Vom Kreis zum Graphen
From circle to graph
Trägt man den Bogen x als Strecke ab und darüber die Höhe sin x, entsteht der Graph der Sinusfunktion: eine Welle mit Periode 2π, Werten zwischen −1 und 1, Nullstellen bei kπ und Extrema bei π/2 + kπ. Der Kosinusgraph ist derselbe Verlauf, um π/2 nach links verschoben: cos x = sin(x + π/2). Der Abschnitt räumt aus, den Graphen als Bild einer Bahn zu lesen statt als Zuordnung x ↦ sin x (Clement 1989). Er bereitet die Wirkung der Parameter a, b, c, d auf diesen Graphen vor.
Der Kreis wird ausgerollt
Wir tragen jeden Bogen
Sinus und Kosinus im Vergleich
Der Kosinus nimmt die x-Koordinate von P. Sein Graph beginnt deshalb bei
Voraussetzungen (1)
Ermöglicht (2)
Der Einheitskreis wird ausgerollt. Der Punkt P am Ende des Bogens π/2 wird zum Graphpunkt Q. Welche Koordinaten hat Q?
Der Punkt Q liegt auf dem Graphen von f(x) = sin x an der Stelle x = 2. Welche Höhe hat Q ungefähr?
Wie groß ist die kleinste positive Periode der Sinusfunktion?
Welche Werte nimmt f(x) = sin x an?
Es gilt sin(0,7 + 2π) = sin 0,7.
Welche der drei Zahlen ist eine Nullstelle von f(x) = sin x?
Welche x-Koordinate hat der markierte Hochpunkt H des Graphen von sin x?
Welcher Term beschreibt dieselbe Funktion wie cos x?
Der rot gestrichelte Graph ist sin x, der blaue ist cos x. Wie muss man den roten verschieben, damit er den blauen deckt?
Der Graph von f(x) = sin x hat an der Stelle x = 1,2 die Höhe ___ (auf zwei Dezimalstellen).
Wie groß ist sin(4π)?
Wie groß ist sin(3π/2), also der Wert im Tiefpunkt des ersten Wellentals?
Es gilt cos 0,3 = sin(0,3 + p) mit einer festen Zahl p. Wie groß ist p (auf zwei Dezimalstellen)?
Am Einheitskreis hat der Punkt P die Höhe 0,5 und gehört zum Bogen x = π/6. Wie weit rechts vom Ursprung liegt der zugehörige Graphpunkt Q (auf zwei Dezimalstellen)?
Wie viele Hochpunkte hat der Graph von f(x) = sin x im Intervall von 0 bis 10π?
Wie viele Nullstellen hat f(x) = sin x im Intervall von 0 bis 5π (Randpunkte eingeschlossen)?
Wie viele Schnittpunkte haben die Graphen von sin x und cos x im Intervall von 0 bis 2π?
Erkläre mit einer Skizze, wie aus dem Einheitskreis der Graph von f(x) = sin x entsteht: Was wird als x-Koordinate, was als Höhe abgetragen? Lies aus der Skizze die Nullstellen, den Hochpunkt und den Tiefpunkt im Intervall von 0 bis 2π ab und begründe die Periode 2π. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.