Umkehraufgaben mit Mal und Geteilt

Inverse problems with times and divided

Mathematik Klasse 5 25 Aufgaben

GleichungenMultiplikationDivisionUmkehraufgabe

Gleichungen a · x = b, x : a = b und a : x = b löst man durch systematisches Probieren oder mit der Umkehraufgabe: Malnehmen und Teilen machen einander rückgängig, und steht x hinter dem Geteiltzeichen, bleibt es beim Teilen. Die Probe durch Einsetzen fängt jeden Fehler. Der Abschnitt räumt a : x = b, das wie x : a = b gelöst wird, aus (Malle 1993; Kieran 1981) und bereitet das Rückwärtsarbeiten bei Rechenausdrücken und die Äquivalenzumformungen von Gleichungen vor.

Umkehraufgabe und Probe

In $4 \cdot x = 36$ fehlt ein Faktor. Du kannst systematisch probieren: x = 6 gibt 24, das ist zu klein; x = 10 gibt 40, das ist zu groß; x = 9 gibt genau 36. Schneller geht die Umkehraufgabe: Malnehmen und Teilen machen einander rückgängig, also $x = 36 : 4 = 9$ .

Danach kommt immer die Probe: Setze 9 für x ein, $4 \cdot 9 = 36$ stimmt. Die Probe fängt Fehler sofort: Mit x = 36 · 4 = 144 wäre 4 · 144 = 576, und das ist nicht 36. Auch bei großen Zahlen klappt das: Bei 23 · x = 1748 rechnest du schriftlich 1748 : 23 = 76.

Systematisch probieren geht auch bei großen Zahlen, wenn du zuerst mit glatten Zehnerzahlen eingrenzt: Bei $16 \cdot x = 368$ ist 16 · 20 = 320 zu klein und 16 · 30 = 480 zu groß, also liegt x zwischen 20 und 30. Dann probierst du weiter: 16 · 23 = 368 trifft. Bei $a : x = b$ ist es umgekehrt: Je größer x, desto kleiner das Ergebnis.

Verändere x, bis die vier Streifen genau die gestrichelte Linie bei 36 erreichen. Welchen Wert hat x dann?

Wenn geteilt wird

Bei $x : 5 = 8$ wurde x durch 5 geteilt und 8 kam heraus. Rückwärts multiplizierst du: $x = 8 \cdot 5 = 40$ . Probe: 40 : 5 = 8.

Bei $24 : x = 6$ steht x hinten: 24 wird auf x Gruppen verteilt, 6 je Gruppe. Die Umkehraufgabe ist wieder eine Teilung: $x = 24 : 6 = 4$ , nicht 24 · 6 = 144. Probe: 24 : 4 = 6. Merke: Steht x hinter dem Geteiltzeichen, bleibt es beim Teilen.

Mal wird zu Geteilt und Geteilt zu Mal, aber steht x hinter dem Geteiltzeichen (gelb), bleibt es beim Teilen.

Voraussetzungen (1)

Schriftlich dividieren

Klasse 5

›

Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

4 · x = 36. Welche Umkehraufgabe liefert x?

● 36 : 4
○ 36 · 4
○ 36 − 4

Malnehmen wird durch Teilen rückgängig gemacht: x = 36 : 4 = 9. 36 · 4 = 144 wäre die falsche Richtung, 36 − 4 hat mit Mal nichts zu tun.

Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Die Waage ist im Gleichgewicht, jeder Beutel wiegt x. Welche Gleichung gehört dazu?

● 4 · x = 36
○ x : 4 = 36
○ 4 + x = 36

Vier gleich schwere Beutel wiegen 4 · x, das Gewicht rechts ist 36: 4 · x = 36. Bei x : 4 wäre x geteilt, bei 4 + x würde ein Beutel plus 4 gewogen.

Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Ein Schüler löst 6 · x = 48 und erhält x = 7. Welche Rechnung ist die Probe, die seinen Fehler zeigt?

● 6 · 7 = 42, nicht 48
○ 6 · 8 = 48
○ 48 : 6 = 8

Bei der Probe wird sein x = 7 in die Gleichung eingesetzt: 6 · 7 = 42, und das ist nicht 48. Die Rechnungen 6 · 8 = 48 und 48 : 6 = 8 stimmen zwar, aber sie rechnen die Aufgabe mit dem richtigen x neu und prüfen die 7 nicht.

Wahr / Falsch #4 15s ▶ Testen

Das Bild zeigt: x = 8 löst 5 · x = 45.

✓ Falsch

Fünf Streifen der Länge 8 ergeben 5 · 8 = 40, das ist weniger als 45 und die Streifen erreichen die Ziellinie nicht. Es müsste x = 45 : 5 = 9 sein.

Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

x : 5 = 8. Welche Umkehraufgabe liefert x?

● 8 · 5
○ 8 : 5
○ 5 − 8

x wurde durch 5 geteilt und ergab 8, also war x = 8 · 5 = 40. 8 : 5 = 1,6 ist keine ganze Zahl, 5 − 8 ist eine Differenz.

Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Der Streifen x ist in 5 gleiche Teile zu je 8 geteilt. Welche Gleichung passt?

● x : 5 = 8
○ 5 : x = 8
○ x · 5 = 8

x geteilt in 5 Teile ergibt 8 je Teil: x : 5 = 8, also x = 8 · 5 = 40. Bei 5 : x = 8 stünde x hinten, bei x · 5 = 8 wäre x mal 5 nur 8.

Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

24 : x = 6. Welche Umkehraufgabe liefert x?

● 24 : 6
○ 24 · 6
○ 6 : 24

Steht x hinter dem Geteiltzeichen, bleibt es beim Teilen: x = 24 : 6 = 4. 24 · 6 = 144 wäre die Umkehraufgabe von x : 24 = 6.

Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Ein Streifen der Länge 24 wird in Teile zu je 6 geteilt. x sei die Zahl der Teile. Welche Gleichung passt?

● 24 : x = 6
○ x : 24 = 6
○ x : 6 = 24

Die Länge 24, in x Teile geteilt, gibt 6 je Teil: 24 : x = 6. Bei x : 24 wäre x das Ganze, bei x : 6 = 24 ebenfalls.

Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

Bei 24 : x = 6 ist x = 4.

✓ Wahr

Probe: 24 : 4 = 6, die Gleichung stimmt. Es ist x = 24 : 6 = 4; die Umkehraufgabe bleibt eine Teilung.

Multiple Choice #10 20s ▶ Testen

Eingrenzen bei 12 · x = 312: 12 · 20 = 240, 12 · 30 = 360. Zwischen welchen Zahlen liegt x?

● zwischen 20 und 30
○ zwischen 30 und 40
○ zwischen 240 und 360

240 ist kleiner als 312, 360 ist größer. Also liegt x zwischen 20 und 30 (es ist x = 26, denn 12 · 26 = 312). 240 und 360 sind Ergebnisse der Versuche, nicht Werte für x.

Wahr / Falsch #11 15s ▶ Testen

Eingrenzen bei 15 · x = 405: 15 · 30 = 450 ist zu klein.

✓ Falsch

450 ist größer als 405, also ist x = 30 zu groß, nicht zu klein. x liegt unter 30: 15 · 27 = 405.

Multiple Choice #12 20s ▶ Testen

Eingrenzen bei 7 · x = 364: 7 · 50 = 350 ist zu klein, 7 · 60 = 420 zu groß. Welche Zahl probierst du als Nächstes?

● 52
○ 65
○ 48

x liegt zwischen 50 und 60, und 350 fehlen nur 14 bis 364: 7 · 52 = 364. Die 65 liegt über der Zahl, die schon zu groß war, die 48 unter der, die schon zu klein war.

Mittel

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Löse: 9 · x = 108. Wie groß ist x?

✓ Antwort: 12

x = 108 : 9 = 12. Probe: 9 · 12 = 108.

Lückentext #2 20s ▶ Testen

Ergänze die Probe für 6 · x = 48 mit x = 8: 6 · ___ = 48

✓ Antwort: 8

Für x wird 8 eingesetzt: 6 · 8 = 48, die Aussage stimmt.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Löse: x : 12 = 15. Wie groß ist x?

✓ Antwort: 180

x = 15 · 12 = 180. Probe: 180 : 12 = 15.

Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Löse: 90 : x = 6. Wie groß ist x?

✓ Antwort: 15

x = 90 : 6 = 15. Probe: 90 : 15 = 6.

Zahleneingabe #5 30s ▶ Testen

Eingrenzen bei 14 · x = 378: 14 · 20 = 280 ist zu klein, 14 · 30 = 420 zu groß. Probiere weiter: Wie groß ist x?

✓ Antwort: 27

420 ist nur 42 zu groß, das sind 3 · 14. Also x = 30 − 3 = 27. Probe: 14 · 27 = 378.

Zahleneingabe #6 30s ▶ Testen

Eingrenzen bei 600 : x = 24: 600 : 20 = 30 ist zu groß, 600 : 30 = 20 zu klein. Wie groß ist x?

✓ Antwort: 25

Beim Teilen gilt: Je größer x, desto kleiner das Ergebnis. x liegt zwischen 20 und 30, und 600 : 25 = 24 trifft. Probe: 25 · 24 = 600.

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Ein Saal hat 1748 Sitze, in jeder Reihe stehen 23 Sitze. Wie viele Reihen sind es? (23 · x = 1748)

✓ Antwort: 76

x = 1748 : 23 = 76. Probe: 23 · 76 = 1748.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Ein Schüler löst 12 · x = 156 und erhält x = 13. Berechne die Probe 12 · 13. Was kommt heraus?

✓ Antwort: 156

12 · 13 = 156; das ist die rechte Seite 156, also stimmt x = 13.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Eine Lehrerin verteilt alle Stifte gleichmäßig auf 24 Kinder, jedes bekommt 13 (x : 24 = 13). Wie viele Stifte waren es?

✓ Antwort: 312

x = 13 · 24 = 312. Probe: 312 : 24 = 13.

Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Ein Tank mit 360 Litern wird in Fässer zu je 15 Litern gefüllt (360 : x = 15). Wie viele Fässer sind es?

✓ Antwort: 24

x = 360 : 15 = 24. Probe: 360 : 24 = 15.

KI-bewertete Rechnung #5 240s ▶ Testen

Löse die drei Gleichungen 16 · x = 208, x : 6 = 13 und 84 : x = 7. Schreibe bei jeder die Umkehraufgabe auf und mache die Probe durch Einsetzen. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: 16 · x = 208 → x = 208 : 16 = 13, Probe 16 · 13 = 208. x : 6 = 13 → x = 13 · 6 = 78, Probe 78 : 6 = 13. 84 : x = 7 → x = 84 : 7 = 12, Probe 84 : 12 = 7.

Die Lösungen sind x = 13, x = 78 und x = 12. Bei 84 : x = 7 bleibt es beim Teilen (nicht 84 · 7).

Zahleneingabe #6 30s ▶ Testen

Für einen Ausflug zahlt jedes Kind 13 €, zusammen sind es 377 € (13 · x = 377). Grenze zwischen zwei Zehnerzahlen ein und probiere weiter: Wie viele Kinder fahren mit?

✓ Antwort: 29

13 · 20 = 260 ist zu klein, 13 · 30 = 390 zu groß, und zwar um 13. Also x = 29. Probe: 13 · 29 = 377. Es fahren 29 Kinder mit.

Zahleneingabe #7 30s ▶ Testen

Ein Bauer verteilt 840 Äpfel gleichmäßig auf Kisten, in jede Kiste kommen 35 Äpfel (840 : x = 35). Grenze ein und probiere weiter: Wie viele Kisten braucht er?

✓ Antwort: 24

840 : 20 = 42 ist zu groß, 840 : 30 = 28 zu klein, also liegt x zwischen 20 und 30. 840 : 24 = 35 trifft. Probe: 24 · 35 = 840.