Das Zählprinzip
The counting principle
Das Zählprinzip macht aus dem Zählen der Blätter eine Rechnung: Wer nacheinander in Stufen wählt, multipliziert die Zahl der Möglichkeiten jeder Stufe, 3 · 4 = 12 oder 10 · 10 · 10 = 1000. Der Abschnitt zeigt, dass die Zahl bei „ohne Zurücklegen“ von Stufe zu Stufe sinkt (3 · 2 · 1) und dass „entweder – oder“ nicht multipliziert, sondern addiert wird (Batanero, Navarro-Pelayo und Godino 1997: Schwierigkeit hängt vom Auswahlmodell ab). Er räumt das Addieren der Stufen, gleiche Astzahlen trotz Wegfall und das Multiplizieren bei „oder“ aus. Er bereitet Wahrscheinlichkeiten und Kombinatorik vor.
Multiplizieren statt Zeichnen
Im Baumdiagramm hängen an jedem der
Wann darf man multiplizieren?
Das Zählprinzip passt, wenn die Entscheidungen nacheinander fallen. Es kann sich aber ändern, wie viele Möglichkeiten eine Stufe hat: Drei Kinder A, B und C setzen sich nacheinander auf drei Stühle. Das erste hat 3 Stühle zur Wahl, das zweite noch 2, das dritte nur noch 1. Das sind
Bei „entweder – oder“ wird dagegen nicht multipliziert. Wählt ein Kind einen von 3 Säften oder einen von 2 Tees, sind es
Voraussetzungen (1)
Ermöglicht (1)
Ein Verein hat 6 Trikotfarben und 3 Hosenfarben. Jede Zeile der Tabelle ist eine Hose, jede Spalte ein Trikot. Es kommt eine vierte Hosenfarbe dazu. Wie viele verschiedene Kombinationen aus Trikot und Hose gibt es jetzt?
Bei 4 Vorspeisen und 5 Nachspeisen gibt es 9 verschiedene Menüs aus je einer Vorspeise und einer Nachspeise.
Ein Fahrradschloss hat 4 Rädchen mit den Ziffern 0 bis 9. Wie viele verschiedene Einstellungen gibt es?
Ein Passwort aus 3 Buchstaben (A bis Z) kann auf 26 · 26 · 26 Arten gewählt werden.
Vier Kinder setzen sich nacheinander auf vier Stühle nebeneinander. Wie viele verschiedene Sitzordnungen gibt es?
Drei Kinder A, B und C setzen sich nacheinander auf drei Stühle. Im Baumdiagramm ist erst die Stufe des ersten Stuhls gezeichnet. Wie viele Äste gehen von A zum zweiten Stuhl aus?
Aus 10 Karten werden nacheinander 3 gezogen und nicht zurückgelegt. Dafür gibt es 10 · 10 · 10 Möglichkeiten.
Ein Kind wählt genau ein Getränk: entweder einen von 5 Säften oder einen von 4 Tees. Wie viele Möglichkeiten gibt es?
Aus einer Urne mit 4 roten und 6 blauen Kugeln wird eine Kugel gezogen. Es gibt 4 + 6 = 10 Möglichkeiten.
In einer Eiswaffel werden 3 Kugeln übereinander gestapelt, jede in einer von 5 Sorten. Kommt eine vierte Kugel obendrauf, gibt es genau 5 Möglichkeiten mehr.
Ein Herr hat 7 Hemden und 3 Krawatten. Wie viele verschiedene Kombinationen aus Hemd und Krawatte kann er tragen?
Eine Münze wird 4-mal hintereinander geworfen. Jeder Wurf hat 2 Ergebnisse (Kopf oder Zahl). Wie viele verschiedene Folgen gibt es?
Aus 6 Läufern werden Gold, Silber und Bronze vergeben. Es gibt 6 · 5 · ___ Möglichkeiten.
Ein Kind wählt entweder einen von 6 Kuchen oder eine von 2 Eissorten. Wie viele Möglichkeiten gibt es?
Ein Passwort besteht aus einem Buchstaben (26 Möglichkeiten) und danach einer Ziffer (10 Möglichkeiten). Wie viele Passwörter gibt es?
Ein Menü besteht aus einer Vorspeise (5 zur Auswahl), einem Hauptgericht (8 zur Auswahl) und einer Nachspeise (4 zur Auswahl). Wie viele verschiedene Menüs gibt es?
Ein Passwort besteht aus 2 Buchstaben (A bis Z) und danach 3 Ziffern (0 bis 9). Beschreibe die Stufen, wie ein Baumdiagramm aussehen würde, und berechne mit dem Zählprinzip, wie viele Passwörter es gibt. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
In einer Klasse mit 25 Kindern werden ein Klassensprecher und danach ein Stellvertreter gewählt. Niemand darf beide Ämter haben. Wie viele Möglichkeiten gibt es?
Zum Bahnhof fährt man entweder mit dem Bus (2 Linien) oder mit dem Zug (3 Verbindungen). Von dort geht man auf einem von 4 Wegen zum Museum. Wie viele Möglichkeiten gibt es insgesamt?
Welches Signal hat mehr verschiedene Möglichkeiten?