Oberfläche des Zylinders

Surface area of the cylinder

Mathematik Klasse 8 20 Aufgaben

GeometrieOberfläche

Aus dem Netz folgt die Oberfläche des geraden Kreiszylinders: zwei Kreise mit je π · r² und das Mantelrechteck der Breite 2πr und der Höhe h, also O = 2πr² + 2πrh. Aufgaben laufen vorwärts (Etikett, Blechbedarf) und rückwärts (Höhe aus Mantel oder Oberfläche). Räumt aus: nur einen Kreis zählen, nur den Mantel nehmen, π · r · h statt 2 · π · r · h schreiben und die Oberfläche mit dem Volumen π · r² · h verwechseln. Bereitet das Volumen und Sachaufgaben (Farbe, Blech, Folie) vor.

Das Netz zeigt, woraus die Oberfläche eines geschlossenen Zylinders besteht: aus zwei Kreisen und dem Mantelrechteck. Jeder Kreis hat die Grundfläche $G = π r^{2}$ . Das Mantelrechteck ist so breit wie der Umfang und so hoch wie der Zylinder:

$M = 2 π r \cdot h O = 2 \cdot π r^{2} + 2 π r h = 2 π r (r + h)$

Für die Regentonne mit $r = 30 cm$ und $h = 90 cm$ (geschlossen gedacht) gilt $G \approx 2827 cm^{2}$ und $M = 2 π \cdot 30 \cdot 90 cm^{2} \approx 16965 cm^{2}$ , also $O \approx 22619 cm^{2} \approx 2, 26 m^{2}$ . Vorsicht: Beim Verdoppeln der Höhe verdoppelt sich nur M, nicht O – die Kreise bleiben. Und O ist eine Fläche in cm², nicht das Volumen $π r^{2} h$ .

Auch rückwärts geht es: Kennt man die Mantelfläche und den Radius, ist die Höhe $h = M : (2 π r)$ . Ist die Oberfläche gegeben, zieht man zuerst die beiden Kreise ab: $h = (O - 2 π r^{2}) : (2 π r)$ . Beispiel: Eine Dose mit $r = 4 cm$ und $h = 11 cm$ braucht $O \approx 100, 53 + 276, 46 \approx 377 cm^{2}$ Blech.

Ändere r und h. Welcher Teil der Oberfläche wächst mit h, welcher nicht?

Voraussetzungen (2)

Ermöglicht (1)

Zylinder in Sachaufgaben

Klasse 8

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Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Ein Zylinder hat r = 3 cm und h = 8 cm. Welche Rechnung gibt seine Mantelfläche?

● 2 · π · 3 · 8
○ π · 3 · 8
○ π · 3² · 8

Das Mantelrechteck ist 2 · π · 3 cm breit und 8 cm hoch: M = 2 · π · 3 · 8 cm² ≈ 150,8 cm². π · 3 · 8 nimmt nur die halbe Breite, π · 3² · 8 ist das Volumen.

Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Verdoppelt man bei gleichem Radius die Höhe eines Zylinders, verdoppelt sich seine Mantelfläche.

✓ Wahr

M = 2 · π · r · h ist proportional zu h: Höhe mal 2 ergibt Mantelfläche mal 2.

Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Ein Zylinder hat r = 2 cm und h = 10 cm. Wie groß ist seine Mantelfläche?

● 125,7 cm²
○ 62,8 cm²
○ 40 cm²

M = 2 · π · 2 cm · 10 cm ≈ 125,7 cm². 62,8 cm² ergibt π · r · h (halber Umfang), 40 cm² fehlt der Faktor π.

Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Ein Zylinder hat r = 2 cm und h = 5 cm. Welche Rechnung liefert die Oberfläche?

● 2 · π · 2² + 2 · π · 2 · 5
○ π · 2² + 2 · π · 2 · 5
○ 2 · π · 2 · 5

Die Oberfläche besteht aus zwei Kreisen und dem Mantel: 2 · π · 2² + 2 · π · 2 · 5. Mit nur einem Kreis wäre der Zylinder oben offen, ohne Kreise fehlen Boden und Deckel.

Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Für einen geschlossenen Zylinder mit r = 3 cm und h = 8 cm gilt O = 2 · π · 3² + 2 · π · 3 · 8 ≈ 207,3 cm².

✓ Wahr

2 · π · 9 ≈ 56,55 und 2 · π · 3 · 8 ≈ 150,80; zusammen ≈ 207,35 cm², also gerundet 207,3 cm².

Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Wie viele Teilflächen hat das Netz einer geschlossenen Dose?

● 3
○ 2
○ 4

Zwei Kreise (Boden und Deckel) und ein Rechteck (Mantel): 3 Teilflächen. Bei 2 fehlt ein Kreis, bei 4 wären es zwei Rechtecke.

Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Ein Zylinder hat r = 4 cm und die Mantelfläche 125,7 cm². Wie berechnet man seine Höhe?

● 125,7 : (2 · π · 4)
○ 125,7 · (2 · π · 4)
○ 125,7 : (π · 4²)

Aus M = 2 · π · r · h folgt h = M : (2 · π · r) = 125,7 : 25,13 ≈ 5 cm. Multipliziert man mit dem Faktor, kommt eine viel zu große Zahl heraus; teilt man durch die Grundfläche π · 4² ≈ 50,27, erhält man nur 2,5 cm.

Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Verdoppelt man bei gleichem Radius die Höhe eines Zylinders, verdoppelt sich auch seine Oberfläche.

✓ Falsch

Nur der Mantel verdoppelt sich, die beiden Kreise bleiben gleich. Beispiel r = 2 cm: h = 4 cm gibt O ≈ 75,4 cm², h = 8 cm gibt ≈ 125,7 cm² – nicht 150,8 cm².

Multiple Choice #9 20s ▶ Testen

Zylinder A hat r = 2 cm und h = 6 cm, Zylinder B hat r = 3 cm und h = 5 cm. Welcher hat die größere Mantelfläche?

● B
○ A
○ beide gleich

M_A = 2 · π · 2 · 6 ≈ 75,4 cm², M_B = 2 · π · 3 · 5 ≈ 94,2 cm². Es zählt das Produkt r · h: 12 gegen 15.

Mittel

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Berechne die Mantelfläche eines Zylinders mit r = 5 cm und h = 4 cm (in cm², auf 0,1 gerundet).

✓ Antwort: 125.7

M = 2 · π · 5 cm · 4 cm = 125,664 cm² ≈ 125,7 cm².

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Berechne die Oberfläche eines geschlossenen Zylinders mit r = 3 cm und h = 8 cm (in cm², auf 0,1 gerundet).

✓ Antwort: 207.3

O = 2 · π · 3² + 2 · π · 3 · 8 = 56,549 + 150,796 = 207,345 cm² ≈ 207,3 cm².

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Die Mantelfläche eines Zylinders mit r = 3 cm beträgt 94,2 cm². Wie hoch ist er (in cm, auf 0,1 gerundet)?

✓ Antwort: 5

h = M : (2 · π · r) = 94,2 : (2 · π · 3) = 94,2 : 18,85 ≈ 5,0 cm.

Zahleneingabe #4 60s ▶ Testen

Ein Zylinder hat r = 3 cm und h = 10 cm. Berechne die Mantelfläche M (in cm²). Rechne mit π ≈ 3,14.

✓ Antwort: 188.4

Zahleneingabe #5 60s ▶ Testen

Ein Zylinder hat r = 5 cm und h = 8 cm. Berechne die Mantelfläche M (in cm²). Rechne mit π ≈ 3,14.

✓ Antwort: 251.2

Zahleneingabe #6 75s ▶ Testen

Ein Zylinder hat r = 2 cm und h = 3 cm. Berechne seine Oberfläche O (in cm²). Rechne mit π ≈ 3,14.

✓ Antwort: 62.8

Zahleneingabe #7 75s ▶ Testen

Ein Zylinder hat r = 3 cm und h = 5 cm. Berechne seine Oberfläche O (in cm²). Rechne mit π ≈ 3,14.

✓ Antwort: 150.72

Schwer

Zahleneingabe #1 40s ▶ Testen

Das Etikett einer Dose (r = 3,5 cm, h = 10 cm) bedeckt genau den Mantel. Wie groß ist das Etikett (in cm², auf ganze cm² gerundet)?

✓ Antwort: 220

M = 2 · π · 3,5 cm · 10 cm = 219,91 cm² ≈ 220 cm².

Zahleneingabe #2 45s ▶ Testen

Eine geschlossene Blechdose hat den Durchmesser 8 cm und die Höhe 11 cm. Wie viel Blech braucht man mindestens (in cm², auf ganze cm² gerundet)?

✓ Antwort: 377

r = 4 cm. O = 2 · π · 4² + 2 · π · 4 · 11 = 100,53 + 276,46 = 376,99 cm² ≈ 377 cm².

KI-bewertete Rechnung #3 240s ▶ Testen

Eine geschlossene Konservendose hat den Radius 6 cm und die Höhe 15 cm. Zeichne ihr Netz mit den Maßen der Teile und berechne die Oberfläche. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Netz: zwei Kreise mit r = 6 cm und ein Rechteck 2 · π · 6 cm ≈ 37,7 cm breit und 15 cm hoch. Kreise: 2 · π · 6² cm² ≈ 226,2 cm². Mantel: 2 · π · 6 · 15 cm² ≈ 565,5 cm². O ≈ 226,2 cm² + 565,5 cm² ≈ 791,7 cm².

O = 2 · π · 6² + 2 · π · 6 · 15 ≈ 226,2 + 565,5 = 791,7 cm².

Zahleneingabe #4 60s ▶ Testen

Eine geschlossene Dose mit r = 5 cm hat die Oberfläche 471,2 cm². Wie hoch ist sie (in cm, auf 0,1 gerundet)?

✓ Antwort: 10

Die Kreise haben 2 · π · 5² ≈ 157,08 cm². Für den Mantel bleiben 471,2 − 157,08 = 314,12 cm². h = 314,12 : (2 · π · 5) ≈ 10,0 cm.