Das Gegenereignis

The complement of an event

Mathematik Klasse 8 19 Aufgaben

WahrscheinlichkeitStochastik

Das Gegenereignis Ē eines Ereignisses E enthält alle Ergebnisse von Ω, die nicht in E liegen: Beide überschneiden sich nie und ergeben zusammen ganz Ω, also gilt |Ē| = |Ω| − |E|. Räumt zwei Fehlbilder aus: das Gegenereignis sei das „Gegenteil-Wort“ (zu „mehr als 3“ nicht „weniger als 3“, sondern „höchstens 3“) und ein Ergebnis könne in E und Ē zugleich liegen. Bereitet P(Ē) = 1 − P(E) und den Trick „mindestens einmal“ vor.

Manchmal ist es einfacher zu fragen, was nicht passieren soll. Das Gegenereignis $\overline{E}$ („E quer“) eines Ereignisses E enthält alle Ergebnisse von $Ω$ , die nicht in E liegen. Beide überschneiden sich nie, und zusammen ergeben sie ganz $Ω$ . Beim Würfel ist $E = {5, 6}$ und $\overline{E} = {1, 2, 3, 4}$ . Wer weiß, was E enthält, kennt damit auch Ē – und umgekehrt.

Mit $∣ E ∣$ bezeichnen wir die Anzahl der Ergebnisse von E. Weil E und Ē zusammen genau Ω füllen, gilt (beim Würfel mit E = {5, 6}: 6 − 2 = 4)

$∣ \overline{E} ∣ = ∣Ω∣ - ∣ E ∣$

Verschiebe die Grenze s (W₁ und W₂ sind die beiden Würfel): E ist „Augensumme mindestens s“. Wie ändern sich |E| und |Ē|, und was bleibt gleich?

Vorsicht bei Wörtern. Das Gegenereignis ist nicht das „Gegenteil-Wort“, sondern das, was bei E nicht eintritt – ohne die Grenze zu verlieren. Zu „mehr als 3“ gehört „höchstens 3“, nicht „weniger als 3“, sonst fiele die 3 heraus. Zu „mindestens einmal Kopf“ gehört „keinmal Kopf“, nicht „mindestens einmal Zahl“. Und oft ist Ē kürzer zu zählen: Zu „Augensumme mindestens 4“ gehören 33 Paare, zum Gegenereignis „höchstens 3“ nur drei.

Voraussetzungen (1)

Zufallsexperiment und Ereignis

Klasse 8

›

Ermöglicht (1)

Günstige durch mögliche

Klasse 8

›

Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Ein Würfel wird geworfen, E = {2, 4, 6}. Welche Menge ist das Gegenereignis Ē?

● Ē = {1, 3, 5}
○ Ē = {1, 2, 3, 5}
○ Ē = {1, 3}

Ē enthält alle Zahlen aus Ω = {1, …, 6}, die nicht in E liegen: 1, 3 und 5. Die 2 liegt in E, kann also nicht in Ē sein; und die 5 darf nicht fehlen.

Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Jedes Ergebnis von Ω liegt entweder im Ereignis E oder im Gegenereignis Ē, aber nie in beiden.

✓ Wahr

Ē besteht genau aus den Ergebnissen, die nicht in E liegen – E und Ē überschneiden sich nie und füllen zusammen ganz Ω.

Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Im Gitter ist das Ereignis E gefärbt. Welches Paar (1. Würfel | 2. Würfel) liegt im Gegenereignis Ē?

● (2 | 5)
○ (4 | 4)
○ (6 | 6)

Gefärbt sind alle Paare mit zwei gleichen Zahlen. (2 | 5) ist ungefärbt, liegt also nicht in E, sondern in Ē. (4 | 4) und (6 | 6) liegen in E.

Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Beim Würfeln ist E: „Augenzahl größer als 4“. Wie lautet das Gegenereignis?

● Augenzahl höchstens 4
○ Augenzahl kleiner als 4
○ Augenzahl höchstens 3

E = {5, 6}, also ist Ē = {1, 2, 3, 4}: „höchstens 4“. „Kleiner als 4“ lässt die 4 verschwinden.

Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Eine Münze wird dreimal geworfen. E: „mindestens einmal Kopf“. Wie lautet das Gegenereignis?

● Kein einziges Mal Kopf
○ Mindestens einmal Zahl
○ Genau einmal Kopf

Bei E fällt Kopf einmal, zweimal oder dreimal. Übrig bleibt: keinmal Kopf, also dreimal Zahl. „Mindestens einmal Zahl“ überschneidet sich mit E (KZK).

Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Beim Würfeln ist „ungerade Zahl“ das Gegenereignis zu „gerade Zahl“.

✓ Wahr

E = {2, 4, 6}, Ē = {1, 3, 5}: genau die ungeraden Zahlen.

Wahr / Falsch #7 15s ▶ Testen

Das Gegenereignis zu „weniger als 3 Treffer“ ist „mehr als 3 Treffer“.

✓ Falsch

Zu „weniger als 3“ gehören 0, 1, 2 Treffer, das Gegenereignis besteht aus 3, 4, … Treffern: „mindestens 3“. Mit „mehr als 3“ ginge der Fall genau 3 verloren.

Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Ω hat 20 Ergebnisse, das Ereignis E hat 6 davon. Wie viele Ergebnisse hat Ē?

● 14
○ 26
○ 6

|Ē| = |Ω| − |E| = 20 − 6 = 14. Addieren (26) würde mehr Ergebnisse ergeben, als es überhaupt gibt.

Multiple Choice #9 20s ▶ Testen

Im Gitter ist das Ereignis E gefärbt. Wie viele Ergebnisse hat das Gegenereignis Ē?

● 30
○ 6
○ 42

Gefärbt sind 6 der 36 Ergebnisse, also hat Ē die übrigen 36 − 6 = 30.

Wahr / Falsch #10 15s ▶ Testen

Enthält E genau ein Drittel aller Ergebnisse von Ω, so enthält auch Ē genau ein Drittel.

✓ Falsch

|Ē| = |Ω| − |E| = |Ω| − |Ω|/3 = 2/3 · |Ω|: Das Gegenereignis enthält die restlichen zwei Drittel.

Mittel

Zahleneingabe #1 20s ▶ Testen

Ein Würfel wird geworfen, E = {1, 2, 3, 4}. Das Gegenereignis ist Ē = {5, ___}. Welche Zahl fehlt?

✓ Antwort: 6

Ē enthält alle Zahlen aus Ω = {1, …, 6}, die nicht in E liegen: 5 und 6.

Lückentext #2 20s ▶ Testen

Das Gegenereignis von „mindestens 5 Treffer“ heißt „___ 4 Treffer“.

✓ Antwort: höchstens

Mindestens 5 heißt 5, 6, …; übrig bleiben 0 bis 4 Treffer: höchstens 4.

Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Ein Kartenspiel hat 52 Karten (52 Ergebnisse). Das Ereignis E: „Herz“ hat 13 Ergebnisse. Wie viele Ergebnisse hat Ē?

✓ Antwort: 39

|Ē| = 52 − 13 = 39.

Zahleneingabe #4 25s ▶ Testen

In einer Lostrommel sind 20 Lose, 3 davon gewinnen. Wie viele Lose sind Nieten?

✓ Antwort: 17

Zahleneingabe #5 25s ▶ Testen

In einer Lostrommel sind 50 Lose, 8 davon gewinnen. Wie viele Lose sind Nieten?

✓ Antwort: 42

Schwer

Zahleneingabe #1 25s ▶ Testen

Ein Rad zeigt die Zahlen 1 bis 8. E = {2, 4, 6, 8}. Wie groß ist die Summe aller Zahlen im Gegenereignis Ē?

✓ Antwort: 16

Ē = {1, 3, 5, 7}, die Summe ist 1 + 3 + 5 + 7 = 16.

Zahleneingabe #2 25s ▶ Testen

Bei 10 Würfen ist E: „mindestens 4 Treffer“. Das Gegenereignis heißt „höchstens k Treffer“. Bestimme k.

✓ Antwort: 3

E umfasst 4, 5, …, 10 Treffer. Übrig bleiben 0, 1, 2, 3 Treffer: höchstens 3, also k = 3.

Zahleneingabe #3 35s ▶ Testen

Zwei Würfel werden geworfen. Wie viele Ergebnisse hat das Gegenereignis zu „Augensumme mindestens 4“?

✓ Antwort: 3

Ē ist „Augensumme höchstens 3“: (1 | 1), (1 | 2), (2 | 1). Das sind 3 Ergebnisse – viel kürzer als die 33 Ergebnisse von E zu zählen.

KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Zwei Würfel werden geworfen, Ω hat 36 Ergebnisse. E ist das Ereignis „Augensumme mindestens 5“. Beschreibe das Gegenereignis Ē in Worten, schreibe alle Ergebnisse von Ē als Paare auf und berechne damit die Anzahl der Ergebnisse von E. Erkläre in einem Satz, warum der Weg über Ē hier kürzer ist. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Ē: „Augensumme höchstens 4“. Ē = {(1|1), (1|2), (2|1), (1|3), (2|2), (3|1)}, also |Ē| = 6. Damit |E| = 36 − 6 = 30. Der Weg über Ē ist kürzer, weil Ē nur 6 Paare hat, E dagegen 30.

Summe höchstens 4: (1|1); (1|2), (2|1); (1|3), (2|2), (3|1) – das sind 1 + 2 + 3 = 6 Paare. |E| = |Ω| − |Ē| = 36 − 6 = 30.