Zylinder in Sachaufgaben

The cylinder in real-life problems

Mathematik Klasse 8 16 Aufgaben
GeometrieVolumenOberfläche

Volumen- und Oberflächenformeln des Zylinders werden auf Sachsituationen übertragen: Skizze zeichnen, Annahmen benennen (Wand vernachlässigt, Innenmaß, offen oder geschlossen), aus der Frage die Größe wählen (Fassungsvermögen ist V in Litern, Blech und Farbe sind O oder M), rechnen und das Ergebnis mit Überschlag, Einheit und sinnvollem Runden prüfen (Blum und Leiß, Modellierungskreislauf). Räumt aus: offene Tonne mit zwei Kreisen rechnen, Außen- statt Innenmaß, cm³ und Liter verwechseln und Material abrunden. Bereitet das Modellieren in den Jahrgangsstufen 9 bis 11 vor.

Vom Bild zum Modell

Eine Sachaufgabe beginnt mit einer Skizze und mit Annahmen: Die Regentonne ist ein Zylinder; die Wand ist so dünn, dass wir sie vernachlässigen; für das Fassungsvermögen zählt das Innenmaß. Ist die Tonne oben offen, gehören nur Boden und Mantel zur Blechfläche: . Fehlende Angaben wie die Regenmenge recherchiert man. Aus der Frage folgt die Größe: „Wie viel passt hinein?“ ist das Volumen, „wie viel Blech oder Farbe?“ ist die Oberfläche (oder der Mantel).

Schrägbild: Zylinder (Radius 30 cm, Höhe 90 cm) r h
Die Regentonne als Modell: ein Zylinder mit r = 30 cm und h = 90 cm.

Rechnen und prüfen

Mit und ist und das Blech ohne Deckel . Prüfe jedes Ergebnis mit einem Überschlag (), mit der Einheit und mit dem Sinn: Fasst die Tonne 254 000 l, ist etwas schiefgelaufen. Gerundet wird nach der Situation: Wer Säcke, Eimer oder Kanister kauft, rundet auf. Ein Dach mit 40 m² liefert je Millimeter Regen 40 l; die Tonne ist nach 6,4 mm voll.

Verändere d und h. Was wirkt stärker auf das Fassungsvermögen: der Durchmesser oder die Höhe?

Voraussetzungen (2)

Oberfläche des Zylinders
Klasse 8
›
Volumen: Grundfläche mal Höhe
Klasse 8
›
Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Eine Regentonne ohne Deckel soll innen gestrichen werden. Welche Flächen zählen?

  • ● Boden und Mantel
  • ○ Boden, Deckel und Mantel
  • ○ nur der Mantel
Ohne Deckel gibt es nur den Boden (einen Kreis) und den Mantel: O_offen = π · r² + 2 · π · r · h. Den Deckel gibt es nicht, und ohne den Boden bliebe eine Fläche ungestrichen.
Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Ein Wasserrohr (beide Enden offen) wird innen gestrichen. Dafür zählt nur die Mantelfläche.

✓ Wahr
Ein Rohr hat weder Boden noch Deckel; die Innenfläche ist das Mantelrechteck 2 · π · r · h.
Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Eine Tonne hat außen den Durchmesser 60 cm, ihre Wand ist 1 cm dick. Welchen Radius nimmt man für das Fassungsvermögen?

  • ● 29 cm
  • ○ 30 cm
  • ○ 31 cm
Wasser füllt nur den Innenraum: Außenradius 30 cm minus Wandstärke 1 cm = 29 cm. 30 cm wäre das Außenmaß, 31 cm addiert die Wand.
Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Wie viel Wasser passt in eine Regentonne (r = 30 cm, h = 90 cm)? Welche Rechnung passt zur Frage?

  • ● π · 30² · 90
  • ○ 2 · π · 30 · 90
  • ○ 2 · π · 30² + 2 · π · 30 · 90
„Wie viel passt hinein“ fragt nach dem Volumen: V = π · r² · h. 2 · π · 30 · 90 ist der Mantel, die dritte Rechnung die Oberfläche – beide sind Flächen und sagen nichts über das Wasser.
Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

254 469 cm³ sind 254 469 Liter.

✓ Falsch
1 l = 1000 cm³. Also sind 254 469 cm³ nur 254,469 l ≈ 254 l.
Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Ein Ergebnis lautet 12 000 cm³. Wie viele Liter sind das?

  • ● 12 l
  • ○ 120 l
  • ○ 1,2 l
1 l = 1000 cm³, also 12 000 cm³ : 1000 = 12 l. 120 l und 1,2 l verschieben das Komma um eine Stelle falsch.
Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Ein Kreisbeet (r = 2 m) wird 10 cm hoch mit Erde gefüllt; das sind etwa 1 256,6 l. Die Erde gibt es in Säcken zu 40 l. Wie viele Säcke kauft man?

  • ● 32
  • ○ 31
  • ○ 31,4
1 256,6 : 40 ≈ 31,4. Man kann keine 0,4 Säcke kaufen, und mit 31 Säcken fehlt Erde: Es wird aufgerundet auf 32.
Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Eine Wandfarbe reicht pro Eimer für 5 m². Für 12,1 m² kauft man 2 Eimer.

✓ Falsch
12,1 : 5 = 2,42. Mit 2 Eimern bleiben 2,1 m² ungestrichen, also braucht man 3 Eimer.
Multiple Choice #9 20s ▶ Testen

Für die Tonne (r = 30 cm, h = 90 cm) rechnet man zur Kontrolle mit π ≈ 3: 3 · 30² · 90 = 243 000 cm³. Wie viele Liter sind das ungefähr?

  • ● 243 l
  • ○ 2 430 l
  • ○ 24,3 l
243 000 cm³ : 1000 = 243 l. Der genaue Wert 254 l liegt nahe dran; ein Ergebnis wie 2 430 l oder 24,3 l wäre um den Faktor 10 falsch.
Mittel
Zahleneingabe #1 50s ▶ Testen

Eine Regentonne (r = 30 cm, h = 90 cm) hat keinen Deckel. Berechne die Blechfläche aus Boden und Mantel (in m², auf 0,01 gerundet).

✓ Antwort: 1.98
O_offen = π · 30² + 2 · π · 30 · 90 = 2827 + 16965 = 19792 cm² ≈ 1,98 m² (10 000 cm² = 1 m²).
Zahleneingabe #2 20s ▶ Testen

Wie viele Liter sind 7 500 cm³?

✓ Antwort: 7.5
7 500 cm³ : 1000 = 7,5 l.
Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Man will 254 l Wasser in 5-Liter-Kanister füllen. Wie viele Kanister braucht man mindestens?

✓ Antwort: 51
254 : 5 = 50,8. Ein 51. Kanister wird für den Rest gebraucht: 51 Kanister.
Schwer
Zahleneingabe #1 50s ▶ Testen

Die Tonne hat den Innenradius 29 cm und die Höhe 90 cm. Wie viele Liter fasst sie (auf ganze Liter gerundet)?

✓ Antwort: 238
V = π · 29² · 90 cm³ = 237787 cm³ = 237,8 l ≈ 238 l.
Zahleneingabe #2 45s ▶ Testen

Eine Litfaßsäule (Durchmesser 1,2 m, Höhe 3 m) wird rundum plakatiert. Wie groß ist die Plakatfläche in m² (auf 0,1 gerundet)?

✓ Antwort: 11.3
Gefragt ist eine Fläche, und zwar der Mantel: M = 2 · π · 0,6 m · 3 m = 11,31 m² ≈ 11,3 m². (Boden und Deckel werden nicht beklebt.)
Zahleneingabe #3 60s ▶ Testen

Eine Zisterne (r = 1,25 m, h = 2 m) wird zu 80 % gefüllt. Wie viele Liter Wasser sind darin (auf ganze Liter gerundet)?

✓ Antwort: 7854
V = π · 1,25² · 2 m³ = 9,817 m³. 80 % davon: 7,854 m³ = 7 854 l (1 m³ = 1000 l).
KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Eine Regentonne (Innenmaße: d = 60 cm, h = 90 cm) steht unter einem Dach mit 40 m² Auffangfläche. Ein Millimeter Niederschlag ergibt 1 Liter Wasser je m². Nach wie viel Millimetern Regen ist die Tonne voll? Zeichne eine Skizze, nenne deine Annahmen, berechne das Volumen und das Ergebnis. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Skizze: Zylinder r = 30 cm, h = 90 cm. Annahmen: Wand vernachlässigt (Innenmaße), kein Wasser geht verloren. V = π · 30² · 90 cm³ ≈ 254 469 cm³ ≈ 254,5 l. Pro Millimeter Regen fallen 40 l. 254,5 l : 40 l/mm ≈ 6,4 mm.
V ≈ 254,5 l; 40 m² geben je mm Regen 40 l; 254,5 : 40 ≈ 6,4 mm.