Mal macht nicht immer größer

Times does not always make bigger

Mathematik Klasse 6 16 Aufgaben

BrücheMultiplikationÜberschlag

Bei natürlichen Zahlen macht Malnehmen größer und Teilen kleiner – bei Brüchen stimmt das nur, wenn der Faktor größer als 1 ist. 12 · 3/4 = 9 ist kleiner als 12, aber 6 : 1/2 = 12 ist größer als 6 (Prediger 2008; Siegler & Lortie-Forgues 2017). Die Station bindet die Wirkung an die Bedeutung („ein Teil von“, „wie oft passt es hinein“) und macht daraus einen Größencheck vor dem Rechnen: Ein Ergebnis, das nicht zur erwarteten Richtung passt, ist falsch. Sie bereitet Überschlag und kritische Prüfung in der Verbindung der Grundrechenarten vor.

Mit natürlichen Zahlen macht Malnehmen größer und Teilen kleiner – bei Brüchen stimmt das nicht mehr. Vom Start 4 aus ist $4 \cdot \frac{1}{2} = 2$ kleiner, aber $4 : \frac{1}{2} = 8$ größer, denn in 4 Ganze passen 8 Halbe.

Stelle den Faktor f ein und wechsle zwischen „mal“ und „geteilt“. Wann liegt das Ergebnis rechts vom Start, wann links?

Entscheidend ist, ob der Faktor bzw. Divisor kleiner oder größer als 1 ist. Mal mit einer Zahl kleiner als 1 verkleinert, mit einer Zahl größer als 1 vergrößert. Geteilt durch eine Zahl kleiner als 1 vergrößert, durch eine Zahl größer als 1 verkleinert. Bei 1 ändert sich nichts.

Daraus wird ein Größencheck vor dem Rechnen: Nina rechnet 15 : 3/5 und erhält 9. Der Divisor 3/5 ist kleiner als 1, also muss das Ergebnis größer als 15 sein. Richtig ist 15 · 5/3 = 25. Ebenso beim Messen: Aus einem 9 m langen Band lassen sich mehr als 9 Stücke von je 3/4 m schneiden, nämlich 9 : 3/4 = 12, weil jedes Stück kürzer als ein Meter ist. Ein Ergebnis, das in die falsche Richtung zeigt, verrät den Fehler sofort.

Voraussetzungen (2)

Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Welches Ergebnis ist für 12 · 3/4 möglich, ohne zu rechnen?

● 9
○ 15
○ 18

3/4 von 12 ist weniger als 12: 12 : 4 = 3, 3 · 3 = 9. 15 und 18 wären mehr als die ganze Zahl 12 – das passt nur zu einem Faktor größer als 1.

Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Wie ordnest du 5/6 · 2/3 im Vergleich zu 5/6 ein?

● kleiner als 5/6
○ größer als 5/6
○ genau gleich 5/6

„2/3 von 5/6“ ist ein Teil von 5/6, also kleiner (es sind 5/9). Größer würde es nur mit einem Faktor über 1, gleich nur mit dem Faktor 1.

Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

4 · 1 1/2 ist größer als 4.

✓ Wahr

Ein Faktor größer als 1 macht größer: 4 · 1 1/2 = 6. Man nimmt die 4 anderthalbmal.

Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Welches Ergebnis ist für 6 : 1/2 möglich, ohne zu rechnen?

● 12
○ 3
○ 5 1/2

Ein Halbes passt öfter in 6 als ein Ganzes: 6 · 2 = 12. 3 wäre 6 : 2 (Halbieren), und 5 1/2 ist 6 − 1/2.

Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Wie ordnest du 8 : 2/3 im Vergleich zu 8 ein?

● größer als 8
○ kleiner als 8
○ genau gleich 8

2/3 passt öfter als einmal in 8, das Ergebnis ist größer als 8: 8 · 3/2 = 12. Kleiner wäre es nur bei einem Divisor größer als 1.

Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

3/4 : 1/2 ist größer als 3/4.

✓ Wahr

Ein halber Meter passt öfter als einmal in 3/4 m: 3/4 : 1/2 = 3/4 · 2 = 1 1/2. Der Divisor 1/2 ist kleiner als 1, also wird das Ergebnis größer.

Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Welches Ergebnis für 5/8 · 3/4 besteht den Größencheck?

● 15/32
○ 15/12
○ 8/12

Beide Faktoren sind kleiner als 1, das Produkt muss kleiner als 5/8 sein: 15/32. 15/12 ist größer als 1, 8/12 (= 2/3) größer als 5/8 – beide passen nicht.

Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Welches Ergebnis für 6 : 3/4 besteht den Größencheck (es muss größer als 6 sein)?

● 8
○ 9/2
○ 5 1/4

3/4 ist kleiner als 1, also ist der Quotient größer als 6: 6 · 4/3 = 8. 9/2 (= 4 1/2) wäre 6 · 3/4, und 5 1/4 = 6 − 3/4 rechnet minus und bleibt kleiner als 6.

Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

Das Ergebnis von 2/3 : 5/6 ist kleiner als 2/3.

✓ Falsch

Der Divisor 5/6 ist kleiner als 1, das Ergebnis also größer als 2/3: 2/3 · 6/5 = 4/5, und 4/5 ist mehr als 2/3.

Mittel

Lückentext #1 20s ▶ Testen

Ergänze kleiner oder größer: 20 · 3/5 ist ___ als 20.

✓ Antwort: kleiner

3/5 ist kleiner als 1, also ist 20 · 3/5 = 12 kleiner als 20.

Lückentext #2 20s ▶ Testen

Ergänze kleiner oder größer: Der Divisor 1/4 ist ___ als 1, darum ist 5 : 1/4 größer als 5.

✓ Antwort: kleiner

Ein Divisor kleiner als 1 vergrößert: Ein Viertel passt 4-mal in jede Ganze, also 5 : 1/4 = 20 – das ist größer als 5.

Lückentext #3 20s ▶ Testen

Ergänze kleiner oder größer: 2/3 : 4/3 ist ___ als 2/3.

✓ Antwort: kleiner

Der Divisor 4/3 ist größer als 1, das Ergebnis also kleiner: 2/3 : 4/3 = 2/3 · 3/4 = 1/2, und 1/2 ist weniger als 2/3.

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Ein Rezept braucht 3/4 kg Mehl. Für 2/3 der Menge: Wie viele kg Mehl sind das?

✓ Antwort: 0.5

2/3 von 3/4 kg: 3/4 · 2/3 = 6/12 = 1/2 kg = 0,5 kg – weniger als vorher, weil der Faktor 2/3 kleiner als 1 ist.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Ein Band ist 10 m lang. Wie viele Stücke von 2/5 m kann man abschneiden?

✓ Antwort: 25

10 : 2/5 = 10 · 5/2 = 25. Der Divisor 2/5 ist kleiner als 1, also gibt es mehr als 10 Stücke.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Tom rechnet 40 : 4/5 und erhält 32. Wie lautet das richtige Ergebnis?

✓ Antwort: 50

Der Divisor 4/5 ist kleiner als 1, also muss das Ergebnis größer als 40 sein – 32 fällt durch den Größencheck. 40 : 4/5 = 40 · 5/4 = 50.

KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Vier Aufgaben: 8 · 3/4, 8 : 3/4, 8 · 5/4, 8 : 5/4. Entscheide zuerst ohne zu rechnen, welche Ergebnisse kleiner und welche größer als 8 sind, und begründe es mit dem Faktor bzw. Divisor. Berechne dann alle vier und ordne sie der Größe nach. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Kleiner als 8: 8 · 3/4 = 6 (Faktor < 1) und 8 : 5/4 = 8 · 4/5 = 6 2/5 (Divisor > 1). Größer als 8: 8 : 3/4 = 8 · 4/3 = 10 2/3 (Divisor < 1) und 8 · 5/4 = 10 (Faktor > 1). Reihenfolge: 6 < 6 2/5 < 10 < 10 2/3.

8 · 3/4 = 6 und 8 : 5/4 = 6 2/5 sind kleiner als 8, 8 · 5/4 = 10 und 8 : 3/4 = 10 2/3 sind größer. Geordnet: 6 < 6 2/5 < 10 < 10 2/3.