Den Graphen skizzieren

Sketching the graph

Mathematik Klasse 10 16 Aufgaben
FunktionenPolynomGraphen skizzierenNullstellen

Aus Randverhalten, Nullstellen mit Vielfachheit und y-Achsenabschnitt entsteht die Skizze einer ganzrationalen Funktion; das Vorzeichen zwischen den Nullstellen legt fest, ob die Kurve über oder unter der Achse verläuft, und ein Funktionenplotter dient nur als Kontrolle, deren Fenster man mitdenkt. Der Abschnitt räumt aus, dass die Kurve an jeder Nullstelle das Vorzeichen wechselt und dass ein Bild ohne Nullstelle keine Nullstelle beweist. Er bereitet die Kurvendiskussion in der Oberstufe vor.

Fünf Schritte

Für die Skizze braucht man keinen Plotter, nur den Term. Beispiel: . Erstens: Der führende Term ist , also gehen beide Ränder nach oben. Zweitens: Die Nullstellen −2, 1 (doppelt) und 3 eintragen. Drittens: den y-Achsenabschnitt markieren. Viertens: die Symmetrie prüfen, hier ohne Ergebnis. Fünftens: die Kurve durch diese Punkte ziehen. Die Skizze muss nicht maßstabsgetreu sein, aber Nullstellen, Vorzeichen und Ränder müssen stimmen.

Schiebe den Regler von 1 bis 5. Welcher Schritt legt fest, wie die Kurve außen verläuft, und warum bleibt das Bild bei Schritt 4 gleich?

Vorzeichen zwischen den Nullstellen

Zwischen zwei benachbarten Nullstellen ändert sich das Vorzeichen nicht, denn dazu müsste die Kurve die Achse durchqueren. Ein Kontrollwert genügt: , also liegt f zwischen 1 und 3 unter der Achse. An einer Nullstelle wechselt das Vorzeichen nur bei ungerader Vielfachheit; bei x = 1 (doppelt) bleibt f negativ, der Graph berührt die Achse nur.

Bewege P. Wo liegt f über, wo unter der Achse, und was geschieht bei x = 1?

Plotter-Kontrolle

Ein Funktionenplotter zeigt nur ein Fenster. Die Funktion hat bei x = 7 eine Nullstelle, im Fenster von −5 bis 5 sieht man sie nicht. Ein Bild ohne Nullstelle beweist also nichts. Man rechnet die Nullstellen selbst und nutzt den Plotter, um Nullstellen, Vorzeichen und Ränder zu kontrollieren, mit einem Fenster, das die berechneten Stellen einschließt.

Vergrößere die Fensterbreite w. Ab welchem w liegt die Nullstelle im Fenster?

Voraussetzungen (2)

Randverhalten und führender Term
Klasse 10
›
Nullstellen und Vielfachheit
Klasse 10
›
Leicht
Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Welcher Punkt liegt auf dem Graphen von f(x) = (x − 1)(x + 2)(x − 4)?

  • ● (−2 | 0)
  • ○ (2 | 0)
  • ○ (0 | −8)
x = −2 macht den Faktor (x + 2) null, also f(−2) = 0. (2 | 0) verdreht das Vorzeichen; und f(0) = (−1)·2·(−4) = 8, nicht −8.
Multiple Choice #2 30s ▶ Testen

Für f(x) = −½(x + 3)(x − 1)(x − 2)² sind Nullstellen und y-Achsenabschnitt eingetragen. Wie verläuft der Graph rechts von x = 2?

  • ● nach unten
  • ○ nach oben
  • ○ waagerecht
Der führende Term ist −½x⁴: gerader Grad, negativer Leitkoeffizient. Beide Ränder gehen nach unten, also auch der Graph rechts von der letzten Nullstelle x = 2, wo er die Achse nur berührt.
Wahr / Falsch #3 20s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = x²(x − 3) läuft links nach unten und rechts nach oben. Die Abbildung zeigt einen Ausschnitt.

✓ Wahr
Der führende Term x³ hat ungeraden Grad und positiven Leitkoeffizienten: links unten, rechts oben. Die Nullstelle 0 (doppelt) berührt die x-Achse nur.
Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

Welches Vorzeichen hat f(x) = (x + 1)(x − 2)(x − 5) zwischen den Nullstellen 2 und 5?

  • ● negativ
  • ○ positiv
  • ○ null
Zwischen 2 und 5 bleibt das Vorzeichen konstant; ein Kontrollwert genügt: f(3) = 4·1·(−2) = −8 < 0. Positiv wäre es rechts von 5 und zwischen −1 und 2.
Multiple Choice #5 30s ▶ Testen

Bei welcher Nullstelle wechselt der abgebildete Graph das Vorzeichen nicht?

  • ● x = 0
  • ○ x = 3
  • ○ x = −2
Bei x = 0 berührt der Graph die x-Achse von unten und kehrt um: gerade Vielfachheit, kein Vorzeichenwechsel. Bei −2 und 3 schneidet er die Achse.
Wahr / Falsch #6 20s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = (x − 2)²(x + 1) wechselt bei x = 2 das Vorzeichen.

✓ Falsch
Der Faktor (x − 2)² ist nie negativ: Bei x = 2 berührt der Graph die Achse und bleibt auf derselben Seite. Das Vorzeichen wechselt nur bei x = −1.
Multiple Choice #7 25s ▶ Testen

Ein Plotter zeigt im Fenster −6 ≤ x ≤ 6 für f(x) = (x − 9)(x² + 4) keine Nullstelle. Was folgt daraus?

  • ● Bei x = 9 liegt eine Nullstelle außerhalb des Fensters.
  • ○ Da im Fenster keine liegt, hat f keine Nullstelle.
  • ○ Der Plotter hat die Nullstelle falsch berechnet.
Der Faktor (x − 9) ist bei x = 9 null, dort liegt eine Nullstelle, die im Fenster bis 6 nicht mehr sichtbar ist. Das Bild widerlegt sie nicht; die Rechnung findet sie.
Multiple Choice #8 30s ▶ Testen

Der Plotter zeigt f(x) = (x − 8)(x² + 3)/30 im Fenster von −5 bis 5 und keine Nullstelle. Wo liegt die fehlende Nullstelle?

  • ● x = 8
  • ○ x = 3
  • ○ x = 0
Der Faktor (x − 8) gibt die Nullstelle 8, außerhalb des Fensters. Der Faktor (x² + 3) hat keine reelle Nullstelle, und f(0) = −0,8 ist kein Nulldurchgang.
Wahr / Falsch #9 25s ▶ Testen

Im abgebildeten Fenster −3 ≤ x ≤ 3 zeigt der Plotter für f(x) = x²(x − 5) nur die Nullstelle x = 0. Damit ist bewiesen, dass f keine weitere hat.

✓ Falsch
Der Faktor (x − 5) liefert die Nullstelle 5, außerhalb des Fensters. Ein Fenster zeigt nur einen Ausschnitt des Graphen.
Mittel
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Bestimme den y-Achsenabschnitt von f(x) = −2(x + 1)(x − 3)(x + 4).

✓ Antwort: 24
f(0) = −2·1·(−3)·4 = 24. Der Graph schneidet die y-Achse bei (0 | 24).
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Wie oft wechselt f(x) = (x + 1)(x − 2)²(x − 5)³ das Vorzeichen?

✓ Antwort: 2
Ungerade Vielfachheit wechselt: x = −1 (1) und x = 5 (3). Bei x = 2 (Vielfachheit 2) wechselt das Vorzeichen nicht. Also 2 Wechsel.
Zahleneingabe #3 25s ▶ Testen

Der Plotter zeigt f(x) = (x − 12)(x² + 4)/40 im Fenster −10 ≤ x ≤ 10 ohne Nullstelle. Bei welchem x liegt sie?

✓ Antwort: 12
x − 12 = 0 gibt x = 12. Der Faktor x² + 4 ist immer positiv und liefert keine Nullstelle.
Schwer
Zahleneingabe #1 35s ▶ Testen

Berechne f(4) für f(x) = −(x + 1)(x − 3)²(x − 5) als Kontrollpunkt zwischen den Nullstellen 3 und 5.

✓ Antwort: 5
f(4) = −5·1²·(−1) = 5. Der Graph liegt bei x = 4 über der x-Achse.
Zahleneingabe #2 35s ▶ Testen

Zwischen den Nullstellen 1 und 4 von f(x) = (x + 2)(x − 1)(x − 4) liegt x = 3. Berechne f(3), um das Vorzeichen dort zu bestimmen.

✓ Antwort: -10
f(3) = 5·2·(−1) = −10: negativ. Zwischen 1 und 4 liegt der Graph also unter der x-Achse.
Zahleneingabe #3 35s ▶ Testen

Wie groß muss w in einem Fenster −w ≤ x ≤ w mindestens sein (ganze Zahl), damit alle Nullstellen von f(x) = (x − 6)(x + 4)(x² + 1) sichtbar sind?

✓ Antwort: 6
Die Nullstellen sind 6 und −4 (x² + 1 hat keine). Das Fenster muss bis x = 6 reichen: w = 6.
KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Skizziere den Graphen von f(x) = −(x + 2)²(x − 1)(x − 3). Bestimme dazu Grad und Randverhalten, die Nullstellen mit Vielfachheit, den y-Achsenabschnitt und das Vorzeichen zwischen den Nullstellen (ein Kontrollwert pro Intervall). Beschreibe oder zeichne die Skizze. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Grad 4, führender Term −x⁴: beide Ränder nach unten. Nullstellen: −2 (doppelt, Berührpunkt), 1 und 3 (einfach, Schnittpunkte). f(0) = −1·4·(−1)·(−3) = −12. Vorzeichen: x < −2: f(−3) = −24 < 0; −2 < x < 1: f(0) = −12 < 0; 1 < x < 3: f(2) = 16 > 0; x > 3: negativ. Skizze: von links unten zum Berührpunkt bei −2, wieder hinunter (durch (0 | −12)), durch 1 nach oben, Hochpunkt zwischen 1 und 3, durch 3 nach unten.
Ränder nach unten (−x⁴), Nullstellen −2 (doppelt: berührt), 1 und 3 (schneiden), f(0) = −12. Vorzeichen: −, −, +, −. Die Kurve berührt bei −2 von unten und hat zwischen 1 und 3 einen positiven Bogen.