Was „signifikant“ bedeutet

What "significant" means

Mathematik Klasse 12 17 Aufgaben

WahrscheinlichkeitHypothesentestSignifikanztestBinomialverteilung

Ein Ergebnis ist signifikant zum Niveau α, wenn es im Ablehnungsbereich liegt; das sagt nichts über die Größe des Unterschieds und hängt vom Niveau ab. Der Test sagt nichts über die Wahrscheinlichkeit von H₀: α ist eine Wahrscheinlichkeit unter H₀, keine für H₀, und Nichtablehnen beweist H₀ nicht. Umfrageergebnisse werden entsprechend formuliert. Räumt aus, α als P(H₀) zu lesen oder „signifikant“ mit „wichtig“ und „nicht signifikant“ mit „bewiesen unverändert“ gleichzusetzen. Bereitet die Testverfahren der Jahrgangsstufe 13 vor.

Signifikant heißt: im Ablehnungsbereich

Ein Ergebnis heißt signifikant zum Niveau α, wenn es im Ablehnungsbereich zu diesem Niveau liegt. Mehr steckt nicht dahinter. „Signifikant“ sagt nicht, dass ein Unterschied groß oder wichtig ist: Bei $n = 10000$ ist schon eine Trefferquote von 25,8 % zum Niveau 5 % signifikant über $p_{0} = 0, 25$ . Und es hängt vom Niveau ab: Miras 6 Treffer sind zum Niveau 5 % signifikant, zum Niveau 1 % (Bereich ${7, \dots, 10}$ ) nicht.

Schiebe das Ergebnis x. Ab welchem x wechselt die Beschriftung?

Was der Test nicht sagt

Der Test rechnet unter der Annahme H₀. Er sagt: Wäre Mira nur am Raten, hätte ein Ergebnis wie ihres die Wahrscheinlichkeit 0,0197. Er sagt nicht, mit welcher Wahrscheinlichkeit Mira geraten hat. Die Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses unter H₀ ist etwas anderes als die Wahrscheinlichkeit von H₀ unter dem Ergebnis. Auch α ist eine Wahrscheinlichkeit unter H₀, nämlich H₀ fälschlich abzulehnen, und nicht die von H₀. Und wer H₀ nicht ablehnt, hat H₀ nicht bewiesen: Bens 5 Treffer zeigen nur, dass die Daten nicht ausreichen.

Von 100 Ratenden landen im Mittel etwa 2 im Ablehnungsbereich. Das ist α, nicht die Wahrscheinlichkeit, mit der jemand im Ablehnungsbereich geraten hat.

Umfragen im Sachzusammenhang

Bei der letzten Wahl bekam Partei X 40 %. Eine Umfrage unter 100 Personen ergibt 30 Nennungen. Getestet wird $H_{0} : p \geq 0, 4$ gegen $H_{1} : p < 0, 4$ zum Niveau 5 %. Der Ablehnungsbereich ist ${0, \dots, 31}$ , das Ergebnis ist signifikant. Im Bericht darf stehen: „Der Rückgang ist zum Niveau 5 % signifikant.“ Nicht stehen darf: „Mit 95 % Wahrscheinlichkeit hat X Stimmen verloren.“ Bei 32 Nennungen wäre das Ergebnis nicht signifikant, aber auch ein unveränderter Anteil wäre nicht bewiesen.

Schiebe x, die Zahl der Befragten für die Partei (von 100). Bei welchen Werten ist die Umfrage zum Niveau 5 % signifikant, bei welchen auch zum Niveau 1 %?

Voraussetzungen (2)

Der linksseitige Test

Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Ratetest: Der Ablehnungsbereich ist {6, …, 10} zum Niveau 5 % und {7, …, 10} zum Niveau 1 %. Tom hat 7 richtige Antworten. Welche Aussage passt?

● signifikant zu beiden Niveaus
○ signifikant nur zum Niveau 5 %
○ zu keinem der beiden Niveaus signifikant

Signifikant heißt: im Ablehnungsbereich. 7 liegt in {6, …, 10} und in {7, …, 10}, also zu beiden Niveaus. Bei 6 Treffern wäre es nur das 5-%-Niveau gewesen: Ob ein Ergebnis signifikant ist, hängt vom gewählten Niveau ab.

Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Bei n = 10 000 und p₀ = 0,25 ist eine Trefferquote von 25,8 % (2580 Treffer) zum Niveau 5 % signifikant, obwohl sie nur 0,8 Prozentpunkte über p₀ liegt.

✓ Wahr

Bei sehr großem n streuen die Ergebnisse wenig: P(X ≥ 2580) ≈ 0,0335 liegt unter 0,05, das Ergebnis liegt im Ablehnungsbereich. „Signifikant“ heißt nicht, dass der Unterschied groß oder wichtig ist.

Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Leas 7 richtige Antworten liegen im Ablehnungsbereich (n = 10, p₀ = 0,25). Welche Aussage über Lea ist richtig?

● Beim reinen Raten hätte ein so gutes Ergebnis die Wahrscheinlichkeit 0,0035.
○ Lea hat mit der Wahrscheinlichkeit 0,0035 nur geraten, sonst hat sie gelernt.
○ Lea hat mit der Wahrscheinlichkeit 0,9965 gelernt, sonst hat sie nur geraten.

Der Test rechnet unter der Annahme H₀: P(Ergebnis | nur geraten) = 0,0035. Über P(nur geraten | Ergebnis) sagt er nichts. Die beiden anderen Aussagen drehen die Bedingung um.

Wahr / Falsch #4 15s ▶ Testen

Etwa 2 von 100 Ratenden landen im Ablehnungsbereich (eingefärbt). Daraus folgt: Von 100 Personen im Ablehnungsbereich haben etwa 2 nur geraten.

✓ Falsch

Das Bild zeigt 100 Ratende, von denen 2 im Ablehnungsbereich landen: Das ist α. Wie viele der Personen im Ablehnungsbereich tatsächlich geraten haben, hängt davon ab, wie viele überhaupt raten und wie viele gelernt haben. Die Richtung lässt sich nicht umkehren.

Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Paul erreicht beim Ratetest 4 Treffer (Ablehnungsbereich {6, …, 10}). Welche Folgerung ist zulässig?

● Die Daten reichen nicht aus, um „nur geraten“ abzulehnen.
○ Paul hat nur geraten.
○ Paul hat gelernt, aber Pech gehabt.

Nicht abgelehnt heißt: Das Ergebnis spricht nicht stark genug gegen H₀. Es beweist weder „nur geraten“ noch das Gegenteil.

Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Ein Test mit 10 Fragen lehnt „nur geraten“ nicht ab. Damit ist bewiesen, dass die Schülerin nur geraten hat.

✓ Falsch

Ein Test kann H₀ nur ablehnen, nie beweisen. Bei nur 10 Fragen bleibt sogar ein echter Wissensvorsprung leicht unentdeckt (β = 0,6230 bei p₁ = 0,5).

Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Bei der letzten Wahl erhielt die Partei Y 25 %. In einer Umfrage (n = 100) nennen 16 Befragte Y; H₀: p ≥ 0,25 wird zum Niveau 5 % abgelehnt (Ablehnungsbereich {0, …, 17}). Welche Formulierung im Bericht ist richtig?

● Der Rückgang gegenüber der Wahl ist zum Niveau 5 % signifikant.
○ Mit 95 % Wahrscheinlichkeit hat die Partei Y Stimmen verloren.
○ Die Wahrscheinlichkeit, dass sich nichts geändert hat, beträgt 5 %.

Der Test liefert eine Entscheidung zum Niveau 5 %. Er sagt nicht, mit welcher Wahrscheinlichkeit H₀ oder H₁ gilt. Die beiden anderen Sätze machen aus α eine Wahrscheinlichkeit für H₀ oder H₁.

Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Das Bild zeigt den Ablehnungsbereich {0, …, 31} (H₀: p ≥ 0,4, n = 100, Niveau 5 %). In einer Umfrage nennen 33 Befragte die Partei. Welche Aussage passt?

● Der Rückgang ist zum Niveau 5 % nicht signifikant.
○ Der Rückgang ist zum Niveau 5 % signifikant.
○ Der Anteil der Partei ist nicht gesunken.

33 liegt nicht im eingefärbten Bereich {0, …, 31}. Der Rückgang ist nicht signifikant. Das heißt nicht, dass der Anteil gleich geblieben ist: Nicht signifikant ist kein Beweis für „unverändert“.

Mittel

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Der Ablehnungsbereich zum Niveau 1 % ist {7, …, 10}. Ab wie vielen Treffern ist ein Ergebnis zum Niveau 1 % signifikant?

✓ Antwort: 7

Signifikant ist ein Ergebnis genau dann, wenn es im Ablehnungsbereich liegt, hier ab 7 Treffern.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Ein Test (n = 20, p₀ = 0,25) hat den Ablehnungsbereich {9, …, 20} mit der Wahrscheinlichkeit 0,0409 unter H₀. Von 200 reinen Ratenden liegen im Mittel wie viele im Ablehnungsbereich?

✓ Antwort: 8.2

200 · 0,0409 ≈ 8,2, also etwa 8. Das ist eine Aussage über Ratende, nicht über die Personen im Ablehnungsbereich.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Ratetest, Ablehnungsbereich {6, …, 10}, die Schülerin weiß etwa jede zweite Antwort (p = 0,5). P(X ≥ 6) = 0,3770. Mit welcher Wahrscheinlichkeit bleibt H₀ trotzdem unabgelehnt? (vier Dezimalen)

✓ Antwort: 0.623

1 − 0,3770 = 0,6230: In etwa 62 % der Fälle reicht das Ergebnis nicht, obwohl H₀ falsch ist.

Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Eine Partei will belegen, dass sie über der 5-%-Hürde liegt (n = 200, H₀: p ≤ 0,05, α = 5 %). Aus der Tabelle: P(X ≤ 14) = 0,9219, P(X ≤ 15) = 0,9556, P(X ≤ 16) = 0,9762. Ab wie vielen Befragten für die Partei ist das Ergebnis signifikant?

✓ Antwort: 16

P(X ≥ 15) = 1 − 0,9219 = 0,0781 ist zu groß, P(X ≥ 16) = 1 − 0,9556 = 0,0444 ≤ 0,05. Ab 16 Befragten ist das Ergebnis signifikant.

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Umfrage (n = 100, p₀ = 0,4, H₁: p < 0,4), Ablehnungsbereich zum Niveau 5 %: {0, …, 31}. Fünf Institute melden 27, 29, 30, 32 und 35 Befragte für die Partei. Wie viele dieser Ergebnisse sind zum Niveau 5 % signifikant?

✓ Antwort: 3

27, 29 und 30 liegen in {0, …, 31}, 32 und 35 nicht. Es sind 3 signifikante Ergebnisse.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Ein Institut prüft 400 Behauptungen, bei denen H₀ jeweils gilt. Jeder Test lehnt H₀ mit der Wahrscheinlichkeit 0,05 ab. Wie viele Behauptungen werden im Mittel fälschlich als „signifikant“ gemeldet?

✓ Antwort: 20

400 · 0,05 = 20. Auch ohne echten Effekt liefern 5 % aller Tests ein signifikantes Ergebnis.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Mit n = 20 Fragen (Ablehnungsbereich {9, …, 20}) gilt für p = 0,5: β = 0,2517. Bei 100 Schülerinnen, die wirklich p = 0,5 haben, bleiben im Mittel wie viele unentdeckt?

✓ Antwort: 25.2

100 · 0,2517 ≈ 25,2, also etwa 25. Mit n = 10 wären es etwa 62: Mehr Fragen machen den Test trennschärfer.

Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Umfrage: n = 100, p₀ = 0,25, Ablehnungsbereich zum Niveau 5 % {0, …, 17}. Der Erwartungswert unter H₀ ist 25. Um wie viele Befragte muss das Ergebnis mindestens unter 25 liegen, damit es signifikant ist?

✓ Antwort: 8

17 ist der größte signifikante Wert: 25 − 17 = 8. Eine Abweichung um 8 Befragte (8 Prozentpunkte) ist nötig, weil die Stichprobe zufällig streut.

KI-bewertete Rechnung #5 240s ▶ Testen

Bei der letzten Wahl erhielt die Partei Y 25 %. Ein Institut befragt 100 Personen; 17 nennen Y. Getestet wird zum Niveau 5 % (H₀: p ≥ 0,25). Aus der Tabelle: P(X ≤ 16) = 0,0211, P(X ≤ 17) = 0,0376, P(X ≤ 18) = 0,0630. Formuliere H₁, bestimme den Ablehnungsbereich, entscheide und schreibe zwei Sätze für den Bericht: einen, den du sagen darfst, und einen, den du nicht sagen darfst, jeweils mit Begründung. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: H₁: p < 0,25. Größtes g mit P(X ≤ g) ≤ 0,05: P(X ≤ 17) = 0,0376 ≤ 0,05, P(X ≤ 18) = 0,0630 > 0,05, also {0, …, 17}. 17 liegt darin: H₀ wird abgelehnt. Erlaubt: „Der Rückgang ist zum Niveau 5 % signifikant.“ Nicht erlaubt: „Mit 95 % Wahrscheinlichkeit hat die Partei verloren“ oder „H₀ gilt mit 5 % Wahrscheinlichkeit“, denn α ist die Wahrscheinlichkeit für ein solches Ergebnis unter H₀, keine Wahrscheinlichkeit für H₀ oder H₁.

Der Test sagt: Unter H₀ wäre ein Ergebnis von höchstens 17 Befragten nur mit höchstens 5 % Wahrscheinlichkeit aufgetreten, also wird H₀ abgelehnt. Über die Wahrscheinlichkeit von H₀ oder H₁ sagt er nichts.