Potenzgleichungen xⁿ = c

Power equations xⁿ = c

Mathematik Klasse 9 16 Aufgaben

GleichungenPotenzenWurzeln

Die Lösungen von xⁿ = c sind die Schnittpunkte von y = xⁿ mit der Waagrechten y = c: Bei geradem n gibt es für c > 0 zwei Lösungen ±ⁿ√c, für c = 0 eine und für c < 0 keine, bei ungeradem n immer genau eine. Einen Faktor a dividiert man zuerst weg. Der Abschnitt räumt aus, dass bei geradem n nur die positive Lösung zählt, dass ungerades n zwei Lösungen habe und dass x = c : n herauskomme (Leinhardt, Zaslavsky und Stein 1990). Er bereitet biquadratische Gleichungen, Nullstellen ganzrationaler Funktionen und Exponentialgleichungen vor.

Die Gleichung $x^{n} = c$ fragt: An welchen Stellen hat der Graph von $y = x^{n}$ die Höhe c? Zeichne die Waagrechte $y = c$ : Jeder Schnittpunkt ist eine Lösung. Bei geradem n ist der Graph achsensymmetrisch und liegt nie unter der x-Achse. Für $c > 0$ gibt es zwei Lösungen $x = \pm n c$ , für $c = 0$ nur $x = 0$ und für $c < 0$ keine. Bei ungeradem n steigt der Graph durchgehend, jede Waagrechte trifft ihn genau einmal: Für $c \geq 0$ ist $x = n c$ , für $c < 0$ ist $x = - n - c$ .

Beispiele: $x^{4} = 81$ hat die Lösungen 3 und −3, $x^{3} = - 8$ nur die Lösung −2. Steht vor der Potenz ein Faktor, teilt man zuerst durch ihn: $2 x^{4} = 162$ wird zu $x^{4} = 81$ , also $x = \pm 3$ . Nicht c : n rechnen: $x^{4} = 10$ hat nicht die Lösungen ±2,5, sondern $\pm 410 \approx \pm 1, 78$ . Zur Kontrolle setzt man in die Ausgangsgleichung ein: $(- 3)^{4} = 81$ und $3^{4} = 81$ , beide Lösungen stimmen. Auch Gleichungen wie $x^{3} + 27 = 0$ oder $5 x^{4} = 80$ gehören dazu, denn nach dem Umformen haben sie die Form $x^{n} = c$ .

Verändere n und c. Für welche Kombinationen zeigt die Skizze zwei, eine oder keine Lösung?

Voraussetzungen (2)

Gerade und ungerade Exponenten

Leicht

Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Die Abbildung zeigt den Graphen von y = x⁴ und die Gerade y = 16. Welche Lösungsmenge hat die Gleichung x⁴ = 16?

● L = {−2; 2}
○ L = {2}
○ L = {4}

Sowohl 2⁴ = 16 als auch (−2)⁴ = 16, denn bei geradem Exponenten fällt das Vorzeichen weg. {2} vergisst die negative Lösung, und {4} käme aus 16 : 4 (Rechnen mit c : n) heraus, 4⁴ wäre aber 256.

Multiple Choice #2 25s ▶ Testen

Die Abbildung zeigt den Graphen von y = x⁶ und die Gerade y = −3. Wie viele Lösungen hat die Gleichung x⁶ = −3?

● keine Lösung
○ eine Lösung
○ zwei Lösungen

Die Gerade y = −3 verläuft unterhalb der x-Achse, der Graph von x⁶ nie. Es gibt keinen Schnittpunkt, also keine Lösung, denn x⁶ ist nie negativ. „Zwei Lösungen“ gälte für eine positive Höhe, zum Beispiel x⁶ = 3.

Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Die Abbildung zeigt den Graphen von y = x⁶. Die Gleichung x⁶ = 0 hat genau eine Lösung.

✓ Wahr

Nur 0⁶ = 0. Die Waagrechte y = 0 (die x-Achse) berührt den Graphen von x⁶ nur im Ursprung, deshalb ist L = {0}.

Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

Die Abbildung zeigt den Graphen von y = x³ und die Gerade y = −8. Welche Lösungsmenge hat die Gleichung x³ = −8?

● L = {−2}
○ L = {−2; 2}
○ L = { }

Es ist (−2)³ = −8, und 2³ = +8 löst die Gleichung nicht. Bei ungeradem Exponenten gibt es genau eine Lösung, auch für negatives c. „Keine Lösung“ und zwei Lösungen sind Übertragungen der Regel für gerade Exponenten.

Multiple Choice #5 25s ▶ Testen

Die Abbildung zeigt den Graphen von y = x³ und die Gerade y = −5. Wie viele Lösungen hat die Gleichung x³ = −5?

● eine Lösung
○ keine Lösung
○ zwei Lösungen

Der Graph von x³ steigt durchgehend und nimmt jeden Wert an, auch negative. Die Gerade y = −5 schneidet ihn genau einmal, links vom Ursprung. Die Gleichung hat die eine Lösung x = −³√5 ≈ −1,71.

Wahr / Falsch #6 20s ▶ Testen

Die Abbildung zeigt den Graphen von y = x⁷ und die Gerade y = 100. Die Gleichung x⁷ = 100 hat genau eine Lösung.

✓ Wahr

Bei ungeradem Exponenten gibt es genau eine Lösung: x = ⁷√100 ≈ 1,93. Die negative Zahl −1,93 hat eine negative siebte Potenz, löst also x⁷ = 100 nicht.

Multiple Choice #7 25s ▶ Testen

Welche Gleichung entsteht aus 2x⁴ = 162 durch den ersten Rechenschritt?

● x⁴ = 81
○ x⁴ = 324
○ (2x)⁴ = 162

Der Faktor 2 gehört nur zur Potenz und wird durch Teilen entfernt: 162 : 2 = 81. x⁴ = 324 wäre mit 2 multipliziert statt dividiert, und (2x)⁴ ist eine andere Gleichung, denn 2x⁴ ≠ (2x)⁴ = 16x⁴.

Multiple Choice #8 30s ▶ Testen

Welche Lösungsmenge hat die Gleichung 5x³ = −40?

● L = {−2}
○ L = {2}
○ L = {−2; 2}

Durch 5 teilen: x³ = −8. Bei ungeradem Exponenten gibt es genau eine Lösung, (−2)³ = −8, also x = −2. {2} verliert das Vorzeichen, {−2; 2} übertrüge die Regel für gerade Exponenten.

Wahr / Falsch #9 20s ▶ Testen

Die Abbildung zeigt den Graphen von y = x⁴ und die Gerade y = 10. Die Gleichung x⁴ = 10 hat die Lösungen x = 2,5 und x = −2,5.

✓ Falsch

Wer 10 : 4 = 2,5 rechnet, teilt statt zu radizieren. Zur Probe: 2,5⁴ = 39,0625. Richtig ist x = ±⁴√10 ≈ ±1,78.

Mittel

Zahleneingabe #1 20s ▶ Testen

Gib die positive Lösung von x⁴ = 81 an.

✓ Antwort: 3

Wegen 3⁴ = 81 ist die positive Lösung ⁴√81 = 3. Die zweite Lösung wäre −3.

Zahleneingabe #2 20s ▶ Testen

Löse die Gleichung x⁵ = −32.

✓ Antwort: -2

Wegen (−2)⁵ = −32 ist x = −2. Die Gleichung hat nur diese eine Lösung.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Löse x³ = 30 auf zwei Nachkommastellen genau.

✓ Antwort: 3.11

Es ist x = ³√30. Wegen 3³ = 27 < 30 < 64 = 4³ liegt x zwischen 3 und 4, der Taschenrechner liefert ³√30 ≈ 3,107, gerundet 3,11.

Schwer

Zahleneingabe #1 25s ▶ Testen

Für welchen Wert von c hat die Gleichung x⁴ = c die beiden Lösungen −3 und 3?

✓ Antwort: 81

Setze eine Lösung ein: c = 3⁴ = 81. Die Probe mit −3 bestätigt es: (−3)⁴ = 81.

Zahleneingabe #2 25s ▶ Testen

Löse die Gleichung x³ + 27 = 0.

✓ Antwort: -3

Umformen: x³ = −27. Wegen (−3)³ = −27 ist x = −3, und das ist die einzige Lösung.

Zahleneingabe #3 35s ▶ Testen

Ein Guthaben verdoppelt sich in 4 Jahren bei einem jährlichen Zinsfaktor q. Es gilt q⁴ = 2. Berechne q (positiv) auf drei Nachkommastellen.

✓ Antwort: 1.189

Die vierte Wurzel aus 2: q = ⁴√2 ≈ 1,1892. Das entspricht etwa 18,9 % Zinsen pro Jahr. Die negative Lösung −1,189 hat als Zinsfaktor keinen Sinn.

KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Löse die Gleichungen 3x⁴ − 48 = 0 und x³ + 125 = 0 vollständig. Gib jeweils die Lösungsmenge an und begründe an einer Skizze von y = xⁿ und der passenden Waagrechten, warum es zwei bzw. nur eine Lösung gibt. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: 3x⁴ − 48 = 0 → 3x⁴ = 48 → x⁴ = 16 → x = ±⁴√16 = ±2, also L = {−2; 2}; die Waagrechte y = 16 schneidet den achsensymmetrischen Graphen von x⁴ zweimal. x³ + 125 = 0 → x³ = −125 → x = −³√125 = −5, also L = {−5}; der Graph von x³ steigt durchgehend, die Waagrechte y = −125 trifft ihn nur einmal.

Beim geraden Exponenten 4 gibt es zu x⁴ = 16 zwei Lösungen, beim ungeraden Exponenten 3 zu x³ = −125 genau eine, x = −5.