Rechenvorteile beim Malnehmen

Shortcuts when multiplying

Mathematik Klasse 6 17 Aufgaben

BrücheDezimalzahlenRechenvorteile

Beim Malnehmen dürfen Faktoren vertauscht und beliebig geklammert werden (Kommutativ- und Assoziativgesetz): 0,25 · 7 · 4 = (0,25 · 4) · 7 = 7. Man sucht Paare, deren Produkt glatt wird – Zehnerzahlen oder Kehrwerte. Außerdem wählt man die Darstellung, die den Rechenaufwand klein hält: 0,25 · 48 ist „ein Viertel von 48“ = 12, 0,75 = 3/4; ein Bruch wie 1/3 wird nicht durch 0,33 ersetzt, weil das ungenau ist. Bei der Division gelten Vertauschen und Umklammern nicht: 12 : 3 : 2 ≠ 12 : (3 : 2). Die Station bereitet das Distributivgesetz und die Verbindung der Grundrechenarten (M6 1.5) vor.

Beim Malnehmen darf man Faktoren vertauschen und beliebig klammern. Damit bildet man glatte Paare: $2, 5 \cdot 9 \cdot 4 = (2, 5 \cdot 4) \cdot 9 = 10 \cdot 9 = 90$ . Gute Paare sind Zehnerpaare und Kehrwerte: $\frac{5}{6} \cdot 7 \cdot \frac{6}{5} = (\frac{5}{6} \cdot \frac{6}{5}) \cdot 7 = 7$ .

Dazu wählt man die günstigste Form. 0,25 · 48 rechnet man als „ein Viertel von 48“: 48 : 4 = 12. Brüche eignen sich, wenn ein Anteil einer ganzen Zahl gesucht ist; Dezimalbrüche, wenn Kommastellen gezählt werden. Der Bruch 1/3 wird aber nie durch 0,33 ersetzt: 1/3 · 90 = 30, aber 0,33 · 90 = 29,7. Ein Bruch mit kleinem Nenner wie 1/4, 3/4 oder 1/8 lässt sich im Kopf gut als „Teil von“ rechnen; sind alle Faktoren endliche Dezimalbrüche, zählt man besser die Kommastellen. Am Ende prüft man mit dem Größencheck, ob das Ergebnis die richtige Größenordnung hat.

Bei der Division gilt das nicht: 48 : 6 : 2 = 4, aber 48 : (6 : 2) = 16. Erst als Produkt 48 · 1/6 · 1/2 darf man wieder ordnen.

Voraussetzungen (2)

Brüche multiplizieren

Klasse 6

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Dezimalbrüche malnehmen und teilen

Klasse 6

›

Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Welche Umformung von 0,25 · 7 · 4 ändert den Wert nicht?

● (0,25 · 4) · 7
○ 0,25 · (7 + 4)
○ (0,25 + 7) · 4

Beim Malnehmen darf man Faktoren vertauschen und klammern: (0,25 · 4) · 7 = 1 · 7 = 7, wie in der Aufgabe. Ein Plus in der Klammer ändert den Wert: 0,25 · (7 + 4) = 2,75 und (0,25 + 7) · 4 = 29.

Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Welche zwei Faktoren fasst du in 2,5 · 13 · 4 zuerst zusammen?

● 2,5 und 4
○ 2,5 und 13
○ 13 und 4

2,5 · 4 = 10 ist glatt, dann bleibt 10 · 13 = 130. 2,5 · 13 und 13 · 4 liefern keine glatten Zwischenergebnisse.

Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

3/4 · 5 · 4/3 = 5

✓ Wahr

3/4 und 4/3 sind Kehrwerte, ihr Produkt ist 1: (3/4 · 4/3) · 5 = 1 · 5 = 5.

Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Berechne 0,75 · 32. Tipp: 0,75 = 3/4.

● 24
○ 2,4
○ 240

3/4 von 32: 32 : 4 = 8, 8 · 3 = 24. 2,4 und 240 setzen das Komma falsch.

Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Berechne 1/3 · 0,9. Tipp: 0,9 = 9/10.

● 0,3
○ 0,03
○ 0,297

1/3 · 9/10 = 9/30 = 3/10 = 0,3. 0,297 = 0,33 · 0,9 ersetzt 1/3 durch die ungenaue Zahl 0,33, 0,03 setzt das Komma falsch.

Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

1/3 · 60 = 0,33 · 60 = 19,8

✓ Falsch

1/3 · 60 = 60 : 3 = 20 exakt. 0,33 ist nur ein ungefährer Wert für 1/3, deshalb kommt 19,8 heraus – zu wenig.

Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Berechne 12 : 3 : 2 von links nach rechts (Rechenbaum).

● 2
○ 8
○ 18

Von links nach rechts: 12 : 3 = 4, dann 4 : 2 = 2. 8 ergäbe sich nur mit der Klammer 12 : (3 : 2), und 18 entsteht, wenn man die erste Division zu einer Multiplikation macht (12 · 3 : 2).

Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Welche Aufgabe hat denselben Wert wie 24 : 4 : 3?

● 24 : (4 · 3)
○ 24 : (4 : 3)
○ (4 : 24) : 3

24 : 4 : 3 = 6 : 3 = 2, und 24 : (4 · 3) = 24 : 12 = 2. 24 : (4 : 3) = 18 ist ein anderer Wert, und in (4 : 24) : 3 sind Dividend und Divisor vertauscht.

Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

8 : 2 = 2 : 8

✓ Falsch

8 : 2 = 4, aber 2 : 8 = 1/4 = 0,25. Die Division ist nicht vertauschbar, anders als die Multiplikation 8 · 2 = 2 · 8.

Wahr / Falsch #10 15s ▶ Testen

12 : 3 : 2 = 12 · 1/3 · 1/2 = 2

✓ Wahr

Teilen durch 3 ist Malnehmen mit 1/3, teilen durch 2 Malnehmen mit 1/2: 12 · 1/3 · 1/2 = 2. Als Produkt darf man wieder ordnen.

Mittel

Lückentext #1 20s ▶ Testen

Ergänze: 0,5 · 17 · 2 = ___

✓ Antwort: 17

0,5 · 2 = 1, also 1 · 17 = 17.

Lückentext #2 20s ▶ Testen

Ergänze: 0,8 · 1/8 = 0,___

✓ Antwort: 1

1/8 von 0,8: 0,8 : 8 = 0,1 (8 Zehntel geteilt durch 8 sind 1 Zehntel).

Lückentext #3 20s ▶ Testen

Ergänze: 12 : 3 : 2 = 12 : (3 · ___)

✓ Antwort: 2

Zweimal hintereinander teilen heißt durch das Produkt der Divisoren teilen: 12 : 3 : 2 = 12 : 6 = 2.

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Berechne 0,125 · 9 · 8.

✓ Antwort: 9

0,125 · 8 = 1, denn 0,125 = 1/8. Dann bleibt 1 · 9 = 9.

KI-bewertete Rechnung #2 240s ▶ Testen

Berechne 2,5 · 3/10 · 4 · 10/3 möglichst geschickt. Schreibe auf, welche Faktoren du zusammenfasst und warum sich dieses Paar anbietet, und rechne dann. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: (2,5 · 4) · (3/10 · 10/3) = 10 · 1 = 10. 2,5 · 4 = 10, und 3/10 und 10/3 sind Kehrwerte (Produkt 1). Beim Malnehmen darf man Faktoren vertauschen und klammern.

2,5 · 4 = 10 und 3/10 · 10/3 = 1 (Kehrwerte). Beim Malnehmen darf man Faktoren vertauschen und klammern: (2,5 · 4) · (3/10 · 10/3) = 10 · 1 = 10.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Ein Liter Saft kostet 1,20 €. Wie viel Euro kosten 3/4 Liter?

✓ Antwort: 0.9

3/4 von 1,20 €: 1,20 : 4 = 0,3, mal 3 = 0,9 €.

Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Ein Band ist 60 m lang. Es wird in 5 gleich lange Teile geschnitten, jedes Teil danach in 3 gleich lange Stücke. Wie viele Meter ist ein Stück lang?

✓ Antwort: 4

60 : 5 = 12 m, dann 12 : 3 = 4 m. Kontrolle mit dem Produkt: 60 : (5 · 3) = 60 : 15 = 4.