Abstand Punkt–Gerade
Distance point to line
Der Abstand eines Punktes P von einer Geraden g ist die Länge des Lots auf g. Der Lotfußpunkt F ergibt sich mit einer Hilfsebene H durch P, deren Normalenvektor der Richtungsvektor u von g ist: H: u·X = u·P wird mit g geschnitten wie in der Station Gerade und Ebene. Der Abstand ist dann |PF|; für parallele Geraden genügt ein Punkt der einen Geraden. Räumt aus, den Abstand zum Aufpunkt A für den Abstand zur Geraden zu halten, die Hilfsebene mit n statt u oder mit dem Aufpunkt statt mit P zu bilden. Bereitet den Abstand windschiefer Geraden und die Lage von Kugel und Gerade vor.
Das Lot auf die Gerade
Die Drohne bei
Parallele Geraden
Parallele Geraden haben überall denselben Abstand: Man wählt einen Punkt der einen Geraden und berechnet seinen Abstand zur anderen. Das Kabel h: X = (4; 1; 2) + μ·(2; 0; −2) ist parallel zu s und enthält P(2 | 1 | 4) (μ = −1). Also ist d(s, h) = 3. Nicht der Abstand der Aufpunkte zählt, hier |(4; −1; 0)| = √17 ≈ 4,1: Ihre Verbindung steht nicht senkrecht auf den Geraden.
Voraussetzungen (1)
Ermöglicht (1)
Welche Ebene ist die Hilfsebene durch P(5 | 1 | 2) senkrecht zu g: X = (1; 0; 1) + λ·(2; −1; 2)?
Die Hilfsebene 2x₁ − x₂ + 2x₃ = 13 schneidet g: X = (1; 0; 1) + λ·(2; −1; 2) bei λ = 1. Welcher Punkt ist der Lotfußpunkt von P(5 | 1 | 2) auf g?
F(2 | 4 | 4) ist der Lotfußpunkt von P(3 | 2 | 4) auf g: X = λ·(1; 2; 2).
Der Lotfußpunkt von P(5 | 1 | 2) auf g ist F(3 | −1 | 3), und g hat den Aufpunkt A(1 | 0 | 1). Wie groß ist der Abstand von P zu g?
Für P(5 | 1 | 2) und g: X = (1; 0; 1) + λ·(2; −1; 2) ist der Abstand von P zu g kleiner als der Abstand von P zum Aufpunkt A(1 | 0 | 1).
Die Geraden g: X = (1; 0; 1) + λ·(1; 2; 2) und h: X = (4; 3; 1) + μ·(1; 2; 2) sind parallel. Wie groß ist ihr Abstand?
Die Punkte B(4 | 3 | 1) und B′(5 | 5 | 3) liegen auf h: X = (4; 3; 1) + μ·(1; 2; 2) und haben denselben Abstand zur parallelen Geraden g: X = (1; 0; 1) + λ·(1; 2; 2).
Die Hilfsebene 2x₁ − x₂ + 2x₃ = 13 wird mit g: X = (1; 0; 1) + λ·(2; −1; 2) geschnitten. Für welches λ?
Der Lotfußpunkt von P(6 | 6 | 2) auf g ist F(4 | 5 | 4). Berechne |PF|.
Der Punkt B(4 | 3 | 1) der Geraden h hat den Lotfußpunkt F(2 | 2 | 3) auf der parallelen Geraden g. Wie groß ist der Abstand von g und h?
Bestimme den Lotfußpunkt von P(6 | 6 | 2) auf g: X = (2; 1; 0) + λ·(1; 2; 2). Welche x₂-Koordinate hat er?
Die Dachkante ist s: X = (0; 2; 2) + t·(1; 0; −1). Eine Drohne schwebt im Punkt P(5 | 4 | 5) (1 Längeneinheit = 1 m). Welchen Abstand hat sie zur Kante s?
Zwei parallele Kabel: g: X = (1; 1; 0) + λ·(0; 3; 4) und h: X = (6; 4; 4) + μ·(0; 3; 4). Wie groß ist ihr Abstand (1 Längeneinheit = 1 m)?
Die Dachkante ist s: X = (0; 2; 2) + t·(1; 0; −1). Eine Drohne schwebt im Punkt P(6 | 4 | 4). Bestimme den Lotfußpunkt F auf s mit einer Hilfsebene und berechne damit den Abstand von P zu s. Prüfe, dass PF senkrecht auf s steht. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.