Vereinigungsmenge — A oder B

Union — A or B

Mathematik Klasse 9 16 Aufgaben

WahrscheinlichkeitMengenVereinigungsmenge

Die Vereinigungsmenge A ∪ B enthält alle Ergebnisse, die in A oder in B oder in beiden liegen: „mindestens eines der beiden tritt ein“. Der Abschnitt räumt aus, das mathematische „oder“ wie „entweder … oder“ zu lesen; wer beides tut, gehört dazu. Man liest |A ∪ B| aus dem Diagramm ab, indem man alle Bereiche in den Kreisen zusammenzählt, und bestimmt mit „weder … noch“ den Rest außerhalb der Kreise als Gesamtzahl minus Vereinigung. Das bereitet die Summenformel vor, die den Schnitt einmal abzieht.

Jetzt zur Ausgangsfrage: Wie viele spielen mindestens eine der beiden Sportarten? Wir suchen alle Schüler:innen, die in mindestens einem der beiden Kreise liegen — egal, in welchem.

Diese Menge heißt Vereinigungsmenge:

A ∪ B = „A oder B (oder beides) tritt ein“

Das Symbol ∪ heißt Vereinigung (englisch cup). Wichtig: Das mathematische „oder“ ist einschließend. Ein Schüler, der beide Sportarten spielt, gehört auch zu „A oder B“.

Aus dem Mengendiagramm können wir |A ∪ B| einfach ablesen: alle Personen in den Kreisen.

nur Fußball: 13
beides: 5
nur Basketball: 7
= zusammen 25 Personen

Also: |A ∪ B| = 25. Das sind die gesuchten Schüler:innen, die mindestens eine der beiden Sportarten betreiben. Die übrigen 5 Personen liegen außerhalb der Kreise — sie sind weder Fußballer:innen noch Basketballer:innen.

Die markierte Fläche umfasst alle, die mindestens eine der beiden Sportarten spielen.

Die übrigen Personen lassen sich auch rechnen: Gesamtzahl − |A ∪ B| = 30 − 25 = 5 spielen weder Fußball noch Basketball.

Beim Würfel: A = {2, 4, 6} („gerade“) und B = {4, 5, 6} („größer als 3“). Dann ist A ∪ B = {2, 4, 5, 6}. Die 4 und die 6 erfüllen beide Bedingungen und stehen trotzdem nur einmal in der Menge.

Markiert sind beide Kreise: alle Augenzahlen, die gerade oder größer als 3 sind.

Voraussetzungen (1)

Schnittmenge — A und B

Klasse 9

›

Ermöglicht (1)

Doppelt gezählt — die Summenformel

Klasse 9

›

Leicht

Multiple Choice #1 30s ▶ Testen

Beim Würfelwurf ist A: Augenzahl gerade, B: Augenzahl größer als 3. Welche Menge enthält die Augenzahlen, die gerade oder größer als 3 sind (oder beides)?

○ {4, 6}
● {2, 4, 5, 6}
○ {2, 5}

Zu „A oder B“ gehört jede Augenzahl, die mindestens eine Bedingung erfüllt: 2, 4, 5, 6. Die Menge {4, 6} ist der Schnitt (beide Bedingungen), und {2, 5} erhält man, wenn man „oder“ als „entweder … oder“ liest und die 4 und die 6 streicht.

Wahr / Falsch #2 20s ▶ Testen

Beim Würfelwurf ist A: gerade und B: größer als 3. Die Augenzahl 4 gehört zu A ∪ B, obwohl sie beide Bedingungen erfüllt.

✓ Wahr

Das mathematische „oder“ ist einschließend: Wer beide Bedingungen erfüllt, gehört erst recht dazu. Die 4 liegt in A ∪ B.

Multiple Choice #3 25s ▶ Testen

Im Diagramm ist A: Schwimmen und B: Tennis. Welcher Satz beschreibt die markierte Fläche?

○ Schwimmen und Tennis
○ Entweder Schwimmen oder Tennis, aber nicht beides
● Schwimmen oder Tennis (oder beides)

Beide Kreise sind vollständig markiert: alle, die mindestens eines der beiden machen, auch die im Überlapp. „Schwimmen und Tennis“ wäre nur der Überlapp, und „entweder … oder“ ließe den Überlapp aus.

Multiple Choice #4 30s ▶ Testen

Das Diagramm zeigt 25 Kinder. Wie viele haben mindestens ein Haustier, also einen Hund oder eine Katze?

● 18
○ 21
○ 25

Zu „mindestens ein Haustier“ gehören alle Bereiche in den Kreisen: 9 + 3 + 6 = 18. Die 21 entsteht, wenn man die Kreiszahlen 12 und 9 addiert und den Überlapp doppelt zählt. Die 25 enthält auch die 7 außerhalb der Kreise.

Wahr / Falsch #5 20s ▶ Testen

Im Diagramm gehören auch die 7 Kinder außerhalb der Kreise zu „Hund oder Katze“.

✓ Falsch

Wer außerhalb beider Kreise liegt, hat weder Hund noch Katze. Zu „Hund oder Katze“ gehören nur die Bereiche in den Kreisen.

Multiple Choice #6 30s ▶ Testen

Von 40 Befragten gehen 8 nur ins Kino, 14 gehen ins Kino und streamen, 12 streamen nur. Wie viele Personen gehören zu „Kino oder Streaming“?

○ 20
● 34
○ 40

Zu „Kino oder Streaming“ gehören die drei Bereiche in den Kreisen: 8 + 14 + 12 = 34. Die 20 wären nur die Personen mit genau einer Beschäftigung („entweder … oder“), die 40 wäre ganz Ω.

Multiple Choice #7 30s ▶ Testen

Das Diagramm zeigt 25 Kinder. Wie viele haben weder Hund noch Katze?

○ 18
○ 12
● 7

Weder Hund noch Katze liegt außerhalb beider Kreise: 25 − 18 = 7. Die 18 sind die Kinder in den Kreisen, die 12 der ganze Kreis Hund.

Wahr / Falsch #8 20s ▶ Testen

Ein Kind, das weder Hund noch Katze hat, liegt im Diagramm außerhalb beider Kreise, aber im Rechteck Ω.

✓ Wahr

„Weder … noch“ heißt: nicht in A und nicht in B, also außerhalb der Kreise. Zur Umfrage gehört das Kind trotzdem, deshalb liegt es in Ω.

Multiple Choice #9 25s ▶ Testen

Von 40 Befragten gehören 34 zu „Kino oder Streaming“. Wie viele gehören weder zum Kino noch zum Streaming?

● 6
○ 34
○ 74

Der Rest außerhalb der Vereinigung: 40 − 34 = 6. Die 34 sind die Personen, die dazugehören, und 74 ergibt sich, wenn man Gesamtzahl und Vereinigung addiert.

Mittel

Zahleneingabe #1 40s ▶ Testen

Aus den Zahlen 1 bis 20 sei A die Menge der Vielfachen von 5 und B die Menge der Vielfachen von 4. Wie viele Zahlen liegen in A ∪ B?

✓ Antwort: 8

Vielfache von 5: 5, 10, 15, 20. Vielfache von 4: 4, 8, 12, 16, 20. Zusammen liegen 4, 5, 8, 10, 12, 15, 16, 20 in A ∪ B, das sind 8 Zahlen. Die 20 steht in beiden Listen und wird nur einmal gezählt.

Zahleneingabe #2 20s ▶ Testen

Im Diagramm stehen 6 Personen nur in A, 2 im Überlapp und 9 nur in B. Wie viele Personen gehören zu A ∪ B?

✓ Antwort: 17

A ∪ B sind alle Bereiche in den Kreisen: 6 + 2 + 9 = 17.

Zahleneingabe #3 20s ▶ Testen

In einer Gruppe von 36 Personen gehören 29 zu „A oder B“. Wie viele gehören weder zu A noch zu B?

✓ Antwort: 7

Weder … noch ist der Rest außerhalb der Vereinigung: 36 − 29 = 7.

Schwer

Zahleneingabe #1 35s ▶ Testen

Beim Würfelwurf ist A: Augenzahl höchstens 2 und B: Augenzahl ungerade. Wie viele Augenzahlen gehören zum Ereignis „höchstens 2 oder ungerade“?

✓ Antwort: 4

Höchstens 2: 1, 2. Ungerade: 1, 3, 5. Zusammen liegen 1, 2, 3, 5 in A ∪ B, das sind 4 Augenzahlen. Die 1 steht in beiden Listen und zählt nur einmal.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Im Jahrgang lernen 18 Schüler:innen nur Französisch, 7 lernen Französisch und Latein, 11 lernen nur Latein. Wie viele lernen Französisch oder Latein?

✓ Antwort: 36

Zusammengezählt werden alle drei Bereiche, auch der Überlapp: 18 + 7 + 11 = 36.

Zahleneingabe #3 35s ▶ Testen

Das Diagramm zeigt 28 Schüler:innen (nur Fußball 9, beides 4, nur Basketball 6). Wie viele spielen weder Fußball noch Basketball?

✓ Antwort: 9

In der Vereinigung liegen 9 + 4 + 6 = 19 Personen. Der Rest ist 28 − 19 = 9.

KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

In einer Umfrage unter 45 Personen sagen 18, dass sie nur Musik machen, 9 machen Musik und Sport, 12 machen nur Sport. Zeichne das Mengendiagramm mit allen vier Bereichen und bestimme, wie viele Personen Musik oder Sport machen und wie viele weder noch. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Rechteck Ω mit 45, zwei Kreise mit 18 (nur Musik), 9 (beides), 12 (nur Sport). Musik oder Sport: 18 + 9 + 12 = 39. Weder noch: 45 − 39 = 6, dieser Wert steht außerhalb der Kreise.

Musik oder Sport umfasst alle drei Bereiche in den Kreisen. Der Überlapp gehört dazu, wird aber nur einmal gezählt: 39. Der Rest 6 liegt außerhalb.