Disjunkte Ereignisse
Disjoint Events
Disjunkte Ereignisse haben kein gemeinsames Ergebnis, A â© B = â , und dann ist P(A â© B) = 0: Die Summenformel schrumpft zu P(A âȘ B) = P(A) + P(B). Der Abschnitt rĂ€umt aus, den Schnitt immer abzuziehen oder nie zu prĂŒfen, ob es ihn gibt: Beim WĂŒrfel sind âgeradeâ und âgröĂer als 3â nicht disjunkt, âgeradeâ und âungeradeâ schon. Man prĂŒft vor jeder Vereinigungsaufgabe, ob beide Ereignisse gleichzeitig eintreten können, und wĂ€hlt danach die passende Rechnung. Das bereitet die Axiome der Wahrscheinlichkeit und die Frage vor, wann Ereignisse voneinander unabhĂ€ngig sind.
Was passiert, wenn sich die zwei Kreise nicht berĂŒhren? Stell dir einen WĂŒrfelwurf vor und betrachte die Ereignisse:
A = âAugenzahl ist geradeâ = {2, 4, 6}B = âAugenzahl ist 1â = {1}
Es gibt keine Augenzahl, die gleichzeitig gerade und gleich 1 ist. Solche Ereignisse heiĂen disjunkt (oder unvereinbar):
Im Mengendiagramm berĂŒhren sich die beiden Kreise dann gar nicht â die SchnittflĂ€che ist leer. Der dritte Schieber steht auf 0. Zieh ihn probeweise nach oben: Sobald er gröĂer als 0 ist, ĂŒberlappen sich die Kreise, und der Korrekturterm ist nicht mehr null.
FĂŒr disjunkte Ereignisse vereinfacht sich die Summenformel zu:
Beim WĂŒrfel: P(A âȘ B) = 3/6 + 1/6 = 4/6 â 0,67. Die Wahrscheinlichkeit, dass die Augenzahl gerade oder gleich 1 ist, betrĂ€gt also rund 67 %.
Faustregel: Frag dich vor jeder Vereinigungsaufgabe â können beide Ereignisse gleichzeitig eintreten? Wenn nein, ist es ein einfacher Spezialfall.
Zum Vergleich:
Voraussetzungen (1)
Ermöglicht (1)
Beim WĂŒrfelwurf sind zwei Ereignisse A und B gegeben. Welches Paar ist disjunkt?
Beim Skatblatt mit 32 Karten sind die Ereignisse âHerzâ und âKaroâ disjunkt.
Beim Skatblatt mit 32 Karten sind die Ereignisse âHerzâ und âBubeâ disjunkt.
Die Ereignisse A und B im Diagramm sind disjunkt.
Beim WĂŒrfelwurf ist A: die Augenzahl 1 und B: die Augenzahl 6. Wie groĂ ist P(A âȘ B)?
Die Ereignisse A und B sind disjunkt, es ist P(A) = 0,3 und P(B) = 0,5. Dann ist P(A âȘ B) = 0,8.
Die Ereignisse A und B sind disjunkt mit P(A) = 0,25 und P(B) = 0,40. Wie groĂ ist P(A âȘ B)?
Beim WĂŒrfelwurf ist A: Augenzahl gerade und B: Augenzahl gröĂer als 3. Wie groĂ ist P(A âȘ B)?
Beim WĂŒrfelwurf sind A: Augenzahl gerade und B: Augenzahl gröĂer als 3 disjunkt.
Ein GlĂŒcksrad hat acht gleich groĂe Sektoren mit den Zahlen 1 bis 8. A: Zahl höchstens 4, B: Zahl gerade. Wie groĂ ist P(A âȘ B)?
Beim WĂŒrfelwurf ist A = {1, 3, 5} und B = {2, 6}. Wie viele Ergebnisse liegen in A â© B?
Ein Skatblatt hat 32 Karten, davon 8 Herz und 8 Karo. Wie groĂ ist die Wahrscheinlichkeit, eine Karte zu ziehen, die Herz oder Karo ist?
In einer Urne liegen Kugeln mit den Zahlen 1 bis 20. A: Zahl durch 2 teilbar (10 Kugeln), B: Zahl durch 5 teilbar (4 Kugeln). Zwei Kugeln (10 und 20) erfĂŒllen beides. Wie groĂ ist P(A âȘ B)?
Beim WĂŒrfelwurf sind drei Paare gegeben: (1) gerade und ungerade, (2) höchstens 2 und mindestens 2, (3) die Augenzahl 1 und gröĂer als 5. Wie viele der drei Paare sind disjunkt?
Das Kreisdiagramm zeigt, welchen Anteil eines GlĂŒcksrads die vier Farben einnehmen. Wie groĂ ist die Wahrscheinlichkeit fĂŒr âRot oder GrĂŒnâ (als Dezimalzahl)?
Ein Kind kommt mit dem Rad oder mit dem Bus zur Schule, manche nutzen beides. Wie groà ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufÀllig ausgewÀhltes Kind Rad oder Bus nutzt?
Beim WĂŒrfelwurf ist A: Augenzahl durch 3 teilbar und B: Augenzahl gerade. PrĂŒfe, ob A und B disjunkt sind, und bestimme P(A âȘ B) mit der Formel P(A âȘ B) = P(A) + P(B) â P(A â© B). Kontrolliere das Ergebnis, indem du die Augenzahlen von A âȘ B aufzĂ€hlst. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.