Durch einen Bruch dividieren

Dividing by a fraction

Mathematik Klasse 6 33 Aufgaben

BrücheDivisionKehrwert

Wie oft passt 3/4 in 1? Etwa 1 1/3-mal – der Kehrwert 4/3. Die Station leitet aus dem Messen her, dass man durch einen Bruch teilt, indem man mit seinem Kehrwert malnimmt: 2/3 : 4/5 = 2/3 · 5/4 = 5/6. Nur der zweite Bruch, der Divisor, wird gekehrt. Die Umkehrprobe (Quotient mal Divisor ergibt den Dividenden) macht den Rechenweg überprüfbar. Sie räumt aus, den falschen Bruch oder beide zu kehren oder den Kehrwert zu vergessen, und bereitet die Größenwirkung, das Rechnen mit Dezimalbrüchen und die Bruchterme vor.

Wie oft passt 2/5 in ein Ganzes? Der Streifen zeigt: zweieinhalbmal, denn 5 Fünftel ergeben das Ganze und ein Stück ist 2 Fünftel lang. Diese Zahl 5/2 heißt Kehrwert von 2/5: Zähler und Nenner tauschen den Platz, und das Produkt beider Brüche ist 1.

Ändere Zähler und Nenner des Messstücks. Wie oft passt das Stück in das Ganze, und wie hängt das mit dem Bruch zusammen?

Passt das Stück c/d genau d/c-mal in ein Ganzes, dann passt es in a Ganze a · d/c-mal, und ebenso oft in jede andere Zahl a, auch in einen Bruch. Also gilt: Durch einen Bruch teilt man, indem man mit seinem Kehrwert malnimmt. Gekehrt wird nur der Divisor, der zweite Bruch:

$\frac{5}{8} : \frac{3}{4} = \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{3} = \frac{20}{24} = \frac{5}{6}$

Auf dem Strahl misst man die Strecke 2 mit Sprüngen der Länge 2/3 aus: 3 Sprünge, und 2 · 3/2 = 3.

Umkehrprobe: Quotient mal Divisor muss den Dividenden ergeben. Hier: $\frac{5}{6} \cdot \frac{3}{4} = \frac{15}{24} = \frac{5}{8}$ – es stimmt.

Der Kehrwert einer ganzen Zahl ist ein Stammbruch: 5 = 5/1 hat den Kehrwert 1/5. Die Null hat keinen Kehrwert, denn kein Produkt 0 · x ergibt 1. Gemischte Zahlen verwandelt man vorher in einen Bruch: 1 3/4 : 7/8 = 7/4 · 8/7 = 2. Typische Fehler sind, den ersten Bruch zu kehren oder beide.

Voraussetzungen (2)

Brüche multiplizieren

Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Welcher Bruch ist der Kehrwert von 3/4?

● 4/3
○ 1/4
○ 3/4

3/4 · 4/3 = 12/12 = 1: Beim Kehrwert tauschen Zähler und Nenner. 1/4 ist die Ergänzung von 3/4 zum Ganzen (nicht der Kehrwert), 3/4 hat nichts getauscht.

Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Welche Zahl ist der Kehrwert von 5?

● 1/5
○ 5
○ 1/2

5 = 5/1, der Kehrwert ist 1/5, denn 5 · 1/5 = 1. Die 5 selbst ist nicht der Kehrwert, und 1/2 ist der Kehrwert von 2.

Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

2/7 und 7/2 sind Kehrwerte voneinander: 2/7 · 7/2 = 1.

✓ Wahr

2/7 · 7/2 = 14/14 = 1. Zwei Zahlen sind Kehrwerte voneinander, wenn ihr Produkt 1 ist.

Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Berechne 2/3 : 4/5.

● 5/6
○ 8/15
○ 6/5

Nur der Divisor wird gekehrt: 2/3 · 5/4 = 10/12 = 5/6. 8/15 multipliziert ohne Kehrwert, 6/5 kehrt den falschen Bruch (3/2 · 4/5).

Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Berechne 3 : 3/4.

● 4
○ 9/4
○ 4/9

3 · 4/3 = 12/3 = 4: Ein Dreiviertel passt viermal in 3. 9/4 multipliziert nur, 4/9 kehrt beide Zahlen.

Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

3/4 : 1/2 = 3/8

✓ Falsch

Man malt mit dem Kehrwert: 3/4 · 2/1 = 6/4 = 3/2. 3/8 wäre 3/4 · 1/2 – das ist eine Malaufgabe. Ein halber Meter passt öfter als einmal in 3/4 m.

Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Welche Probe zeigt, dass 3/4 : 1/2 = 3/2 stimmt?

● 3/2 · 1/2 = 3/4
○ 3/2 + 1/2 = 2
○ 3/2 · 3/4 = 9/8

Die Umkehrprobe multipliziert den Quotienten mit dem Divisor: 3/2 · 1/2 = 3/4, das ist der Dividend. 3/2 + 1/2 addiert (Plus ist nicht die Umkehrung des Teilens), und 3/2 · 3/4 multipliziert mit dem Dividenden statt mit dem Divisor.

Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Welches Ergebnis passt zu 2/3 : 1/6? Prüfe: Ergebnis · 1/6 muss 2/3 ergeben.

● 4
○ 1/9
○ 1/4

4 · 1/6 = 4/6 = 2/3 – die Probe stimmt. 1/9 ist das Produkt 2/3 · 1/6, und 1/4 · 1/6 ergibt nicht 2/3.

Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

Die Probe 5/18 · 1/3 = 5/54 zeigt, dass 5/6 : 1/3 = 5/18 richtig ist.

✓ Falsch

Bei richtigem Ergebnis müsste die Probe den Dividenden 5/6 liefern, aber 5/54 ist nicht 5/6. Richtig ist 5/6 : 1/3 = 5/6 · 3 = 5/2, und 5/2 · 1/3 = 5/6.

Multiple Choice #10 15s ▶ Testen

Was ist der Kehrwert von 3/4?

● 4/3
○ 3/4
○ 1/4

Multiple Choice #11 15s ▶ Testen

Was ist der Kehrwert von 5/8?

● 8/5
○ 5/8
○ 3/8

Wahr / Falsch #12 15s ▶ Testen

Stimmt das?

✓ Ja

Wahr / Falsch #13 15s ▶ Testen

Stimmt das?

✓ Nein

Wahr / Falsch #14 15s ▶ Testen

Stimmt das?

✓ Ja

Wahr / Falsch #15 15s ▶ Testen

Stimmt das?

✓ Nein

Multiple Choice #16 15s ▶ Testen

Welche Malaufgabe gehört zu 4/5 : 2/3?

● 4/5 · 3/2
○ 4/5 · 2/3
○ 5/4 · 2/3

Multiple Choice #17 15s ▶ Testen

Welche Malaufgabe gehört zu 3/7 : 1/2?

● 3/7 · 2/1
○ 3/7 · 1/2
○ 7/3 · 1/2

Multiple Choice #18 15s ▶ Testen

Was ist der Kehrwert von 1/6?

● 6
○ 1/6
○ 5/6

Multiple Choice #19 15s ▶ Testen

Was ist der Kehrwert von 1/3?

● 3
○ 1/3
○ 2/3

Mittel

Lückentext #1 20s ▶ Testen

Ergänze: Der Kehrwert von 5/8 ist ___/5.

✓ Antwort: 8

Zähler und Nenner tauschen: 5/8 wird zu 8/5. Probe: 5/8 · 8/5 = 1.

Lückentext #2 20s ▶ Testen

Ergänze: 3/5 : 2/3 = 3/5 · ___/2

✓ Antwort: 3

Der Divisor 2/3 wird gekehrt: 3/2. Also 3/5 : 2/3 = 3/5 · 3/2 = 9/10.

Lückentext #3 20s ▶ Testen

Ergänze die Probe: 3/2 · 1/2 = ___/4

✓ Antwort: 3

3 · 1 = 3 im Zähler, 2 · 2 = 4 im Nenner: 3/4 – das ist der Dividend.

Bruch eingeben #4 20s ▶ Testen

Rechne.

✓ Antwort: 3/4 : 1/2 = 6/4

Bruch eingeben #5 20s ▶ Testen

Rechne.

✓ Antwort: 2/5 : 1/3 = 6/5

Bruch eingeben #6 20s ▶ Testen

Rechne.

✓ Antwort: 2/3 : 1/4 = 8/3

Bruch eingeben #7 20s ▶ Testen

Rechne.

✓ Antwort: 3/5 : 1/2 = 6/5

Bruch eingeben #8 20s ▶ Testen

Rechne.

✓ Antwort: 5/6 : 2/3 = 15/12

Bruch eingeben #9 20s ▶ Testen

Rechne.

✓ Antwort: 3/4 : 2/5 = 15/8

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Mit welcher Zahl muss man 4/5 malnehmen, um 1 zu erhalten? Gib sie als Dezimalzahl an.

✓ Antwort: 1.25

Gesucht ist der Kehrwert von 4/5, also 5/4 = 1,25. Probe: 4/5 · 5/4 = 1.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Wie oft passt ein Stück von 7/16 m in ein Band von 7/8 m?

✓ Antwort: 2

7/8 : 7/16 = 7/8 · 16/7 = 112/56 = 2. Die Stücke passen zweimal.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Berechne 1 1/2 : 3/4.

✓ Antwort: 2

1 1/2 = 3/2, also 3/2 : 3/4 = 3/2 · 4/3 = 12/6 = 2. Ein Dreiviertel passt zweimal in 1 1/2.

Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Es gilt x · 3/5 = 9/10. Wie groß ist x (als Dezimalzahl)?

✓ Antwort: 1.5

x = 9/10 : 3/5 = 9/10 · 5/3 = 45/30 = 3/2 = 1,5. Probe: 1,5 · 3/5 = 9/10.

KI-bewertete Rechnung #5 240s ▶ Testen

Berechne 5/6 : 5/9. Schreibe die Division als Malaufgabe mit dem Kehrwert, kürze und gib das Ergebnis an. Mache zum Schluss die Umkehrprobe. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: 5/6 : 5/9 = 5/6 · 9/5 = 45/30 = 3/2 = 1 1/2. Probe: 3/2 · 5/9 = 15/18 = 5/6, stimmt.

5/6 : 5/9 = 5/6 · 9/5 = 3/2 = 1 1/2 (5 gekürzt, 9 mit 6 durch 3). Probe: 3/2 · 5/9 = 15/18 = 5/6 – das ist der Dividend.