegenkathete 7 cm und Hypotenuse 17,5 cm. Wie groß ist α in Dreieck 2 (in Grad)?
Zeichne zwei rechtwinklige Dreiecke mit α = 40°: eines mit der Hypotenuse 5 cm, eines mit der Hypotenuse 10 cm. Miss in beiden die Gegenkathete von α und berechne jeweils Gegenkathete : Hypotenuse. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Die beiden Dreiecke sind ähnlich.
Die beiden Dreiecke sind ähnlich.
Die beiden Dreiecke sind ähnlich.