Potenzen mit rationaler Basis

Powers with a rational base

Mathematik Klasse 6 18 Aufgaben
PotenzenBrücheDezimalzahlen

Eine Potenz ist wiederholtes Malnehmen: (1/2)³ = 1/2 · 1/2 · 1/2 = 1/8, nicht 3 · 1/2. Bei Brüchen werden Zähler und Nenner potenziert, bei Dezimalbrüchen zählen die Nachkommastellen mit: 0,2³ = 0,008. Ein negativer Exponent macht die Zahl nicht negativ, sondern bildet den Bruch mit Zähler 1: 2⁻³ = 1/2³ = 1/8, und 10⁻³ = 0,001 ist der Tausendstel-Faktor, der Millimeter aus Metern macht. Die Station räumt Basis-mal-Exponent, das Potenzieren nur des Zählers und Minus-Vorzeichen bei negativen Exponenten aus und bereitet die Potenzgesetze der Jahrgangsstufe 7 und Zehnerpotenzen in den Naturwissenschaften vor.

Potenzen von Brüchen

Eine Potenz ist ein Produkt aus gleichen Faktoren: Der Exponent sagt, wie oft die Basis als Faktor vorkommt. Also – und nicht 4 · 1/2 = 2. Bei einem Bruch werden Zähler und Nenner potenziert: . Bei Dezimalbrüchen zählt man die Nachkommastellen: 0,3² = 0,09. Eine Basis kleiner als 1 liefert mit wachsendem Exponenten immer kleinere Werte: 1/2, 1/4, 1/8, 1/16.

Halbiere den Streifen n-mal. Welcher Bruchteil des Ganzen bleibt übrig, und in wie viele gleiche Teile ist das Ganze dann zerlegt?

Negative Exponenten

Was kommt nach 2⁰ = 1? Im Muster 2³ = 8, 2² = 4, 2¹ = 2, 2⁰ = 1 wird bei jedem Schritt nach unten halbiert – also ist 2⁻¹ = 1/2 und 2⁻² = 1/4. Allgemein gilt , etwa . Ein negativer Exponent macht die Zahl nicht negativ, sondern führt zum Bruch mit Zähler 1. Bei den Zehnerpotenzen zeigt das Muster 10² = 100, 10¹ = 10, 10⁰ = 1, 10⁻¹ = 0,1 dasselbe: Jeder Schritt nach unten verschiebt das Komma um eine Stelle nach links.

Bei Zehnerpotenzen ist das besonders handlich: hat vier Nachkommastellen, die 1 steht an der vierten. So schreibt man sehr kleine Größen kurz auf.

Zahlenstrahl von 0 bis 1: 10⁻¹ bei 0,1, Ausschnitt 0 bis 0,10110⁻¹ 00,050,110⁻²
Unten ist der Bereich von 0 bis 0,1 zehnfach vergrößert: 10⁻¹ = 0,1 liegt oben, 10⁻² = 0,01 unten – mit jeder Vergrößerung sinkt der Exponent um 1.

Voraussetzungen (2)

Brüche multiplizieren
Klasse 6
›
Dezimalbrüche malnehmen und teilen
Klasse 6
›
Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Berechne (1/2)³.

  • ● 1/8
  • ○ 3/2
  • ○ 1/6
(1/2)³ = 1/2 · 1/2 · 1/2 = 1/8. 3/2 multipliziert Basis und Exponent (3 · 1/2), und 1/6 rechnet 2 · 3 im Nenner.
Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

(1/3)² = 2/3

✓ Falsch
(1/3)² = 1/3 · 1/3 = 1/9. 2/3 wäre 2 · 1/3 – der Exponent zählt aber die Faktoren, er wird nicht mit der Basis malgenommen.
Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Berechne 0,2³.

  • ● 0,008
  • ○ 0,6
  • ○ 0,08
0,2 · 0,2 · 0,2: 2 · 2 · 2 = 8 und drei Nachkommastellen: 0,008. 0,6 wäre 3 · 0,2, und 0,08 hat eine Nachkommastelle zu wenig.
Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Berechne (2/3)³.

  • ● 8/27
  • ○ 8/3
  • ○ 2/27
Zähler und Nenner werden potenziert: 2³/3³ = 8/27. 8/3 potenziert nur den Zähler, 2/27 nur den Nenner.
Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Ein Quadrat hat die Seitenlänge 3/4 der Seitenlänge des Einheitsquadrats. Welchen Bruchteil des Einheitsquadrats bedeckt es, also (3/4)²?

  • ● 9/16
  • ○ 6/8
  • ○ 3/16
(3/4)² = 3²/4² = 9/16: Das Teilquadrat hat 3 · 3 = 9 der 4 · 4 = 16 Felder. 6/8 rechnet 3 · 2 und 4 · 2, und 3/16 potenziert nur den Nenner.
Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Berechne 2⁻³.

  • ● 1/8
  • ○ −8
  • ○ −6
2⁻³ = 1/2³ = 1/8. Ein negativer Exponent macht den Wert nicht negativ: −8 wäre −2³, und −6 wäre 3 · (−2).
Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Berechne 5⁻².

  • ● 1/25
  • ○ 1/10
  • ○ −25
5⁻² = 1/5² = 1/25. 1/10 rechnet 5 · 2 im Nenner, −25 macht den Wert negativ.
Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Schreibe 10⁻³ als Dezimalbruch.

  • ● 0,001
  • ○ −1000
  • ○ 0,0001
10⁻³ = 1/10³ = 1/1000 = 0,001: die 1 steht an der dritten Stelle nach dem Komma. −1000 macht die Zahl negativ, 0,0001 hat eine Stelle zu viel.
Multiple Choice #9 20s ▶ Testen

Ein Meterstab hat 1000 Millimeter. Welche Zehnerpotenz gibt an, wie viele Meter 1 Millimeter sind?

  • ● 10⁻³ m
  • ○ 10⁻² m
  • ○ 10³ m
1 mm = 1/1000 m = 10⁻³ m. 10⁻² m wären 1 cm, und 10³ m sind 1000 m, ein Kilometer.
Mittel
Lückentext #1 20s ▶ Testen

Ergänze: (1/5)² = 1/___

✓ Antwort: 25
(1/5)² = 1/5 · 1/5 = 1/25: Im Nenner steht 5 · 5.
Lückentext #2 20s ▶ Testen

Ergänze: (2/5)² = ___/25

✓ Antwort: 4
(2/5)² = 2²/5² = 4/25.
Lückentext #3 20s ▶ Testen

Ergänze: 2⁻⁴ = 1/___

✓ Antwort: 16
2⁻⁴ = 1/2⁴ = 1/16 (2 · 2 · 2 · 2 = 16).
Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

0,00001 = 10ˣ. Welche Zahl ist x?

✓ Antwort: -5
0,00001 = 1/100 000 = 1/10⁵ = 10⁻⁵, also ist x = −5. Die 1 steht an der fünften Stelle nach dem Komma.
Schwer
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Ein Würfel hat die Kantenlänge 0,5 m. Wie groß ist sein Volumen in m³ (0,5³)?

✓ Antwort: 0.125
0,5³ = 0,5 · 0,5 · 0,5 = 0,125. Das Volumen ist kleiner als 1 m³, weil die Kante kürzer als 1 m ist.
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Ein Quadrat hat die Seitenlänge 3/5 m. Wie groß ist seine Fläche in m² (als Dezimalzahl)?

✓ Antwort: 0.36
(3/5)² = 9/25 = 0,36 m². Kürzer als 1 m Seitenlänge heißt weniger als 1 m² Fläche.
Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Berechne 2⁻⁵ als Dezimalzahl.

✓ Antwort: 0.03125
2⁻⁵ = 1/2⁵ = 1/32 = 0,03125.
Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Ein Kristall wiegt 3 · 10⁻² g. Wie viele Gramm sind das als Dezimalzahl?

✓ Antwort: 0.03
10⁻² = 0,01, also 3 · 10⁻² = 3 · 0,01 = 0,03 g.
KI-bewertete Rechnung #5 240s ▶ Testen

Schreibe die Reihe 10³, 10², 10¹, 10⁰ als Zahlen auf und setze sie bis 10⁻³ fort. Beschreibe, was von einem Glied zum nächsten passiert. Gib dann 4 mm in Metern als Dezimalzahl und mit einer Zehnerpotenz an (4 · 10ˣ m). Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: 1000, 100, 10, 1 – jeder Schritt teilt durch 10 – 0,1 = 1/10 = 10⁻¹, 0,01 = 10⁻², 0,001 = 10⁻³. 4 mm = 0,004 m = 4 · 10⁻³ m.
Jeder Schritt nach rechts teilt durch 10: 1000, 100, 10, 1, 1/10 = 0,1, 1/100 = 0,01, 1/1000 = 0,001. Also 10⁻¹, 10⁻², 10⁻³. 4 mm = 0,004 m = 4 · 10⁻³ m.