Zufallsexperiment und Ereignis

Random experiment and event

Mathematik Klasse 8 19 Aufgaben

WahrscheinlichkeitStochastik

Ein Zufallsexperiment lässt sich unter gleichen Bedingungen wiederholen, sein Ausgang steht vorher nicht fest – unbekannt ist nicht dasselbe wie zufällig. Jeder mögliche Ausgang ist ein Ergebnis, alle zusammen bilden die Ergebnismenge Ω; ein Ereignis ist eine Teilmenge davon. Räumt drei Fehlvorstellungen aus: Zufall sei bloß Nichtwissen, (KZ) und (ZK) seien dasselbe Ergebnis, und ein Ereignis sei ein einzelnes Ergebnis. Bereitet das Gegenereignis und die Laplace-Wahrscheinlichkeit vor.

Ergebnis und Ergebnismenge

Nimm einen Würfel und wirf ihn. Sag vor jedem Wurf voraus, welche Zahl kommt, und prüfe, wie oft du richtig liegst.

Wirf einmal. Konntest du vorher sagen, was kommt? Wirf dann zehnmal und hundertmal: Was lässt sich über viele Würfe sagen, was über einen einzigen nicht?

Einen einzelnen Wurf kann niemand vorhersagen, und doch läuft jeder Wurf unter denselben Bedingungen ab. Genau das macht den Würfel zu einem Zufallsexperiment.

Ein Zufallsexperiment lässt sich unter gleichen Bedingungen wiederholen, und sein Ausgang steht vorher nicht fest: Würfeln, eine Kugel ziehen, ein Glücksrad drehen. Ein deterministischer Vorgang hat einen festen Ausgang, etwa 12 cm Stoff um 5 cm kürzen. Nicht zu wissen, was herauskommt, macht einen Vorgang noch nicht zufällig: Die Hauptstadt von Australien zu raten ist kein Zufallsexperiment, die Antwort steht ja fest.

Jeder mögliche Ausgang heißt Ergebnis. Alle Ergebnisse zusammen bilden die Ergebnismenge $Ω$ , jedes Ergebnis kommt darin genau einmal vor. Beim Rad mit vier gleichen Feldern ist $Ω = {Rot, Blau, Gr \overset{u}{¨} n, Gelb}$ . Was ein Ergebnis ist, hängt davon ab, was du notierst: die Farbe oder die Nummer des Feldes. Bei zwei Münzwürfen sind Kopf-dann-Zahl und Zahl-dann-Kopf zwei verschiedene Ergebnisse.

Dreh das Rad mehrmals. Jede Drehung liefert genau ein Ergebnis aus Ω.

Das Ereignis

Oft zählt nicht ein einzelnes Ergebnis, sondern eine Gruppe von Ergebnissen. Ein Ereignis ist eine Teilmenge der Ergebnismenge. Beim Würfeln ist „gerade Zahl“ das Ereignis $E = {2, 4, 6}$ . Es tritt ein, sobald eines seiner Ergebnisse fällt – die 4 genügt.

Zwei Würfel haben 36 Ergebnisse, nämlich die Paare (1. Würfel | 2. Würfel). Das Ereignis „Augensumme s“ besteht aus allen Paaren mit dieser Summe. Stelle s ein: Die gefärbten Punkte sind die Ergebnisse des Ereignisses.

Verändere die Augensumme s (waagerecht: W₁, senkrecht: W₂). Wie viele Ergebnisse gehören zum Ereignis, wie viele hat Ω insgesamt?

Ermöglicht (2)

Das Gegenereignis

Klasse 8

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Laplace-Experiment oder nicht?

Klasse 8

›

Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Welcher Vorgang ist ein Zufallsexperiment?

● Eine Kugel blind aus einer Urne ziehen
○ Die Hauptstadt von Australien raten
○ Von einem 12 cm langen Stab 5 cm absägen und die Restlänge messen

Beim blinden Ziehen steht der Ausgang vorher nicht fest, und man kann es unter gleichen Bedingungen wiederholen. Die Hauptstadt raten: Die Antwort steht fest, nur du kennst sie nicht. Beim Absägen ist die Restlänge 12 − 5 = 7 cm vorbestimmt.

Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Die Anzahl der Fenster deiner Schule zu zählen ist ein Zufallsexperiment, denn du kennst das Ergebnis vorher nicht.

✓ Falsch

Die Anzahl steht fest, auch wenn du sie noch nicht kennst. Nicht zu wissen heißt nicht, dass der Zufall entscheidet.

Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Welcher Vorgang ist deterministisch?

● 12 cm Stoff um 5 cm kürzen und den Rest messen
○ Ein Los aus der Lostrommel ziehen
○ Ein Glücksrad drehen und die Farbe notieren

Beim Abschneiden steht der Rest fest: 12 − 5 = 7 cm. Beim Los und beim Glücksrad steht der Ausgang vorher nicht fest.

Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Ein Würfel wird geworfen, notiert wird die Augenzahl. Welche Ergebnismenge Ω passt?

● Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
○ Ω = {1, 2, 3, 4, 5}
○ Ω = {gerade, ungerade}

Die Augenzahl kann 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 sein – sechs Ergebnisse. {gerade, ungerade} wäre die Ergebnismenge, wenn nur notiert würde, ob die Zahl gerade ist.

Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Das Rad wird einmal gedreht, notiert wird die Farbe. Wie viele Ergebnisse hat Ω?

● 3
○ 6
○ 2

Es gibt drei Farben: Ω = {rot, blau, grün}. Sechs Felder heißt nicht sechs Ergebnisse, denn notiert wird nur die Farbe.

Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Zweimal wird eine Münze geworfen, notiert wird die Reihenfolge. Dann ist Ω = {KK, KZ, ZZ}.

✓ Falsch

Es fehlt ZK: Kopf-dann-Zahl (KZ) und Zahl-dann-Kopf (ZK) sind verschiedene Ergebnisse, also Ω = {KK, KZ, ZK, ZZ}.

Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Ein Würfel wird geworfen. Welche Menge gehört zum Ereignis E: „Augenzahl größer als 4“?

● E = {5, 6}
○ E = {4, 5, 6}
○ E = {6}

Größer als 4 heißt 5 oder 6. Die 4 ist nicht größer als 4; und die 5 gehört ebenfalls dazu, nicht nur die 6.

Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Beim Würfeln tritt das Ereignis E = {2, 4, 6} ein, wenn die 4 fällt.

✓ Wahr

Ein Ereignis tritt ein, sobald eines seiner Ergebnisse eintritt – die 4 liegt in E.

Multiple Choice #9 20s ▶ Testen

Im Gitter sind die Ergebnisse eines Ereignisses gefärbt. Welches Ereignis ist es?

● Die Augensumme ist 7
○ Beide Würfel zeigen dieselbe Zahl
○ Der erste Würfel zeigt eine 6

Die gefärbten Paare (1 | 6), (2 | 5), (3 | 4), (4 | 3), (5 | 2), (6 | 1) haben alle die Summe 7. Ein Pasch läge auf der anderen Diagonalen, „erster Würfel 6“ wäre eine Spalte.

Mittel

Lückentext #1 20s ▶ Testen

Ein Vorgang, dessen Ausgang vorher feststeht, heißt ___.

✓ Antwort: deterministisch

Steht der Ausgang fest, ist der Vorgang deterministisch; bei einem Zufallsexperiment steht er nicht fest.

Zahleneingabe #2 25s ▶ Testen

Eine Münze wird zweimal geworfen, notiert wird die Reihenfolge der Seiten. Wie viele Ergebnisse hat Ω?

✓ Antwort: 4

Ω = {KK, KZ, ZK, ZZ}: vier Ergebnisse.

Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Ein Würfel wird geworfen. Wie viele Ergebnisse enthält das Ereignis E: „Augenzahl ist eine Primzahl“?

✓ Antwort: 3

E = {2, 3, 5}: drei Ergebnisse. Die 1 ist keine Primzahl.

Zahleneingabe #4 20s ▶ Testen

Ein Würfel wird einmal geworfen. Wie viele mögliche Ergebnisse gibt es?

✓ Antwort: 6

Zahleneingabe #5 20s ▶ Testen

Ein Würfel: Wie viele Ergebnisse gehören zum Ereignis „gerade Zahl"?

✓ Antwort: 3

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Fünf Vorgänge: (1) einen Würfel werfen, (2) 2 + 2 rechnen, (3) eine Münze werfen, (4) eine Kugel blind ziehen, (5) morgen den Wochentag nachschlagen. Wie viele davon sind Zufallsexperimente?

✓ Antwort: 3

Zufallsexperimente sind (1), (3) und (4). Bei (2) und (5) steht das Ergebnis fest.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Ein Würfel wird zweimal geworfen, notiert wird das Paar (1. Wurf | 2. Wurf). Wie viele Ergebnisse hat Ω?

✓ Antwort: 36

Jede der 6 Zahlen im ersten Wurf lässt sich mit jeder der 6 Zahlen im zweiten Wurf paaren: 6 · 6 = 36 Paare.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Zwei Würfel werden geworfen. Wie viele Ergebnisse enthält das Ereignis „Augensumme 9“?

✓ Antwort: 4

(3 | 6), (4 | 5), (5 | 4), (6 | 3): vier Ergebnisse.

Zahleneingabe #4 40s ▶ Testen

Zwei Würfel werden geworfen. Wie viele Ergebnisse enthält das Ereignis „Augensumme mindestens 10“?

✓ Antwort: 6

Summe 10: (4|6), (5|5), (6|4); Summe 11: (5|6), (6|5); Summe 12: (6|6). Zusammen 3 + 2 + 1 = 6 Ergebnisse.

KI-bewertete Rechnung #5 240s ▶ Testen

Ein Glücksrad hat acht gleich große Felder mit den Zahlen 1 bis 8. Es wird einmal gedreht und die Zahl notiert. Gib die Ergebnismenge Ω an. Schreibe die Ereignisse A: „gerade Zahl“ und B: „Zahl größer als 5“ als Mengen und gib an, wie viele Ergebnisse jedes enthält. Begründe außerdem, warum das Drehen kein Zufallsexperiment wäre, wenn das Rad immer auf der 3 stehen bliebe. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. A = {2, 4, 6, 8} enthält 4 Ergebnisse, B = {6, 7, 8} enthält 3 Ergebnisse. Bliebe das Rad immer auf der 3, stünde der Ausgang vorher fest – der Vorgang wäre deterministisch.

Alle Zahlen von 1 bis 8 sind mögliche Ergebnisse. A sammelt die geraden, B die Zahlen über 5 – die 5 selbst gehört nicht dazu. Bei einem festen Ausgang gibt es nichts, was der Zufall entscheidet.