Potenzen und Zehnerpotenzen

Powers and powers of ten

Mathematik Klasse 5 18 Aufgaben
ArithmetikPotenzenQuadratzahlenZehnerpotenzen

Eine Potenz aⁿ ist das Produkt aus n gleichen Faktoren a; mit Exponent 2 entstehen die Quadratzahlen (bis 20² = 400 automatisiert), mit Basis 10 die Zehnerpotenzen, die große Zahlen kurz schreiben, und Verdopplungen wie 2⁸ zeigen, wie schnell Potenzen wachsen. Bei negativer Basis in Klammern bestimmt die Parität des Exponenten das Vorzeichen. Der Abschnitt räumt 2³ = 6, n² = 2n und 10⁶ mit sieben Nullen aus und bereitet Potenzgesetze, Wurzeln und die Exponentialfunktion vor.

Gleiche Faktoren

Kommt derselbe Faktor mehrmals vor, schreibst du kurz eine Potenz: . Die Basis 2 sagt, welcher Faktor wiederholt wird, der Exponent 5, wie oft. 2⁵ ist nicht 2 · 5 = 10. Potenzen wachsen schnell: Verdoppelt sich eine Zellzahl jede Stunde, sind es nach 8 Stunden 2⁸ = 256 Zellen.

Eine negative Basis schreibst du in Klammern. , aber : Eine gerade Anzahl Minusfaktoren gibt Plus, eine ungerade Minus. Ohne Klammer, −2⁴, gehört der Exponent nur zur 2, und das Ergebnis ist −16.

Erhöhe die Stunden n: Bei jeder Stunde verdoppelt sich die Säule, nach 6 Stunden sind es 64 Zellen.

Quadratzahlen

Eine Potenz mit dem Exponenten 2 heißt Quadrat: . Im Punktefeld ist n² ein Quadrat aus n Reihen zu je n Punkten. Die Quadratzahlen bis 20² = 400 kannst du bald auswendig: 11² = 121, 12² = 144, 13² = 169, 14² = 196, 15² = 225, 16² = 256, 17² = 289, 18² = 324, 19² = 361, 20² = 400. Achtung: n² ist nicht 2n.

Tippe auf einen Punkt: Das Quadrat aus n Reihen zu je n Punkten zeigt n², zum Beispiel 4 · 4 = 16.

Zehnerpotenzen

Potenzen von 10 sind besonders einfach: 10ⁿ ist eine 1 mit n Nullen, zum Beispiel und . Mit ihnen schreibst du große Zahlen kurz: , die 3 bekommt fünf Nullen. Der Mond ist etwa 384 · 10³ km entfernt, das sind 384 000 km. Vorsicht: 3 · 10⁴ = 30 000, aber 3⁴ = 81.

Zehnerpotenzen von 10 hoch 1 bis 10 hoch 6; jede Potenz ist eine 1 mit so vielen Nullen, wie der Exponent angibt10¹ =1010² =10010³ =100010⁴ =1000010⁵ =10000010⁶ =1000000
Der Exponent zählt die Nullen (gelb): 10⁶ ist eine 1 mit sechs Nullen.

Voraussetzungen (1)

Vorzeichenregeln
Klasse 5
›

Ermöglicht (2)

Zehnerpotenzen bis 10⁶
Klasse 9
›
Zweierpotenzen bis 2¹⁰
Klasse 9
›
Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

2³ = ?

  • ● 8
  • ○ 6
  • ○ 9
2³ = 2 · 2 · 2 = 8. Die 6 ist 2 · 3 (Exponent als Faktor), die 9 ist 3² (Basis und Exponent vertauscht).
Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Der Rechenbaum zeigt eine Potenz. Welche Rechnung steckt dahinter?

  • ● 3 · 3 · 3 · 3
  • ○ 3 · 4
  • ○ 4 · 4 · 4
Die Basis 3 wird viermal als Faktor geschrieben: 3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3 = 81. 3 · 4 ist nur 12, und 4 · 4 · 4 wäre 4³.
Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

13² = ?

  • ● 169
  • ○ 26
  • ○ 156
13² = 13 · 13 = 169. Die 26 ist 2 · 13 (verdoppelt statt quadriert), die 156 ist 13 · 12 (Nachbarprodukt).
Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Das Punktefeld hat gleich viele Reihen wie Punkte je Reihe. Wie viele Punkte sind es insgesamt?

  • ● 49
  • ○ 14
  • ○ 56
7 Reihen zu je 7 Punkten: 7 · 7 = 49, das ist die Quadratzahl 7². Die 14 ist 7 + 7, die 56 ist 7 · 8.
Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

3 · 10⁴ = ?

  • ● 30 000
  • ○ 81
  • ○ 12
10⁴ = 10 000 und die 3 mal davon: 30 000. Die 81 ist 3⁴, die 12 ist 3 · 4.
Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

In der Leiter fehlt der Wert von 10⁴. Was steht dort?

  • ● 10 000
  • ○ 1000
  • ○ 100 000
10⁴ hat vier Nullen: 10 000. 1000 wäre 10³, 100 000 wäre 10⁵ (eine Null zu viel).
Wahr / Falsch #7 15s ▶ Testen

5 · 10² = 5000.

✓ Falsch
10² = 100, also 5 · 10² = 500. Die 5 bekommt zwei Nullen, nicht drei.
Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

(−2)³ = ?

  • ● −8
  • ○ 8
  • ○ −6
(−2)³ = (−2) · (−2) · (−2) = 4 · (−2) = −8. Drei Minusfaktoren geben Minus. Die 8 ignoriert das Vorzeichen, −6 ist 3 · (−2).
Multiple Choice #9 20s ▶ Testen

Das Bild zeigt (−2)⁴ als Produkt von vier gleichen Faktoren. Welches Ergebnis hat es?

  • ● 16
  • ○ −16
  • ○ −8
Vier Minusfaktoren (gerade Anzahl) geben Plus: (−2) · (−2) = 4, 4 · (−2) = −8, −8 · (−2) = 16. Die −16 entsteht, wenn die Klammer übersehen wird (−2⁴ = −16); die −8 ist (−2)³ und hat einen Faktor zu wenig.
Mittel
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Berechne: 3⁴ = ?

✓ Antwort: 81
3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3 = 9 · 9 = 81.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Berechne: 12² = ?

✓ Antwort: 144
12² = 12 · 12 = 144.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Schreibe als Zahl: 7 · 10⁵ = ?

✓ Antwort: 700000
10⁵ = 100 000, also 7 · 10⁵ = 700 000.
Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Berechne: (−2)⁵ = ?

✓ Antwort: -32
Fünf Minusfaktoren (ungerade): Minus. 2⁵ = 32, also (−2)⁵ = −32.
Schwer
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Eine Zelle verdoppelt sich jede Stunde (siehe Diagramm: nach 3 Stunden sind es 8). Wie viele Zellen sind es nach 8 Stunden?

✓ Antwort: 256
Nach n Stunden sind es 2ⁿ Zellen: 2⁸ = 256. Der Fehler 2 · 8 = 16 rechnet linear statt zu verdoppeln.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Ein quadratischer Platz hat die Seitenlänge 18 m. Wie viele Quadratmeter Fläche hat er?

✓ Antwort: 324
Fläche = Seite · Seite = 18² = 324 m².
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Der Mond ist im Mittel etwa 384 · 10³ km von der Erde entfernt. Wie viele Kilometer sind das?

✓ Antwort: 384000
10³ = 1000, also 384 · 10³ = 384 000 km. Die 384 bekommt drei Nullen.
Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Berechne: (−1)²⁵ = ?

✓ Antwort: -1
(−1) hoch 25 hat 25 Minusfaktoren, eine ungerade Anzahl, und der Betrag bleibt 1: (−1)²⁵ = −1.
KI-bewertete Rechnung #5 240s ▶ Testen

Schreibe 5 · 5 · 5 · 5 als Potenz und berechne sie. Zeige an 2⁵, dass die Potenz nicht 2 · 5 ist, und berechne (−3)³ mit dem Vorzeichen. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: 5 · 5 · 5 · 5 = 5⁴ = 25 · 25 = 625. 2⁵ = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32, nicht 2 · 5 = 10. (−3)³ = (−3) · (−3) · (−3) = 9 · (−3) = −27.
5⁴ = 625; 2⁵ = 32 und nicht 10; (−3)³ = −27, weil drei Minusfaktoren Minus ergeben.