Flächeninhalt

Area

Mathematik Klasse 12 17 Aufgaben

GeometrieVektorenVektorproduktFlächeninhalt

Die Länge des Vektorprodukts ist der Flächeninhalt des von a und b aufgespannten Parallelogramms, A = |a × b| = |a|·|b|·sin φ; ein Dreieck ist die Hälfte, A = ½|AB × AC|. Die beiden Vektoren müssen am selben Eckpunkt beginnen. Der Abschnitt verbindet die Formel mit „Grundseite mal Höhe“ und mit ½·a·b·sin γ aus der Mittelstufe. Räumt aus, das Skalarprodukt oder |a|·|b| ohne Sinus zu nehmen, den Faktor ½ beim Dreieck zu vergessen und Ortsvektoren statt Seitenvektoren zu verwenden (Barniol & Zavala 2014). Bereitet das Spatvolumen und Körperberechnungen vor.

Parallelogramm und Sinus

Zwei Vektoren a und b spannen ein Parallelogramm auf. Sein Flächeninhalt ist die Länge des Vektorprodukts:

$A = ∣ a \times b ∣ = ∣ a ∣ ∣ b ∣ sin φ$

Für $a = (1; 1; 0)$ und $b = (0; 1; 2)$ ist $a \times b = (2; - 2; 1)$ und $∣ a \times b ∣ = 4 + 4 + 1 = 3$ . Der zweite Ausdruck erklärt die Formel: $h = ∣ b ∣ sin φ$ ist die Höhe über der Grundseite a, und $∣ a ∣ \cdot h$ ist „Grundseite mal Höhe“. Bei $φ = 90°$ ist die Fläche am größten, ein Rechteck mit $∣ a ∣ ∣ b ∣$ ; bei 0° oder 180° ist sie 0, die Vektoren sind parallel, wie bei $a \times b = o$ .

Verändere φ (|a| = 3, |b| = 2). Wann ist die Fläche am größten, und wann ist sie 0?

Das Dreieck

Ein Dreieck ist ein halbes Parallelogramm: $A = \frac{1}{2} ∣ A B \times A C ∣$ . Beide Vektoren müssen im selben Eckpunkt beginnen. Für $A (1 ∣ 0 ∣ 0)$ , $B (3 ∣ 1 ∣ 2)$ und $C (2 ∣ 3 ∣ 1)$ ist $A B = (2; 1; 2)$ , $A C = (1; 3; 1)$ und $A B \times A C = (- 5; 0; 5)$ . Die Länge ist $52$ , das Dreieck hat also $A = \frac{5}{2} 2 \approx 3, 54$ . Welche zwei der drei Seitenvektoren man nimmt, ist gleichgültig, solange sie sich in einem Eckpunkt treffen.

Verschiebe C. Wann ist die Dreiecksfläche 0, und was ist dann mit A, B und C?

Die Ortsvektoren OB und OC gehören dagegen zum Dreieck OBC, nicht zu ABC. Und es ist dieselbe Fläche wie in der Mittelstufe: $\frac{1}{2} ∣ a ∣ ∣ b ∣ sin γ$ – nur braucht das Vektorprodukt weder eine Höhe noch einen Winkel.

Voraussetzungen (1)

Das Vektorprodukt

Klasse 12

›

Ermöglicht (1)

Spat und Pyramide

Klasse 12

›

Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Die Vektoren a = (2; 1; 0) und b = (3; 1; 4) spannen ein Parallelogramm auf. Wie groß ist sein Flächeninhalt?

● 9
○ 7
○ 11,4

a × b = (4; −8; −1), |a × b| = √81 = 9. 7 ist das Skalarprodukt a·b, und 11,4 ist |a|·|b| ohne den Sinus.

Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Das Parallelogramm im Bild wird von a = (3; 1; 0) und b = (3; 3; 0) aufgespannt. Wie groß ist seine Fläche?

● 6
○ 12
○ 13,42

a × b = (0; 0; 3·3 − 1·3) = (0; 0; 6), Fläche 6. 12 ist a·b = 9 + 3, und 13,42 ist |a|·|b|.

Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Im Dreieck ABC ist AB = (2; 0; 0) und AC = (3; 3; 4). Wie groß ist sein Flächeninhalt?

● 5
○ 10
○ 3

AB × AC = (0; −8; 6), Länge 10. Das Dreieck ist das halbe Parallelogramm: 5. 10 vergisst den Faktor ½, 3 ist ½·AB·AC, also ein halbes Skalarprodukt.

Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Wie groß ist der Flächeninhalt des Dreiecks ABC mit A(0 | 0 | 0), B(2 | 4 | 0) und C(3 | 2 | 0)?

● 4
○ 8
○ 7

AB = (2; 4; 0), AC = (3; 2; 0): AB × AC = (0; 0; 4 − 12) = (0; 0; −8), Länge 8, das Dreieck hat 4. 8 ist das Parallelogramm (ohne ½), 7 ist ½·AB·AC, also das halbe Skalarprodukt.

Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Die Vektoren a und b haben die Längen 4 und 5 und schließen 30° ein. Wie lang ist a × b?

● 10
○ 20
○ 17,32

|a × b| = 4·5·sin 30° = 20·0,5 = 10. 20 lässt den Sinus weg, 17,32 nimmt den Kosinus (das wäre das Skalarprodukt).

Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Es ist |a| = 5, |b| = 6 und |a × b| = 15. Wie groß ist sin φ?

● 0,5
○ 2
○ 30

sin φ = |a × b| / (|a|·|b|) = 15/30 = 0,5. 2 kehrt den Bruch um (30/15), 30 ist das Produkt der Längen und damit der Nenner, nicht der Sinus.

Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Welche zwei Vektoren nimmst du für die Fläche des Dreiecks ABC?

● AB und AC
○ OB und OC
○ AB und BA

Beide Vektoren müssen im selben Eckpunkt beginnen: AB und AC. OB und OC (Ortsvektoren) gehören zum Dreieck OBC, und AB und BA sind parallel, ihr Vektorprodukt ist o.

Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Wie groß ist der Flächeninhalt des Dreiecks ABC mit A(0 | 0 | 0), B(1 | 3 | 4) und C(3 | 3 | 4)?

● 5
○ 10
○ 14,87

AB = (1; 3; 4), AC = (3; 3; 4): AB × AC = (0; 8; −6), Länge 10, Dreieck 5. 10 vergisst das ½, 14,87 ist ½·|AB|·|AC| ohne Sinus.

Mittel

Zahleneingabe #1 50s ▶ Testen

Berechne den Flächeninhalt des Parallelogramms, das von a = (1; 3; 4) und b = (2; 3; 4) aufgespannt wird.

✓ Antwort: 5

a × b = (3·4 − 4·3; 4·2 − 1·4; 1·3 − 3·2) = (0; 4; −3), |a × b| = √(16 + 9) = 5.

Zahleneingabe #2 60s ▶ Testen

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks ABC mit AB = (0; 3; 3) und AC = (4; 2; 0).

✓ Antwort: 9

AB × AC = (3·0 − 3·2; 3·4 − 0·0; 0·2 − 3·4) = (−6; 12; −12), Länge √(36 + 144 + 144) = 18, Dreieck: 18/2 = 9.

Lückentext #3 15s ▶ Testen

Für die Länge des Vektorprodukts gilt |a × b| = |a|·|b|·___ φ (sin oder cos).

✓ Antwort: sin

Das Vektorprodukt misst die Fläche (Grundseite mal Höhe, h = |b|·sin φ); der Kosinus gehört zum Skalarprodukt.

Zahleneingabe #4 70s ▶ Testen

Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks A(1 | 0 | 0), B(3 | 1 | 2), C(2 | 3 | 1) auf 0,01 genau.

✓ Antwort: 3.54

AB = (2; 1; 2), AC = (1; 3; 1): AB × AC = (1·1 − 2·3; 2·1 − 2·1; 2·3 − 1·1) = (−5; 0; 5), Länge 5·√2 ≈ 7,07, Fläche ≈ 3,54.

Schwer

Zahleneingabe #1 70s ▶ Testen

Im Parallelogramm ABCD ist AB = (3; 0; 0) und AD = (1; 2; 2). Wie lang ist die Höhe auf der Seite AB (auf 0,01 genau)?

✓ Antwort: 2.83

Fläche = |AB × AD| = |(0; −6; 6)| = 6·√2 ≈ 8,49. Fläche = Grundseite · Höhe, also h = 8,49/3 ≈ 2,83.

Zahleneingabe #2 60s ▶ Testen

Ein dreieckiges Segel hat die Seitenvektoren AB = (4; 0; 2) und AC = (4; 3; 1) (Einheit: 1 m). Wie viele Quadratmeter Stoff braucht man?

✓ Antwort: 7

AB × AC = (0·1 − 2·3; 2·4 − 4·1; 4·3 − 0·4) = (−6; 4; 12), Länge √(36 + 16 + 144) = 14. Das Segel ist das halbe Parallelogramm: 7 m².

Zahleneingabe #3 50s ▶ Testen

Ein Dreieck hat die Seitenvektoren a und b mit den Längen 7 und 4, die einen Winkel von 150° einschließen. Berechne seinen Flächeninhalt.

✓ Antwort: 7

A = ½·|a × b| = ½·7·4·sin 150° = 14·0,5 = 7. Das ist die Formel ½·a·b·sin γ der Mittelstufe.

Zahleneingabe #4 60s ▶ Testen

Eine Zeltseite hat die Ecken A(0 | 0 | 0), B(0 | 4 | 0) und S(2 | 2 | 2) (Einheit: 1 m). Wie viele Quadratmeter Stoff braucht sie (auf 0,1 m² genau)?

✓ Antwort: 5.7

AB = (0; 4; 0), AS = (2; 2; 2): AB × AS = (4·2 − 0·2; 0·2 − 0·2; 0·2 − 4·2) = (8; 0; −8), Länge 8·√2 ≈ 11,31, Fläche ≈ 5,66 ≈ 5,7 m².

KI-bewertete Rechnung #5 240s ▶ Testen

Berechne die Fläche des Dreiecks A(0 | 0 | 0), B(6 | 0 | 0), C(2 | 3 | 4) auf zwei Wegen: (1) mit dem Vektorprodukt, (2) mit „½ · Grundseite · Höhe“, wobei die Höhe der Abstand von C zur x₁-Achse ist. Vergleiche die Ergebnisse. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Weg 1: AB = (6; 0; 0), AC = (2; 3; 4), AB × AC = (0·4 − 0·3; 0·2 − 6·4; 6·3 − 0·2) = (0; −24; 18), |AB × AC| = √(576 + 324) = 30, A = ½·30 = 15. Weg 2: Die Grundseite AB liegt auf der x₁-Achse, der Abstand von C(2 | 3 | 4) zu ihr ist h = √(3² + 4²) = 5, also A = ½·6·5 = 15. Beide Wege liefern 15; das Vektorprodukt braucht keine Höhe.

Das Vektorprodukt ersetzt das Bestimmen einer Höhe: |AB × AC| ist das Parallelogramm, das Dreieck davon die Hälfte. Beide Wege ergeben 15.