Quadratzahlen erkennen und rückwärts finden
Recognising square numbers and finding them backwards
Das Kind prüft Zahlen auf Quadratzahl: Quadratzahlen enden nur auf 0, 1, 4, 5, 6 oder 9, also kann 248 keine sein — die passende Endziffer allein beweist aber nichts (171 ist keine). Es ordnet eine Zahl zwischen zwei Nachbarquadrate ein (300 liegt zwischen 17² = 289 und 18² = 324) und beantwortet die Umkehrfrage „Welche Zahl mal sich selbst ergibt 289?“ mit Endziffer und Eingrenzung. Ausgeräumt wird die Umkehrung des n² = 2n-Fehlers (324 halbieren statt 18 suchen). Das ist das Wurzelziehen, bevor es so heißt: Es bereitet math.wurzeln-und-reelle-zahlen.wurzel-als-quadratseite und .wurzeln-abschaetzen (Jgst. 9) und das Seitenberechnen im Pythagoras (math.pythagoras-am-dreieck.hypotenuse-berechnen) vor.
Die letzte Ziffer
Die letzte Ziffer einer Quadratzahl hängt nur von der letzten Ziffer der Seite ab: 13² endet wie 3² auf 9, 18² endet wie 8² auf 4. Geht man alle zehn Endziffern durch, kommen nur sechs heraus:
| Seite endet auf | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Quadrat endet auf | 0 | 1 | 4 | 9 | 6 | 5 | 6 | 9 | 4 | 1 |
Eine Quadratzahl endet also nie auf
Zwischen zwei Quadratzahlen
Liegt eine Zahl nicht auf einer Quadratzahl, dann liegt sie zwischen zwei benachbarten. Für 300 suchst du die Quadratzahlen davor und danach:
Ein quadratischer Platz mit 300 m² Fläche hat also eine Seite zwischen 17 m und 18 m.
Rückwärts fragen
„Welche Zahl mal sich selbst ergibt 289?“ Halbieren hilft hier nicht — 289 ist nicht 2 · n, sondern n · n. Zwei Fragen grenzen die
- Wie groß? 289 liegt zwischen 15² = 225 und 20² = 400, die Zahl also zwischen 15 und 20.
- Welche Endziffer? 289 endet auf 9, die Seite also auf 3 oder 7.
Zwischen 15 und 20 mit Endziffer 3 oder 7 gibt es nur die 17. Probe: 17 · 17 = 289. In der 9. Klasse heißt diese Rückwärtsfrage Wurzelziehen:
Voraussetzungen (1)
Welche Zahl kann eine Quadratzahl sein?
Auf welche Ziffer endet 17²?
372 ist eine Quadratzahl.
256 ist eine Quadratzahl.
Zwischen welchen benachbarten Quadratzahlen liegt 150?
Welche Zahl mal sich selbst ergibt 324?
225 = ___²
171 ist eine Quadratzahl.
Zwischen welchen benachbarten Quadratzahlen liegt der Punkt P?
Welche Quadratzahl liegt am nächsten an 230?
Wie viele Quadratzahlen liegen zwischen 100 und 200?
Ein quadratischer Garten hat 361 m² Fläche. Wie viele Meter ist eine Seite lang?
Prüfe für 278, 256 und 270, ob sie Quadratzahlen sind. Begründe jede Antwort: mit der Endziffer, mit einer Probe oder mit den Nachbarquadraten, zwischen denen die Zahl liegt. Schreibe deine Lösung auf Papier und fotografiere sie.
Ein quadratischer Platz mit 17 m Seitenlänge hat mehr als 300 m² Fläche.