Diskret und stetig

Discrete and continuous

Mathematik Klasse 13 16 Aufgaben

WahrscheinlichkeitStetige ZufallsgrößeStatistik

Eine Zufallsgröße heißt diskret, wenn sich ihre Werte einzeln aufzählen lassen (Augenzahl, Trefferzahl), und stetig, wenn sie jeden Wert eines Intervalls annehmen kann (Körpergröße, Dauer, Masse). Was man misst, ist meist stetig, auch wenn das Messgerät rundet. Für stetige Größen fragt man nach Intervallen statt nach Einzelwerten. Räumt den Irrtum aus, gerundet angezeigte Messwerte machten eine Größe diskret oder sehr viele Werte machten sie stetig. Bereitet das Histogramm gemessener Werte und die Dichtefunktion vor.

Zählen: diskret

Beim Würfeln ist die Augenzahl X eine Zufallsgröße mit den Werten 1 bis 6. Alle Werte lassen sich einzeln aufzählen; zwischen 3 und 4 liegt kein weiterer. Eine solche Zufallsgröße heißt diskret. Sie entsteht durch Zählen: Augenzahl, Trefferzahl, Zahl der Geschwister. Für jeden Wert k ist $P (X = k)$ sinnvoll, und in einem Säulendiagramm gibt die Höhe der Säule genau diese Wahrscheinlichkeit an. Alle Säulen zusammen ergeben 1.

Messen: stetig

Die Körpergröße ist anders. Zwischen 1,70 m und 1,71 m liegen weitere mögliche Werte, zwischen diesen wieder welche, und so fort. Eine Zufallsgröße, die jeden Wert eines Intervalls annehmen kann, heißt stetig. Sie entsteht durch Messen: Länge, Zeit, Masse. Dass ein Messgerät rundet, ändert daran nichts, denn es rundet nur die Anzeige.

Darum passt zu einer stetigen Größe eine andere Frage: nicht „genau 172 cm?“, sondern „zwischen 170 cm und 175 cm?“, also ein Intervall $P (a \leq X \leq b)$ .

Auf dem Raster unten kann man die Punkte beliebig verdichten, und doch bleibt zwischen zwei Punkten immer eine Lücke, in die noch ein Wert passt. Bei der Augenzahl ist die Lücke zwischen 3 und 4 dagegen leer und bleibt es. Auch sehr viele gezählte Werte machen eine Größe nicht stetig: Die Einwohnerzahl einer Stadt bleibt diskret.

Verfeinere das Raster mit dem Regler. Bleibt am Ende eine Lücke zwischen zwei Punkten?

Ermöglicht (1)

Die Dichtefunktion

Klasse 13

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Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Welche dieser Größen ist diskret?

● Die Zahl der Tore in einem Fußballspiel
○ Die Dauer eines Spiels bis zum ersten Tor
○ Die Laufstrecke eines Spielers im Spiel

Tore werden gezählt: 0, 1, 2, … Zwischen 2 und 3 Toren liegt kein weiterer Wert, also ist die Größe diskret. Dauer und Laufstrecke werden gemessen und können jeden Wert eines Intervalls annehmen.

Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Auf dem Zahlenstrahl sind alle Werte markiert, die die Zufallsgröße X annehmen kann. Dann ist X diskret.

✓ Wahr

Die Werte 0, 1, 2, 3, 4 lassen sich einzeln aufzählen; zwischen ihnen liegen keine weiteren möglichen Werte. Das ist das Kennzeichen einer diskreten Zufallsgröße.

Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Die Einwohnerzahl einer Großstadt hat sehr viele mögliche Werte. Deshalb ist sie stetig.

✓ Falsch

Einwohner werden gezählt: 1 500 000, 1 500 001, … Die Werte bleiben einzeln aufzählbar, also ist die Größe diskret – auch wenn es viele Werte sind.

Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Welche dieser Größen ist stetig?

● Die Wartezeit an der Kasse
○ Die Zahl der Kunden in der Schlange
○ Die Zahl der geöffneten Kassen

Die Wartezeit wird gemessen und kann jeden Wert in einem Intervall annehmen. Die Zahl der Kunden und die Zahl der Kassen werden gezählt: 0, 1, 2, … – das sind diskrete Größen.

Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Die Körpergröße wird meist auf ganze Zentimeter gerundet angegeben. Deshalb ist die Zufallsgröße Körpergröße diskret.

✓ Falsch

Gerundet wird nur die Anzeige. Wirklich möglich sind auch 172,4 cm oder 172,43 cm: Zwischen zwei Anzeigewerten liegen weitere Werte, die Größe ist stetig.

Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Die Zufallsgröße X kann jeden Wert im markierten Bereich annehmen. Dann ist X stetig.

✓ Wahr

Ein ganzer Bereich ist möglich, nicht nur einzelne Punkte. Zwischen zwei Werten liegt immer noch ein weiterer: Das ist eine stetige Zufallsgröße.

Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Nach welchem Ergebnis kann man bei der stetigen Zufallsgröße X = Körpergröße sinnvoll fragen?

● Liegt X zwischen 170 cm und 175 cm?
○ Ist X genau 172,4137… cm?
○ Ist X genau 172 cm oder genau 173 cm?

Bei stetigen Größen fragt man nach Intervallen. Ein einzelner Wert wie 172,4137… cm oder „genau 172 cm“ tritt praktisch nie exakt ein und ist keine sinnvolle Frage.

Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Für die diskrete Trefferzahl X ist die Frage nach P(X = 3) sinnvoll.

✓ Wahr

Bei diskreten Größen hat jeder Wert k eine eigene Wahrscheinlichkeit P(X = k). Die Frage nach „genau 3 Treffern“ ist sinnvoll.

Multiple Choice #9 20s ▶ Testen

Das Säulendiagramm zeigt die Verteilung der Augenzahl X eines gezinkten Würfels. Was gibt die Höhe der Säule über 5 an?

● P(X = 5)
○ P(X ≤ 5)
○ P(X ≥ 5)

Bei einer diskreten Größe gehört zu jedem Wert eine Säule, ihre Höhe ist die Wahrscheinlichkeit dieses einen Werts: P(X = 5). Die Wahrscheinlichkeiten für „höchstens“ oder „mindestens“ müsste man aus mehreren Säulen addieren.

Mittel

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

X ist die Zahl der Sechsen bei 5 Würfen eines Würfels. Wie viele verschiedene Werte kann X annehmen?

✓ Antwort: 6

X kann 0, 1, 2, 3, 4 oder 5 sein: 6 Werte. Man kann sie alle einzeln aufschreiben.

Lückentext #2 20s ▶ Testen

Größen, die man misst, etwa Länge, Zeit oder Masse, sind meist ___.

✓ Antwort: stetig

Gemessene Größen können jeden Wert eines Intervalls annehmen. Man nennt sie stetig; gezählte Größen heißen diskret.

Lückentext #3 20s ▶ Testen

Bei einer stetigen Zufallsgröße fragt man nach der Wahrscheinlichkeit P(a ≤ X ≤ b) für ein ___.

✓ Antwort: Intervall

a ≤ X ≤ b beschreibt ein Intervall. Bei stetigen Zufallsgrößen sind Intervalle die sinnvollen Ereignisse, nicht einzelne Werte.

Schwer

Zahleneingabe #1 35s ▶ Testen

Sechs Größen: Zahl der Geschwister, Reisezeit, Länge eines Schnürsenkels, Zahl der Buchstaben eines Wortes, Reaktionszeit, Augensumme zweier Würfel. Wie viele davon sind diskret?

✓ Antwort: 3

Gezählt werden Geschwister, Buchstaben und die Augensumme (2 bis 12): diskret. Reisezeit, Länge und Reaktionszeit werden gemessen: stetig. Also 3 diskrete Größen.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Körpergrößen werden auf 0,5 cm gerundet notiert. Wie viele verschiedene notierte Werte gibt es von 170 cm bis einschließlich 172 cm?

✓ Antwort: 5

Notiert werden 170; 170,5; 171; 171,5; 172 – also 5 Werte. Die notierten Werte sind diskret, die gemessene Größe bleibt stetig.

Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Die Trefferzahl X hat P(X = 0) = 0,125, P(X = 1) = 0,375, P(X = 2) = 0,375 und P(X = 3) = 0,125. Berechne P(1 ≤ X ≤ 2).

✓ Antwort: 0.75

Bei einer diskreten Größe ist ein Intervall eine Summe von Einzelwerten: P(1 ≤ X ≤ 2) = P(X = 1) + P(X = 2) = 0,375 + 0,375 = 0,75.

KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Ein Bäcker wiegt Brötchen. Die Waage zeigt die Masse in ganzen Gramm an. Herr Meier sagt: „Die Masse eines Brötchens ist diskret, denn die Waage zeigt nur ganze Zahlen.“ Entscheide, ob er recht hat. Nenne eine mögliche Masse, die zwischen den Anzeigewerten 60 g und 61 g liegt, und formuliere eine Frage, die zur Größe Masse passt (Masse zwischen 58 g und 62 g). Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Herr Meier hat nicht recht: Die Masse ist stetig. Das Gerät rundet nur die Anzeige. Zwischen 60 g und 61 g gibt es weitere mögliche Massen, etwa 60,4 g, die die Waage nur auf 60 g rundet. Bei einer stetigen Größe fragt man nach einem Intervall: Wie wahrscheinlich liegt die Masse X zwischen 58 g und 62 g, P(58 ≤ X ≤ 62)? Ein Einzelwert wie „genau 60 g“ ist keine sinnvolle Frage.

Die Waage rundet nur die Anzeige. Die Masse selbst kann jeden Wert in einem Intervall annehmen, ist also stetig – und zu einer stetigen Größe passt die Frage nach einem Intervall, hier P(58 ≤ X ≤ 62).