Das Baumdiagramm

The tree diagram

Mathematik Klasse 5 20 Aufgaben
ArithmetikBaumdiagrammeZählprinzip

Ein Baumdiagramm zeigt alle Möglichkeiten einer Auswahl in Stufen: Jede Entscheidung ist eine Stufe, jeder Pfad von der Wurzel bis zu einem Blatt eine Möglichkeit, und gezählt werden die Blätter (Krüger, Sill und Sikora 2015). Der Abschnitt zeichnet Bäume Stufe für Stufe, damit nichts fehlt und nichts doppelt vorkommt. Er räumt das Zählen der Äste statt der Blätter, das Addieren der Astzahlen und unvollständige Listen aus. Er bereitet das Zählprinzip als Abkürzung und später Wahrscheinlichkeiten am Baum vor.

Die Kantine bietet 2 Vorspeisen (Suppe, Salat) und 3 Hauptgerichte (Nudeln, Pizza, Fisch) an. Wie viele verschiedene Menüs sind möglich? Ein Baumdiagramm zeigt alle Möglichkeiten. Jede Entscheidung ist eine Stufe: Zuerst die Vorspeise, dann an jedem Ast das Hauptgericht. Ein Pfad von der Wurzel bis zu einem Blatt ist genau ein Menü, zum Beispiel Suppe – Pizza.

Baumdiagramm, 2 Stufen, 6 Pfade: Suppe → [Nudeln, Pizza, Fisch], Salat → [Nudeln, Pizza, Fisch]Vorspeise Hauptgericht Start Suppe Nudeln Pizza Fisch Salat Nudeln Pizza Fisch
Die 6 Blätter am rechten Rand sind die 6 Menüs, nicht die Äste.

Gezählt werden die Blätter, nicht die Äste. Zeichne den Baum Stufe für Stufe: Von jedem Knoten gehen alle Möglichkeiten der nächsten Stufe aus. Dann fehlt nichts, und nichts kommt doppelt vor. Beim Aufschreiben hilft eine feste Reihenfolge: erst alle Menüs mit Suppe, dann alle mit Salat. Statt der Wörter genügen Kürzel wie S und A.

Verändere die Zahl der Äste in beiden Stufen. Wie viele Blätter hat der Baum bei 2 und 4 Ästen?

Ermöglicht (1)

Das Zählprinzip
Klasse 5
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Leicht
Multiple Choice #1 20s â–¶ Testen

Ein Eisbecher besteht aus einer Sorte (Vanille V oder Schoko S) und einer Soße (Karamell K, Erdbeer E, Minze M oder Nuss N). Das Baumdiagramm zeigt die Möglichkeiten. Wie viele verschiedene Eisbecher gibt es?

  • â—Ź 8
  • â—‹ 10
  • â—‹ 6
Jeder Pfad von der Wurzel bis zu einem Blatt ist ein Eisbecher: VK, VE, VM, VN, SK, SE, SM, SN. Das sind 8 Blätter. 10 zählt auch die 2 Äste der ersten Stufe mit, und 6 ist die Summe 2 + 4 der Astzahlen.
Wahr / Falsch #2 15s â–¶ Testen

Im Baumdiagramm ist der Pfad V – M ein möglicher Eisbecher: Vanille mit Minze.

âś“ Wahr
Der Pfad geht von der Wurzel ĂĽber den Ast V zum Blatt M. Jeder solche Pfad beschreibt genau einen Eisbecher.
Multiple Choice #3 20s â–¶ Testen

Erst wird ein WĂĽrfel mit den Augen 1, 2 und 3 geworfen, dann eine Karte (rot oder blau) gezogen. Wie viele Ă„ste gehen im Baumdiagramm von der Wurzel aus?

  • â—Ź 3
  • â—‹ 2
  • â—‹ 6
Die erste Stufe ist der Wurf mit den Ergebnissen 1, 2 und 3. Deshalb gehen 3 Äste von der Wurzel aus. Die Karten (2 Äste) hängen erst an der zweiten Stufe, und 6 ist die Zahl aller Blätter.
Multiple Choice #4 20s â–¶ Testen

Was beschreibt die zweite Stufe im Eis-Baumdiagramm?

  • â—Ź die SoĂźe
  • â—‹ die Sorte
  • â—‹ die Zahl der Eisbecher
Von der Wurzel aus werden zuerst die Sorten gewählt (erste Stufe), dann an jedem Ast die Soße (zweite Stufe). Die Zahl der Eisbecher steht erst an den Blättern.
Wahr / Falsch #5 15s â–¶ Testen

Erst wird eine MĂĽnze geworfen, dann ein WĂĽrfel. Im Baumdiagramm ist die MĂĽnzstufe schon gezeichnet. Von Kopf und von Zahl gehen dann jeweils sechs Ă„ste zur WĂĽrfelstufe aus.

âś“ Wahr
Der WĂĽrfel hat sechs Ergebnisse, und die zweite Stufe beschreibt den WĂĽrfelwurf. Bei jeder MĂĽnzseite beginnt deshalb ein BĂĽndel von 6 Ă„sten.
Multiple Choice #6 20s â–¶ Testen

Aus den Ziffernkarten 1, 2 und 3 werden zweistellige Zahlen gelegt, jede Karte höchstens einmal. Welche Liste ist vollständig und hat keine Doppelten?

  • â—Ź 12, 13, 21, 23, 31, 32
  • â—‹ 12, 13, 23
  • â—‹ 11, 12, 13, 21, 22, 23, 31, 32, 33
Beginnt man mit 1, gibt es 12 und 13, beginnt man mit 2, gibt es 21 und 23, beginnt man mit 3, gibt es 31 und 32. Bei 12, 13, 23 fehlen die Zahlen mit vertauschten Ziffern, bei der langen Liste kommt eine Karte doppelt vor.
Wahr / Falsch #7 15s â–¶ Testen

Für ein Trikot (Rot R oder Blau B) und eine Hose (Schwarz S, Weiß W oder Gelb G) ist die Liste RS, RW, BS, BW vollständig.

âś“ Falsch
Zu jeder Trikotfarbe gehören alle 3 Hosen: RS, RW, RG, BS, BW und BG. In der Liste fehlen RG und BG, weil die dritte Hose vergessen wurde.
Mittel
Zahleneingabe #1 20s â–¶ Testen

Wie viele Pfade im Eis-Baumdiagramm beginnen mit dem Ast V (Vanille)?

âś“ Antwort: 4
An V hängen die vier Soßen K, E, M und N. Es gibt die Pfade VK, VE, VM und VN, also 4.
LĂĽckentext #2 20s â–¶ Testen

Trikot in 3 Farben, danach Hose in 2 Farben: In der ersten Stufe des Baums gehen ___ Ă„ste von der Wurzel aus.

âś“ Antwort: 3
Die Entscheidung, die zuerst kommt, bildet die erste Stufe: 3 Trikotfarben, also 3 Äste. Die Hosen (2 Äste) hängen an jedem dieser Äste.
LĂĽckentext #3 20s â–¶ Testen

Alle Möglichkeiten für Trikot (R, B) und Hose (S, W, G): RS, RW, RG, BS, BW, ___

âś“ Antwort: BG
Zu jedem Trikot gehören alle 3 Hosen. Bei R stehen RS, RW und RG in der Liste, bei B schon BS und BW. Es fehlt BG.
Zahleneingabe #4 20s â–¶ Testen

Ein Baumdiagramm hat 9 Äste: 3 gehen von der Wurzel aus, an jedem davon hängen 2 weitere. Wie viele Möglichkeiten zeigt es?

âś“ Antwort: 6
Gezählt werden die Blätter, nicht die Äste. An jedem der 3 ersten Äste hängen 2 Blätter, also 3 · 2 = 6 Pfade. Die 9 zählt auch die 3 Äste der ersten Stufe mit.
LĂĽckentext #5 20s â–¶ Testen

Erst wird ein Würfel (1 bis 6) geworfen, dann eine Münze. An jedem Ast der ersten Stufe hängen ___ Äste.

âś“ Antwort: 2
Die erste Stufe ist der Würfel mit 6 Ästen. Die Münze bildet die zweite Stufe: An jedem der 6 Äste hängen 2 Äste, Kopf und Zahl.
LĂĽckentext #6 20s â–¶ Testen

Zweistellige Zahlen aus den Ziffernkarten 2, 5 und 8, jede Karte höchstens einmal: 25, 28, 52, 58, 82, ___

âś“ Antwort: 85
Mit 2 vorne: 25, 28. Mit 5 vorne: 52, 58. Mit 8 vorne: 82 und 85. Es fehlt 85.
Schwer
Zahleneingabe #1 30s â–¶ Testen

Ein Spiel: Zuerst wird eine Farbe gewählt (3 Farben), danach eine Zahl (4 Zahlen). Wie viele Blätter hat das Baumdiagramm?

âś“ Antwort: 12
An jedem der 3 Farb-Äste hängen 4 Zahl-Äste. Zählt man die Blätter, sind es 4 + 4 + 4 = 12.
Zahleneingabe #2 30s â–¶ Testen

Von Ort A nach Ort B führen 4 Wege, von B nach C führen 3 Wege. Wie viele Pfade hat das zugehörige Baumdiagramm?

âś“ Antwort: 12
Erste Stufe: 4 Wege von A nach B. An jedem hängen 3 Wege von B nach C. Das sind 4 · 3 = 12 Blätter, also 12 verschiedene Strecken von A nach C.
Zahleneingabe #3 45s â–¶ Testen

Aus den Ziffernkarten 4, 5, 6 und 7 werden zweistellige Zahlen gelegt, jede Karte höchstens einmal. Wie viele verschiedene Zahlen sind möglich?

âś“ Antwort: 12
Zeichne den Baum: 4 Äste für die erste Ziffer, an jedem noch 3 Äste für die zweite. Das sind 4 + 4 + 4 + 4 = 12 Blätter: 45, 46, 47, 54, 56, 57, 64, 65, 67, 74, 75, 76.
KI-bewertete Rechnung #4 240s â–¶ Testen

In der Pause kann man ein Getränk (Wasser, Saft oder Tee) und einen Snack (Apfel oder Brezel) wählen. Zeichne ein Baumdiagramm mit allen Möglichkeiten, beschrifte die Stufen und gib an, wie viele Möglichkeiten es gibt. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Wurzel; erste Stufe: 3 Äste Wasser, Saft, Tee; zweite Stufe: an jedem Ast 2 Äste Apfel, Brezel. Blätter: Wasser-Apfel, Wasser-Brezel, Saft-Apfel, Saft-Brezel, Tee-Apfel, Tee-Brezel, also 6 Möglichkeiten (3 · 2).
Jeder der 3 Getränke-Äste bekommt beide Snack-Äste. Die 6 Blätter sind die 6 Möglichkeiten.
Zahleneingabe #5 30s â–¶ Testen

Bei einer Pizza wählt man den Teig (dünn oder dick), einen Belag (Salami, Pilze oder Thunfisch) und die Größe (klein oder groß). Wie viele verschiedene Pizzas gibt es?

âś“ Antwort: 12
Der Baum hat drei Stufen: 2 Teig-Äste, an jedem 3 Belag-Äste, an jedem davon 2 Größen-Äste. Das sind 2 · 3 · 2 = 12 Blätter, also 12 Pizzas.
Zahleneingabe #6 30s â–¶ Testen

Zu einem Menü wählt man nacheinander eine Vorspeise (2 Sorten), ein Hauptgericht (4 Sorten) und einen Nachtisch (3 Sorten). Wie viele Äste hat die zweite Stufe des Baumdiagramms insgesamt?

âś“ Antwort: 8
Die erste Stufe hat 2 Äste (Vorspeisen). An jedem hängen 4 Hauptgericht-Äste, also hat die zweite Stufe 2 · 4 = 8 Äste. Die Nachtische kommen erst in der dritten Stufe dazu.
Zahleneingabe #7 30s â–¶ Testen

Ali, Bea und Can stellen sich nebeneinander fĂĽr ein Foto auf. Wie viele verschiedene Reihenfolgen gibt es?

âś“ Antwort: 6
Baum: 3 Äste für den ersten Platz, an jedem 2 für den zweiten, dann bleibt für den dritten nur 1. Das sind 3 · 2 · 1 = 6 Reihenfolgen: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.