Teilbarkeit durch 3 und 6

Divisibility by 3 and 6

Mathematik Klasse 5 17 Aufgaben
ArithmetikTeilbarkeit

Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme es ist: Der Abschnitt bildet die Quersumme und begründet die Regel mit 100 = 99 + 1 und 10 = 9 + 1, sodass von jeder Stelle nur ein Rest 1 übrig bleibt (Hanna 2000: erklärender Beweis). Dazu kommt die Zusammensetzung: Durch 6 ist eine Zahl teilbar, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist. Er räumt die Endziffernregel, die auf 3 übertragen wird, die verwechselte Quersumme und „gerade genügt für 6“ aus. Er bereitet das zielgerichtete Faktorisieren und das Kürzen von Brüchen vor.

Die Quersumme

Die Quersumme einer Zahl ist die Summe ihrer Ziffern. Bei 4827 ist sie . Für die Teilbarkeit durch 3 gilt: Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist. Die 21 ist gleich , also ist 4827 durch 3 teilbar. Die Endziffer hilft hier nicht: 2419 endet auf 9, hat aber die Quersumme 16 und ist nicht durch 3 teilbar. Ein zweites Beispiel: 7236 hat die Quersumme 18, also ist 7236 durch 3 teilbar.

Ziffernkarten 4, 8, 2 und 7 mit der Summe 4 + 8 + 2 + 7 = 214+8+2+7= 21
Die Quersumme addiert die Ziffern, nicht ihre Stellenwerte.

Warum die Regel stimmt

Jeder Hunderter ist und jeder Zehner . Die Zahlen 99 und 9 sind Vielfache von 3. Bei 348 gilt deshalb . Der erste Teil geht immer durch 3 auf. Übrig bleibt je ein Punkt pro Hunderter, Zehner und Einer, und das ist die Quersumme. Genauso gilt es bei Tausendern, denn 1000 = 999 + 1.

Stelle Hunderter, Zehner und Einer ein. Was haben Zahl und Quersumme beim Teilen durch 3 gemeinsam?

Teilbarkeit durch 6

Wegen ist eine Zahl durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist. Man muss beides prüfen: 4810 ist gerade, hat aber die Quersumme 13. 4815 hat die Quersumme 18, ist aber ungerade. Erst 4812 erfüllt beide Regeln, und es gilt 4812 : 6 = 802. Auch 1236 ist gerade und hat die Quersumme 12, also ist 1236 durch 6 teilbar.

Zahlen von 1 bis 36; markiert sind die Vielfachen von 2, von 3 und von beiden123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536durch 2durch 3durch 2 und 3
Die Vielfachen von 6 tragen beide Farben: Sie sind durch 2 und durch 3 teilbar.

Voraussetzungen (1)

Teilbarkeit durch 2, 5 und 10
Klasse 5
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Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Wie groß ist die Quersumme der Zahl 4807?

  • ● 19
  • ○ 0
  • ○ 4
Die Quersumme ist die Summe der Ziffern: 4 + 8 + 0 + 7 = 19. Das Produkt der Ziffern wäre 0 (wegen der Null), und 4 ist nur die Anzahl der Ziffern.
Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Die Quersumme von 5090 ist 14.

✓ Wahr
5 + 0 + 9 + 0 = 14. Die Nullen zählen mit dem Wert 0 mit, sie ändern die Summe nicht.
Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Welche Zahl ist durch 3 teilbar?

  • ● 6135
  • ○ 3719
  • ○ 4720
Die Quersumme von 6135 ist 6 + 1 + 3 + 5 = 15 = 3 · 5, also ist 6135 durch 3 teilbar (6135 : 3 = 2045). 3719 endet auf 9, aber die Quersumme 20 ist nicht durch 3 teilbar. 4720 hat die Quersumme 13.
Wahr / Falsch #4 15s ▶ Testen

Die Zahl 5123 hat die Quersumme 11, also ist sie durch 3 teilbar.

✓ Falsch
11 ist nicht durch 3 teilbar (11 = 3 · 3 + 2). Deshalb ist auch 5123 nicht durch 3 teilbar: 5123 : 3 = 1707 Rest 2.
Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Von 736 = 7 · 100 + 3 · 10 + 6 wird der Teil 7 · 99 + 3 · 9 = 720 abgezogen. Welche Zahl bleibt übrig?

  • ● 16
  • ○ 6
  • ○ 10
736 − 720 = 16. Jeder Hunderter ist 99 + 1 und jeder Zehner 9 + 1: übrig bleibt je ein Punkt pro Hunderter, Zehner und Einer, also 7 + 3 + 6 = 16, die Quersumme. Die 720 ist ein Vielfaches von 3, deshalb entscheidet der Rest 16.
Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Die Zahl 749 und ihre Quersumme 20 lassen bei der Division durch 3 denselben Rest.

✓ Wahr
749 : 3 = 249 Rest 2 und 20 : 3 = 6 Rest 2. Das gilt immer: Zahl und Quersumme unterscheiden sich um ein Vielfaches von 3 (hier 749 − 20 = 729 = 3 · 243).
Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Welche Zahl ist durch 6 teilbar?

  • ● 5226
  • ○ 5228
  • ○ 5223
5226 ist gerade (Endziffer 6) und hat die Quersumme 15, ist also durch 2 und durch 3 teilbar: 5226 : 6 = 871. 5228 ist gerade, aber die Quersumme 17 ist nicht durch 3 teilbar. 5223 hat die Quersumme 12, ist aber ungerade.
Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Die Zahl 5235 ist durch 6 teilbar, denn ihre Quersumme 15 ist durch 3 teilbar.

✓ Falsch
Für die 6 braucht man beide Bedingungen. 5235 ist durch 3 teilbar, aber ungerade und damit nicht durch 2. 5235 : 6 = 872 Rest 3.
Mittel
Zahleneingabe #1 25s ▶ Testen

Bilde die Quersumme von 68359.

✓ Antwort: 31
6 + 8 + 3 + 5 + 9 = 31. Man addiert die Ziffern, nicht die Stellenwerte.
Lückentext #2 20s ▶ Testen

Setze die kleinste Ziffer ein, sodass 8_5 durch 3 teilbar ist: ___

✓ Antwort: 2
Die Quersumme 8 + x + 5 = 13 + x muss durch 3 teilbar sein. Für x = 0 ist die Quersumme 13, für x = 1 ist sie 14, erst für x = 2 ist sie 15 = 3 · 5. Also 825 (825 : 3 = 275).
Lückentext #3 20s ▶ Testen

Ergänze: 100 = 99 + ___

✓ Antwort: 1
99 = 3 · 33 ist ein Vielfaches von 3, also lässt 100 den Rest 1. Genauso ist 10 = 9 + 1 und 1000 = 999 + 1.
Lückentext #4 20s ▶ Testen

Die Zahl 924 ist gerade. Damit sie durch 6 teilbar ist, muss sie außerdem durch ___ teilbar sein.

✓ Antwort: 3
Wegen 6 = 2 · 3 braucht man beides. 924 ist durch 2 teilbar (Endziffer 4), und die Quersumme 9 + 2 + 4 = 15 ist durch 3 teilbar. Also ist 924 durch 6 teilbar: 924 : 6 = 154.
Schwer
Zahleneingabe #1 45s ▶ Testen

Welches ist die kleinste vierstellige Zahl mit der Quersumme 4?

✓ Antwort: 1003
Die erste Ziffer muss mindestens 1 sein. Die restlichen 3 Punkte der Quersumme stehen dann am besten ganz hinten: 1003 mit 1 + 0 + 0 + 3 = 4. Kleiner geht es nicht (1012 und 1021 sind größer).
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Wie viele der Zahlen 132, 245, 366, 408, 519 und 622 sind durch 3 teilbar?

✓ Antwort: 4
Die Quersummen sind 6, 11, 15, 12, 15 und 10. Durch 3 teilbar sind 6, 15, 12 und 15, also 132, 366, 408 und 519. Es sind 4 Zahlen.
Zahleneingabe #3 40s ▶ Testen

Bestimme den Rest von 4526 bei der Division durch 3, ohne zu dividieren.

✓ Antwort: 2
Die Quersumme ist 4 + 5 + 2 + 6 = 17, und 17 = 5 · 3 + 2. Also bleibt bei 4526 der Rest 2 (4526 = 3 · 1508 + 2).
KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Zerlege 462 in Hunderter, Zehner und Einer und schreibe jeden Hunderter als 99 + 1 und jeden Zehner als 9 + 1. Zeige damit, dass 462 durch 3 teilbar ist und 463 nicht. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: 462 = 4 · 100 + 6 · 10 + 2 = 4 · 99 + 4 + 6 · 9 + 6 + 2 = (4 · 99 + 6 · 9) + (4 + 6 + 2) = 450 + 12. Die 450 ist ein Vielfaches von 3 (4 · 99 + 6 · 9 = 396 + 54), und der Rest 12 ist es auch, also 462 = 3 · 154. Bei 463 ist der Rest 4 + 6 + 3 = 13 = 4 · 3 + 1. Das ist kein Vielfaches von 3, also ist 463 nicht durch 3 teilbar (Rest 1).
Der Teil mit den 99 und 9 ist immer durch 3 teilbar. Übrig bleibt die Quersumme: 12 bei 462 (durch 3 teilbar), 13 bei 463 (Rest 1).
Zahleneingabe #5 40s ▶ Testen

Wie viele der Zahlen 84, 90, 96, 100, 102, 105 und 114 sind durch 6 teilbar?

✓ Antwort: 5
84, 90, 96, 102 und 114 sind gerade und haben die Quersummen 12, 9, 15, 3 und 6. 100 hat die Quersumme 1, 105 ist ungerade. Es sind 5 Zahlen.