Die Nenner-Falle

The denominator trap

Mathematik Klasse 6 16 Aufgaben

BrücheAdditionÜberschlag

Lena isst 1/2 einer Pizza, Tom 1/3 – und wer Zähler und Nenner getrennt addiert, erhält 2/5, weniger als Lena allein gegessen hat. Die Station macht die Falle sichtbar: Mit der Größenprobe fällt das Ergebnis durch, und an den Streifen zeigt sich der Grund – Hälften und Drittel sind verschieden große Teile und lassen sich nicht zählen, bevor beide in gleich große Teile geschnitten sind. Sie räumt das getrennte Addieren von Zähler und Nenner aus. Sie bereitet das Gleichnamigmachen und den Überschlag vor.

Zurück zur Frage vom Anfang: Lena isst 1/2, Tom 1/3. Der Freund rechnet $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{1 + 1}{2 + 3} = \frac{2}{5}$ . Das ist die Nenner-Falle: Zähler und Nenner werden getrennt addiert.

Erst raten: Ist 2/5 mehr oder weniger als Lenas 1/2?

Die Streifen sind gleich lang. 2/5 ist kürzer als 1/2, obwohl noch 1/3 dazugekommen sein soll.

Die Streifen zeigen es: 2/5 ist kleiner als 1/2. Das kann nicht stimmen, denn die Summe positiver Zahlen ist größer als jeder Summand. Diese Größenprobe dauert Sekunden und deckt die Falle sofort auf.

Der Grund: Hälften und Drittel sind verschieden große Teile, und man kann nur zählen, was gleich groß ist – 3 Äpfel und 2 Birnen sind keine „5 Äpfel“. Also schneidet man die Pizza so, dass beide Portionen aus gleich großen Stücken bestehen.

Wähle die Zahl m der gleich großen Teile. Bei welchem m sind die Teile für 1/2 und für 1/3 ganze Zahlen?

Bei Sechsteln passt es: $\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$ und $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$ , zusammen $\frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$ . Auch Zwölftel würden passen (6/12 + 4/12 = 10/12 = 5/6); Sechstel sind nur die gröbste passende Teilung.

Die Falle lauert überall, wo Brüche mit verschiedenen Nennern stehen. Ein kurzer Blick auf die Größe genügt, um sie zu erkennen – und dann den richtigen Weg zu suchen: gleich große Teile herstellen. Wie man das systematisch macht, zeigt der nächste Abschnitt.

Voraussetzungen (1)

Gleichnamige Brüche

Klasse 6

›

Ermöglicht (1)

Ungleichnamige Brüche

Klasse 6

›

Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Die Streifen zeigen 1/2 und 1/4. Berechne 1/2 + 1/4.

● 3/4
○ 2/6
○ 2/8

1/2 = 2/4, also 2/4 + 1/4 = 3/4. 2/6 addiert Zähler und Nenner getrennt (1 + 1 und 2 + 4); 2/8 addiert die Zähler und multipliziert die Nenner – beides zählt Teile verschiedener Größe zusammen.

Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Drei Schüler haben gerechnet. Welche Rechnung ist falsch?

● 1/6 + 1/6 = 2/12
○ 2/9 + 4/9 = 6/9
○ 5/8 − 1/8 = 4/8

Bei gleichen Nennern bleibt der Nenner: 1/6 + 1/6 = 2/6 (= 1/3). In 2/12 wurden die Nenner addiert – die Teile würden kleiner, obwohl nur mehr Stücke dazukommen. Die beiden anderen Rechnungen stimmen.

Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Die Streifen zeigen 1/3 und 1/4. Es gilt 1/3 + 1/4 = 2/7.

✓ Falsch

Zähler und Nenner getrennt zu addieren ist die Nenner-Falle: 2/7 ist kleiner als 1/3 – die Summe kann aber nicht kleiner sein als ein Summand. Richtig: 1/3 + 1/4 = 4/12 + 3/12 = 7/12.

Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Für 3/4 + 1/2 werden drei Ergebnisse vorgeschlagen. Welches kann schon nach einem Blick nicht stimmen?

● 4/6
○ 5/4
○ 6/4

3/4 = 0,75, aber 4/6 ≈ 0,67 ist kleiner als 3/4 – eine Summe wird nicht kleiner als ein Summand. 5/4 und 6/4 sind größer als beide Summanden; richtig ist 5/4.

Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Der obere Streifen zeigt Lenas 1/2 Pizza, der untere das Ergebnis 2/5 eines Schülers für 1/2 + 1/3. Was zeigt der Vergleich?

● 2/5 ist weniger als 1/2 – das Ergebnis stimmt nicht
○ 2/5 ist mehr als 1/2 – das Ergebnis ist möglich
○ 2/5 ist genau so viel wie 1/2 – das Ergebnis ist möglich

Der untere Streifen ist kürzer gefärbt als der obere: 2/5 = 0,4 < 0,5. Lena allein hat schon 1/2 gegessen, also müssen beide zusammen mehr als 1/2 haben.

Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

1/3 + 1/4 = 2/7 kann nicht stimmen, weil 2/7 kleiner ist als 1/3.

✓ Wahr

2/7 ≈ 0,29 und 1/3 ≈ 0,33: Das Ergebnis liegt unter einem Summanden, also ist die Rechnung falsch.

Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Eine Pizza soll in gleich große Stücke geschnitten werden, sodass man 1/2 und 1/3 der Pizza in ganzen Stücken abzählen kann. Welche Stücke passen?

● Sechstel
○ Fünftel
○ Achtel

Sechstel: 1/2 sind 3 Stücke und 1/3 sind 2 Stücke. Bei Fünfteln liegt weder 1/2 noch 1/3 auf einer Schnittlinie, bei Achteln nur 1/2 – und Fünftel entstehen nur, wenn man in der Nenner-Falle 2 + 3 rechnet.

Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Die Streifen zeigen 1/2 und 1/3 in Sechstel geteilt. Welche Rechnung passt dazu?

● 3/6 + 2/6
○ 3/6 + 3/6
○ 1/6 + 1/6

Oben sind 3 von 6 Teilen gefärbt (= 1/2), unten 2 von 6 (= 1/3): 3/6 + 2/6 = 5/6. Bei 3/6 + 3/6 wurde 1/3 mit 1/2 verwechselt, bei 1/6 + 1/6 wurde nur der Zähler der Ausgangsbrüche übernommen.

Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

Auch in Zwölftel kann man beides abzählen: 1/2 = 6/12 und 1/3 = 4/12.

✓ Wahr

Zwölftel sind halb so groß wie Sechstel; jedes Sechstel besteht aus 2 Zwölfteln. Deshalb gilt 1/2 = 6/12 und 1/3 = 4/12. Das kleinste passende Stück ist aber das Sechstel.

Mittel

Lückentext #1 20s ▶ Testen

Ergänze richtig: 1/2 + 1/4 = ___/4

✓ Antwort: 3

1/2 = 2/4, also 2/4 + 1/4 = 3/4. Der Nenner 4 bleibt, gezählt werden Viertel.

Lückentext #2 20s ▶ Testen

Setze < oder > ein: 2/5 ___ 1/2

✓ Antwort: <

2/5 = 4/10 und 1/2 = 5/10, also ist 2/5 < 1/2.

Lückentext #3 20s ▶ Testen

Ergänze: 1/2 = ___/6

✓ Antwort: 3

Ein Sechstel ist ein Drittel von einer Hälfte: Eine Hälfte besteht aus 3 Sechsteln.

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Anna trinkt 1/2 l Saft (oberer Streifen), Ben 1/4 l (unterer Streifen). Wie viele Viertelliter sind das zusammen?

✓ Antwort: 3

1/2 l = 2 Viertelliter, dazu 1 Viertelliter: 2 + 1 = 3 Viertelliter, also 3/4 l.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Bei 3/8 + 1/4 werden die Ergebnisse 4/12, 5/8, 3/12 und 7/8 vorgeschlagen. Wie viele davon sind größer als beide Summanden und deshalb überhaupt möglich?

✓ Antwort: 2

Die Summe muss größer sein als jeder Summand, also größer als der größere Summand 3/8 = 0,375. 4/12 ≈ 0,33 und 3/12 = 0,25 sind zu klein; 5/8 = 0,625 und 7/8 = 0,875 bestehen die Probe. (Richtig ist 3/8 + 2/8 = 5/8.)

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Wie viele Sechstel sind 1/2 und 1/3 zusammen?

✓ Antwort: 5

1/2 = 3/6 und 1/3 = 2/6: 3 + 2 = 5 Sechstel, also 1/2 + 1/3 = 5/6 – nicht 2/5.

KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Lena isst 1/2 einer Pizza, Tom 1/3. Ein Schüler rechnet: 1/2 + 1/3 = 2/5. Zeige mit einer Zeichnung (zwei gleich lange Streifen) und einem Größenvergleich, dass das nicht stimmen kann, und berechne dann den richtigen Wert, indem du beide Portionen in Sechstel umschreibst. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Zwei gleich lange Streifen: 1/2 (3 von 6 Teilen) und 2/5. 2/5 = 4/10 < 5/10 = 1/2, das Ergebnis ist kleiner als der Summand 1/2 – unmöglich. Richtig: 1/2 = 3/6, 1/3 = 2/6, also 3/6 + 2/6 = 5/6.

2/5 < 1/2, also kann 2/5 nicht die Summe sein. 1/2 + 1/3 = 3/6 + 2/6 = 5/6: Erst in gleich große Teile (Sechstel) schneiden, dann die Teile zählen.