Vom Graphen zum Term

From the graph to the term

Mathematik Klasse 10 16 Aufgaben

FunktionenPolynomNullstellenKomparation

Aus dem Graphen einer ganzrationalen Funktion lassen sich der Mindestgrad (Summe der Vielfachheiten), die Parität des Grades und das Vorzeichen des Leitkoeffizienten ablesen; mit den Nullstellen und einem weiteren Punkt ergibt der Ansatz a(x − x₁)… den Term. Der Abschnitt räumt aus, dass der Grad die Zahl der sichtbaren Nullstellen ist, dass ein Berührpunkt nur einmal zählt und dass der Graph den Grad eindeutig festlegt. Er bereitet die Steckbriefaufgaben der Oberstufe vor.

Grad und Vorzeichen lesen

Aus einem Graphen erhält man für den Grad nur eine Untergrenze. Jede Nullstelle zählt mit ihrer Vielfachheit, ein Schnittpunkt mindestens 1, ein Berührpunkt mindestens 2; der Grad ist mindestens die Summe. Die Ränder liefern den Rest: Zeigen beide in dieselbe Richtung, ist der Grad gerade, sonst ungerade, und das Vorzeichen des Leitkoeffizienten steht am rechten Rand (oben: positiv). Eine Funktion vom Grad 3 und eine vom Grad 5 können dieselben Nullstellen und Ränder haben; der Graph legt den Grad nur als Untergrenze fest. Ein Beispiel: Schneidet ein Graph die x-Achse einmal und berührt sie einmal, ist der Grad mindestens 1 + 2 = 3.

Schalte zwischen Grad 3 und 5. Was ändert sich an den Nullstellen, was an den Rändern?

Ansatz

Sind die Nullstellen bekannt, schreibt man für jede einen Linearfaktor auf, für einen Berührpunkt mit dem Exponenten 2. Für die Nullstellen −3, 1 (Berührpunkt) und 2 lautet der Ansatz $f (x) = a (x + 3) (x - 1)^{2} (x - 2)$ . Den Faktor a legt ein weiterer Punkt fest: Geht der Graph durch $(0 ∣ 3)$ , gilt $a \cdot 3 \cdot 1 \cdot (- 2) = 3$ , also $a = - 0, 5$ . Zur Kontrolle muss das Vorzeichen von a zu den Rändern passen: Bei Grad 4 und a < 0 zeigen beide nach unten. Ein zweiter Punkt prüft den Ansatz: Stimmt er nicht, war eine Vielfachheit falsch gewählt.

Ziehe a, bis der Graph durch P geht. Welchen Wert hat a, und passt sein Vorzeichen zu den Rändern?

Voraussetzungen (2)

Randverhalten und führender Term

Klasse 10

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Nullstellen und Vielfachheit

Klasse 10

›

Leicht

Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Ein Graph schneidet die x-Achse zweimal und berührt sie zweimal. Welchen Grad hat die zugehörige ganzrationale Funktion mindestens?

● 6
○ 4
○ 2

Jeder Schnittpunkt zählt mindestens einfach, jeder Berührpunkt mindestens doppelt: 1 + 1 + 2 + 2 = 6. Die 4 zählt die Berührpunkte nur einmal, die 2 nur die Schnittpunkte.

Multiple Choice #2 30s ▶ Testen

Welchen Grad hat die Funktion zum abgebildeten Graphen mindestens?

● 4
○ 3
○ 2

Der Graph schneidet die x-Achse bei −2 und 0 (je mindestens 1) und berührt sie bei 2 (mindestens 2): 1 + 1 + 2 = 4. Die Zahl 3 zählt die Nullstellen, nicht ihre Vielfachheit.

Wahr / Falsch #3 20s ▶ Testen

Der abgebildete Graph mit vier Nullstellen kann zu einer ganzrationalen Funktion vom Grad 3 gehören.

✓ Falsch

Eine Funktion vom Grad 3 hat höchstens 3 Nullstellen, mit Vielfachheit gezählt. Vier Nullstellen verlangen mindestens Grad 4.

Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

Ein Graph kommt von links oben und läuft nach rechts oben. Welche Angabe passt?

● gerader Grad, a > 0
○ ungerader Grad, a > 0
○ gerader Grad, a < 0

Beide Ränder gehen in dieselbe Richtung: gerader Grad. Sie zeigen nach oben: Leitkoeffizient a > 0. Bei ungeradem Grad gingen die Ränder auseinander.

Multiple Choice #5 30s ▶ Testen

Welche Angabe passt zum abgebildeten Graphen?

● ungerader Grad, a > 0
○ ungerader Grad, a < 0
○ gerader Grad, a > 0

Der Graph kommt von links unten und läuft rechts nach oben: entgegengesetzte Ränder, ungerader Grad, und der rechte Rand zeigt nach oben: a > 0.

Wahr / Falsch #6 20s ▶ Testen

Der abgebildete Graph läuft links und rechts nach unten. Er gehört zu einer Funktion mit ungeradem Grad.

✓ Falsch

Gleiche Richtung an beiden Rändern bedeutet geraden Grad; nach unten heißt zudem a < 0.

Multiple Choice #7 25s ▶ Testen

Ein Graph schneidet die x-Achse bei −1 und 3 und berührt sie bei 2. Welcher Ansatz mit Grad 4 passt?

● f(x) = a(x + 1)(x − 3)(x − 2)²
○ f(x) = a(x − 1)(x + 3)(x + 2)²
○ f(x) = a(x + 1)(x − 3)(x − 2)

Zu jeder Nullstelle x₀ gehört ein Faktor (x − x₀): −1 gibt (x + 1), 3 gibt (x − 3), und die Berührstelle 2 gibt (x − 2)². Der zweite Ansatz hat die Vorzeichen vertauscht, dem dritten fehlt das Quadrat.

Multiple Choice #8 35s ▶ Testen

Welcher Ansatz passt zum abgebildeten Graphen (Grad 3)?

● f(x) = a(x + 4)(x − 1)²
○ f(x) = a(x − 4)(x + 1)²
○ f(x) = a(x + 4)(x − 1)

Der Graph schneidet die x-Achse bei −4 und berührt sie bei 1: Faktor (x + 4) und Faktor (x − 1)². Der zweite Ansatz vertauscht die Vorzeichen, dem dritten fehlt der Grad 3.

Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

Der Ansatz f(x) = a(x − 2)(x + 4) gehört zu einem Graphen mit den Nullstellen 2 und 4.

✓ Falsch

x + 4 = 0 gibt x = −4. Die Nullstellen sind 2 und −4.

Mittel

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Ein Graph berührt die x-Achse bei x = 1 und bei x = 4 und schneidet sie bei x = −2. Welchen Grad hat die Funktion mindestens?

✓ Antwort: 5

Zwei Berührpunkte zählen 2 + 2, der Schnittpunkt mindestens 1: 2 + 2 + 1 = 5.

Lückentext #2 20s ▶ Testen

Läuft der Graph links nach oben und rechts nach unten, so ist der Grad ___ (gerade oder ungerade).

✓ Antwort: ungerade

Die Ränder zeigen in entgegengesetzte Richtungen: ungerader Grad, und wegen des rechten Randes nach unten ist a < 0.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = a(x + 2)(x − 3) geht durch die abgebildeten Nullstellen und den Punkt P. Bestimme a.

✓ Antwort: 0.5

P hat die Koordinaten (0 | −3): f(0) = a·2·(−3) = −6a = −3, also a = 0,5.

Schwer

Zahleneingabe #1 40s ▶ Testen

Der Graph einer Funktion vom Grad 5 schneidet die x-Achse dreimal und berührt sie einmal. Wie viele weitere Schnittpunkte kann er noch haben?

✓ Antwort: 0

Drei Schnittpunkte und ein Berührpunkt brauchen mindestens 3 + 2 = 5 Vielfachheiten. Der Grad 5 ist damit ausgeschöpft: 0 weitere.

Zahleneingabe #2 35s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = a(x + 1)(x − 2)(x − 4) läuft rechts nach unten. Welche ganze Zahl a ist dann höchstens möglich?

✓ Antwort: -1

Der Grad ist 3, der rechte Rand zeigt nach unten: Leitkoeffizient a < 0. Die größte ganze Zahl darunter ist −1.

Zahleneingabe #3 40s ▶ Testen

Der Graph von f(x) = a(x + 1)(x − 2)²(x − 4) hat die abgebildeten Nullstellen und geht durch den Punkt P. Bestimme a.

✓ Antwort: -0.5

P hat die Koordinaten (0 | 8): f(0) = a·1·(−2)²·(−4) = −16a = 8, also a = −0,5.

KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Der Graph einer ganzrationalen Funktion vierten Grades schneidet die x-Achse bei x = −2 und x = 3, berührt sie bei x = 1 und schneidet die y-Achse bei y = 6. Stelle den Ansatz auf, bestimme den Faktor a und gib den Funktionsterm in faktorisierter Form an. Bestimme außerdem Leitkoeffizient und Randverhalten. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Ansatz: f(x) = a(x + 2)(x − 3)(x − 1)². Aus f(0) = 6: a·2·(−3)·1 = −6a = 6, also a = −1. f(x) = −(x + 2)(x − 3)(x − 1)². Leitkoeffizient −1 (führender Term −x⁴): gerader Grad, beide Ränder nach unten. Kontrolle: f(2) = −4·(−1)·1 = 4 > 0 zwischen den Nullstellen 1 und 3.

Ansatz a(x + 2)(x − 3)(x − 1)². f(0) = −6a = 6 gibt a = −1. Der führende Term ist −x⁴: gerader Grad, negativer Leitkoeffizient, beide Ränder nach unten.