Der Fehler 2. Art

The Type II error

Mathematik Klasse 12 16 Aufgaben

WahrscheinlichkeitHypothesentestSignifikanztestBinomialverteilung

Der Fehler 2. Art tritt auf, wenn H₀ beibehalten wird, obwohl H₁ gilt. Seine Wahrscheinlichkeit β lässt sich nur für ein konkretes p₁ aus H₁ berechnen: β = P(X im Annahmebereich) unter p₁, etwa 0,6230 beim Ratetest mit p₁ = 0,5. Ein kleineres α macht β größer; beide lassen sich bei gleichem n nicht zugleich beliebig klein machen, nur ein größeres n hilft. Räumt aus, β mit p₀ zu berechnen oder α + β = 1 zu setzen. Bereitet die Deutung des Testergebnisses vor.

Die Alternative kennen

Der Fehler 2. Art ist das Gegenstück: H₀ wird beibehalten, obwohl H₁ gilt. Ben hat gelernt und weiß etwa jede zweite Antwort, $p = 0, 5$ , erreicht aber nur 5 Treffer, außerhalb des Ablehnungsbereichs ${6, \dots, 10}$ . Um die Wahrscheinlichkeit dieses Fehlers zu berechnen, brauchen wir ein konkretes $p_{1}$ aus H₁. Der Fehler tritt auf, wenn $X$ im Annahmebereich liegt, gerechnet mit $p_{1}$ : $β = P_{p_{1}} (X \leq 5) = 1 - P_{p_{1}} (X \geq 6) = 1 - 0, 3770 = 0, 6230$ Der Test übersieht Bens Wissen also in etwa 62 von 100 Fällen.

Schiebe p₁. Blau: Verteilung unter p₀, gelb: unter p₁, violett: β. Bei welchem p₁ wird der Fehler 2. Art klein?

α gegen β

Lassen sich beide Fehler klein machen? Der Regler verschiebt die Grenze $k$ . Ein kleinerer Ablehnungsbereich senkt α, doch β steigt: bei $k = 5$ ist $α = 0, 0781$ und $β = 0, 3770$ , bei $k = 7$ ist $α = 0, 0035$ und $β = 0, 8281$ . Bei gleichem $n$ lassen sich beide nicht zugleich beliebig klein machen. Hilfe bringt nur eine größere Stichprobe: Mit $n = 20$ und Ablehnungsbereich ${9, \dots, 20}$ sinkt $β$ bei $p_{1} = 0, 5$ auf 0,2517.

Schiebe k. Rosa: α, violett: β. Was passiert mit α und β, wenn der Ablehnungsbereich kleiner wird?

Mit Software lassen sich beide Verteilungen und die Fehlerflächen direkt zeichnen: Verändert man $p_{1}$ , $k$ oder $n$ , sieht man sofort, welche Fläche zu α und welche zu β gehört.

Voraussetzungen (1)

Der Fehler 1. Art

Klasse 12

›

Ermöglicht (1)

Was „signifikant“ bedeutet

Klasse 12

›

Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Cem hat für den Ratetest gelernt (er weiß etwa jede zweite Antwort), erreicht aber nur 4 Treffer. Der Test (H₀: nur geraten, Ablehnungsbereich {6, …, 10}) behält H₀ bei. Was ist das?

● ein Fehler 2. Art
○ ein Fehler 1. Art
○ eine richtige Entscheidung

H₁ gilt (Cem hat gelernt), aber H₀ wird beibehalten: Fehler 2. Art. Ein Fehler 1. Art wäre das Ablehnen eines wahren H₀.

Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Welche Zelle der Tafel steht für den Fehler 2. Art?

● D
○ A
○ B

Fehler 2. Art heißt: H₁ gilt (untere Zeile) und H₀ wird beibehalten (rechte Spalte): Zelle D. A ist der Fehler 1. Art (H₀ gilt, wird abgelehnt), B eine richtige Entscheidung.

Wahr / Falsch #3 15s ▶ Testen

Lena hat gelernt, ihr Ergebnis liegt im Ablehnungsbereich, und der Test lehnt H₀ (nur geraten) ab. Das ist ein Fehler 2. Art.

✓ Falsch

H₀ ist falsch und wird abgelehnt: richtige Entscheidung. Ein Fehler 2. Art braucht das Beibehalten von H₀.

Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Ratetest, n = 10, Ablehnungsbereich {6, …, 10}, Alternative p₁ = 0,5. Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 2. Art?

● P(X ≤ 5) bei p = 0,5
○ P(X ≤ 5) bei p = 0,25
○ P(X ≥ 6) bei p = 0,5

Fehler 2. Art: Die Alternative p₁ = 0,5 gilt, und X liegt im Annahmebereich {0, …, 5}: P(X ≤ 5) bei p = 0,5. Mit p = 0,25 rechnet man den Fehler 1. Art, P(X ≥ 6) bei p = 0,5 ist die Wahrscheinlichkeit, richtig zu entscheiden.

Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Der Ablehnungsbereich beginnt bei 6 (gestrichelte Linie). Die Alternative ist p₁ = 0,6 (gelbe Säulen). Welche Säulen gehören zum Fehler 2. Art?

● die gelben Säulen 0 bis 5
○ die gelben Säulen 6 bis 10
○ die blauen Säulen 6 bis 10

Beim Fehler 2. Art gilt die Alternative (gelb), und das Ergebnis liegt im Annahmebereich (links der Linie): gelbe Säulen 0 bis 5. Die blauen Säulen 6 bis 10 sind der Fehler 1. Art.

Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Für α = 0,0197 und p₁ = 0,5 gilt: Wahrscheinlichkeit des Fehlers 2. Art = 1 − 0,0197.

✓ Falsch

α gehört zu p₀ = 0,25, β zu p₁ = 0,5: unterschiedliche Verteilungen. β = P(X ≤ 5) bei p = 0,5 = 0,6230, nicht 1 − α = 0,9803.

Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Ratetest, Alternative p₁ = 0,5. Der Ablehnungsbereich wird von {5, …, 10} (α = 0,0781, β = 0,3770) auf {7, …, 10} verkleinert (α = 0,0035, β = 0,8281). Was passiert?

● α sinkt, β steigt
○ α steigt, β sinkt
○ α und β sinken

Der kleinere Ablehnungsbereich macht den Fehler 1. Art seltener (α: 0,0781 → 0,0035), aber H₀ wird öfter beibehalten, obwohl H₁ gilt (β: 0,3770 → 0,8281). Beide Fehler zugleich zu verkleinern geht so nicht.

Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Das Bild zeigt α und β für Ablehnungsbereiche {k, …, 10} (p₀ = 0,25, p₁ = 0,5). Bei welchem k liegen α und β am nächsten beieinander?

● k = 4
○ k = 6
○ k = 8

Bei k = 4 ist α = 0,2241 und β = 0,1719, der Abstand ist am kleinsten. Bei k = 6 (α = 0,0197, β = 0,6230) und k = 8 liegen die Linien weit auseinander.

Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

Ida wählt statt α = 5 % nur α = 1 % (Ratetest, p₁ = 0,5, sonst alles gleich). Dann sinken beide Fehlerwahrscheinlichkeiten.

✓ Falsch

Bei α = 5 % ist der Bereich {6, …, 10} mit β = 0,6230, bei α = 1 % nur {7, …, 10} mit β = 0,8281. α sinkt, β steigt.

Mittel

Lückentext #1 20s ▶ Testen

Fehler 2. Art: H₀ wird ___, obwohl H₁ gilt (abgelehnt oder beibehalten).

✓ Antwort: beibehalten

Beim Fehler 2. Art bleibt die falsche Nullhypothese stehen: H₀ wird beibehalten, obwohl H₁ gilt.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Ratetest, Ablehnungsbereich {6, …, 10}, Alternative p₁ = 0,5. Aus der Tabelle: P(X ≥ 6) = 0,3770 bei p = 0,5. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 2. Art? (vier Dezimalen)

✓ Antwort: 0.623

β = P(X ≤ 5) = 1 − P(X ≥ 6) = 1 − 0,3770 = 0,6230. Obwohl die Schülerin etwa jede zweite Antwort weiß, übersieht der Test das mit etwa 62 %.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Ratetest, Ablehnungsbereich {7, …, 10}, p₁ = 0,5. Aus der Tabelle: P(X ≥ 7) = 0,1719 bei p = 0,5. Wie groß ist β? (vier Dezimalen)

✓ Antwort: 0.8281

β = 1 − P(X ≥ 7) = 1 − 0,1719 = 0,8281. Der strengere Test übersieht die Alternative in etwa 83 % der Fälle.

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Fünf Testausgänge: (A) Mira hat geraten, H₀ wird abgelehnt. (B) Lena hat gelernt, H₀ wird abgelehnt. (C) Tim hat geraten, H₀ wird beibehalten. (D) Nia hat gelernt, H₀ wird beibehalten. (E) Jo hat gelernt, H₀ wird beibehalten. Bei wie vielen liegt ein Fehler 2. Art vor?

✓ Antwort: 2

Ein Fehler 2. Art braucht ein falsches H₀ (gelernt) und das Beibehalten: D und E. A ist ein Fehler 1. Art, B und C sind richtig.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Ratetest, Ablehnungsbereich {6, …, 10}, Alternative p₁ = 0,75. Aus der Tabelle: P(X ≥ 6) = 0,9219 bei p = 0,75. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 2. Art? (vier Dezimalen)

✓ Antwort: 0.0781

β = 1 − P(X ≥ 6) = 1 − 0,9219 = 0,0781: Wer 75 % der Antworten weiß, wird selten übersehen.

KI-bewertete Rechnung #3 240s ▶ Testen

Ratetest mit n = 10, H₀: p ≤ 0,25, Ablehnungsbereich {6, …, 10}. Eine Schülerin weiß tatsächlich 60 % der Antworten (p₁ = 0,6). Gegeben: P(X = 6) = 0,25082, P(X = 7) = 0,21499, P(X = 8) = 0,12093, P(X = 9) = 0,04031, P(X = 10) = 0,00605. Berechne die Wahrscheinlichkeit des Fehlers 2. Art für p₁ = 0,6 und erkläre in einem Satz, warum du dabei mit p = 0,6 und nicht mit p = 0,25 rechnest. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Fehler 2. Art: H₁ gilt (p = 0,6), aber X liegt im Annahmebereich {0, …, 5}. P(X ≥ 6) = 0,25082 + 0,21499 + 0,12093 + 0,04031 + 0,00605 = 0,63310. β = 1 − 0,6331 = 0,3669. Mit p = 0,6 wird gerechnet, weil der Fehler 2. Art nur unter der Alternative auftritt; mit p = 0,25 rechnet man den Fehler 1. Art.

Der Fehler 2. Art tritt unter der Alternative auf, deshalb wird mit p₁ = 0,6 gerechnet: β = 1 − P(X ≥ 6) ≈ 0,3669.

Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

β steigt beim Verkleinern des Ablehnungsbereichs von {5, …, 10} auf {7, …, 10} von 0,3770 auf 0,8281. Um wie viel wächst β? (vier Dezimalen)

✓ Antwort: 0.4511

0,8281 − 0,3770 = 0,4511 (ungerundet 0,4512). Der Preis für α von 0,0781 auf 0,0035 ist ein um etwa 0,45 größeres β.