Ausklammern

Factoring out

Mathematik Klasse 7 17 Aufgaben

AlgebraTermeFaktorisieren

Ausklammern ist das Distributivgesetz rückwärts: Aus der Summe 6x + 9 wird das Produkt 3(2x + 3). Der Abschnitt zeigt am Rechteck mit gemeinsamer Seite, wie der gemeinsame Faktor gefunden wird, und räumt aus, nur einen Summanden zu teilen (6x + 9 = 3(2x + 9)), beim Ausklammern eines ganzen Summanden die 1 zu verlieren (5a + 5 = 5(a)) und die Struktur zu übersehen: Nach dem Ausklammern ist der Term ein Produkt (Malle 1993). Er bereitet das Faktorisieren mit den binomischen Formeln und das Kürzen von Bruchtermen (M8) vor.

Den gemeinsamen Faktor suchen

Ausklammern ist das Distributivgesetz rückwärts. In der Summe 6x + 9 steckt in beiden Summanden der Faktor 3: 6x = 3 · 2x und 9 = 3 · 3. Also gilt $6 x + 9 = 3 (2 x + 3)$ . Im Rechteck haben die Teilflächen 6x und 9 die Höhe 3 gemeinsam.

Du teilst jeden Summanden durch den gemeinsamen Faktor. Teilst du nur den ersten, entsteht der Fehler 3(2x + 9). Wird ein Summand ganz ausgeklammert, bleibt 1 übrig: 5a + 5 = 5(a + 1), nicht 5(a). Die Probe ist das Ausmultiplizieren.

Um den gemeinsamen Faktor zu finden, zerlegst du die Zahlen: 8 = 2 · 2 · 2 und 20 = 2 · 2 · 5 haben den Teiler 4 gemeinsam, also 8y + 20 = 4(2y + 5).

Verändere x. Welche Seite haben die beiden Teilflächen gemeinsam?

Variablen ausklammern, Summe wird Produkt

Auch eine Variable lässt sich ausklammern: $x^{2} + 3 x = x \cdot x + 3 \cdot x = x (x + 3)$ . Vollständig ausgeklammert wird der größte gemeinsame Faktor: 12x² + 18x = 6x(2x + 3).

Dabei ändert sich die Struktur: 6x + 9 ist eine Summe, 3(2x + 3) ist ein Produkt. Beim Ausklammern wird aus der Summe ein Produkt, beim Ausmultiplizieren wieder eine Summe.

Ausklammern und Ausmultiplizieren sind Umkehrungen: 3(2x + 3) → 6x + 9 → 3(2x + 3). Bist du unsicher, multiplizierst du dein Ergebnis wieder aus und vergleichst es mit dem Anfang.

Verändere x. Welche Seite teilen sich das Quadrat und der Streifen?

Voraussetzungen (1)

Ausmultiplizieren

Klasse 7

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Leicht

Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Klammere den Faktor 4 aus: 8x + 12 = 4 · (?)

● 2x + 3
○ 2x + 12
○ 8x + 3

Jeder Summand wird durch 4 geteilt: 8x : 4 = 2x und 12 : 4 = 3, also 4(2x + 3). Probe: 4 · 2x + 4 · 3 = 8x + 12. In den anderen Klammern wurde nur ein Summand geteilt.

Multiple Choice #2 20s ▶ Testen

Die beiden Teilflächen 4a und 12 haben die gemeinsame Höhe 4. Wie lässt sich die Gesamtfläche als Produkt schreiben?

● 4(a + 3)
○ 4(a + 12)
○ 4(4a + 3)

Die Breiten der Teilflächen sind a (denn 4a : 4 = a) und 3 (denn 12 : 4 = 3): 4(a + 3). 4(a + 12) teilt nur 4a durch 4, 4(4a + 3) nur die 12.

Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Die beiden Teilflächen 7b und 7 haben die gemeinsame Höhe 7. Welche Breite hat das ganze Rechteck?

● b + 1
○ b
○ b + 7

7b : 7 = b und 7 : 7 = 1: Die Breite ist b + 1, also 7b + 7 = 7(b + 1). Der Summand 7 ist 7 · 1, die 1 bleibt in der Klammer. b + 7 würde 7b + 49 ergeben.

Wahr / Falsch #4 15s ▶ Testen

2x + 2 = 2(x + 2)

✓ Falsch

Falsch. 2 = 2 · 1, also bleibt 1 in der Klammer: 2x + 2 = 2(x + 1). Für x = 1 ist 2 · 3 = 6, aber 2 · 1 + 2 = 4.

Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

Klammere x aus: x² + 5x = x · (?)

● x + 5
○ x + 5x
○ x² + 5

x² = x · x und 5x = 5 · x: Nach dem Ausklammern von x bleiben x und 5, also x(x + 5). Probe: x · x + x · 5 = x² + 5x. In x(x + 5x) wurde nur x² durch x geteilt, in x(x² + 5) nur 5x.

Multiple Choice #6 20s ▶ Testen

Das Quadrat m² und der Streifen 4m haben die gemeinsame Höhe m. Wie lässt sich die Gesamtfläche als Produkt schreiben?

● m(m + 4)
○ m(m + 4m)
○ m(m² + 4)

Die Breiten sind m (denn m² : m = m) und 4 (denn 4m : m = 4): m(m + 4). Probe: m · m + m · 4 = m² + 4m. m(m + 4m) teilt nur m² durch m, m(m² + 4) nur 4m.

Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Welcher Term ist ein Produkt?

● 2(5a + 4)
○ 2 · 5a + 4
○ 2 + (5a + 4)

Die Hauptoperation von 2(5a + 4) ist das Mal: Faktor 2 mal Klammer. 2 · 5a + 4 ist wegen Punkt vor Strich eine Summe aus 10a und 4, 2 + (5a + 4) ebenfalls eine Summe.

Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Welcher Term gehört zu diesem Rechenbaum?

● 4(a + 1)
○ 4 · a + 1
○ 4 + a + 1

Die Wurzel des Baums ist das Malzeichen, sein rechter Zweig die Summe a + 1: also 4 · (a + 1) = 4(a + 1). 4 · a + 1 hätte die Summe als Wurzel.

Mittel

Lückentext #1 20s ▶ Testen

Ergänze: 12x + 18 = 6 · (2x + ___)

✓ Antwort: 3

18 : 6 = 3. Probe: 6 · 2x + 6 · 3 = 12x + 18.

Lückentext #2 20s ▶ Testen

Ergänze: 8x + 8 = 8 · (x + ___)

✓ Antwort: 1

8 = 8 · 1. Beim Ausklammern des ganzen Summanden bleibt 1 übrig, nicht 0.

Lückentext #3 20s ▶ Testen

Ergänze: 4a² + 6a = 2a · (2a + ___)

✓ Antwort: 3

6a : 2a = 3 und 4a² : 2a = 2a. Probe: 2a · 2a + 2a · 3 = 4a² + 6a.

Lückentext #4 20s ▶ Testen

Ergänze (Summe oder Produkt): 5(a + 2) ist ein ___

✓ Antwort: Produkt

5(a + 2) ist Faktor 5 mal Klammer, die Hauptoperation ist das Mal: ein Produkt. Ausmultipliziert, 5a + 10, ist es eine Summe; Ausklammern macht aus der Summe wieder ein Produkt.

Schwer

Zahleneingabe #1 25s ▶ Testen

Rechne geschickt: 17 · 23 + 17 · 77 = 17 · (23 + 77). Wie groß ist das Ergebnis?

✓ Antwort: 1700

Der gemeinsame Faktor 17 wird ausgeklammert: 17 · (23 + 77) = 17 · 100 = 1700.

Zahleneingabe #2 25s ▶ Testen

Klammere aus: 6x + 6 = 6 · (x + 1). Wie groß ist der Wert des Produkts für x = 4?

✓ Antwort: 30

6 · (4 + 1) = 6 · 5 = 30. Probe mit der Summe: 6 · 4 + 6 = 30.

Zahleneingabe #3 35s ▶ Testen

Eine rechteckige Wiese hat den Flächeninhalt x² + 5x (in m²) und ist x m breit. Wie lang ist sie für x = 7 (in m)?

✓ Antwort: 12

x² + 5x = x(x + 5): Die Länge ist x + 5. Für x = 7: 12 m. Probe: 7 · 12 = 84 und 49 + 35 = 84.

Zahleneingabe #4 25s ▶ Testen

Es gilt 4a + 4b = 4(a + b). Wie groß ist der Wert für a + b = 7?

✓ Antwort: 28

4(a + b) = 4 · 7 = 28. Als Produkt lässt sich der Wert ablesen, ohne a und b einzeln zu kennen.

KI-bewertete Rechnung #5 240s ▶ Testen

Klammere den größtmöglichen gemeinsamen Faktor aus: 12x² + 18x. Erkläre, wie du den Faktor gefunden hast, prüfe durch Ausmultiplizieren und sage, ob der Term vorher und nachher eine Summe oder ein Produkt ist. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Gemeinsamer Faktor: 6 (größter gemeinsamer Teiler von 12 und 18) und x (steckt in x² und x): 6x. 12x² : 6x = 2x und 18x : 6x = 3, also 12x² + 18x = 6x(2x + 3). Probe: 6x · 2x + 6x · 3 = 12x² + 18x. Vorher eine Summe, nachher ein Produkt (Faktor 6x mal Klammer). Kontrolle für x = 3: 162 und 6 · 3 · (2 · 3 + 3) = 162.

Der größte gemeinsame Faktor ist 6x: 12x² + 18x = 6x(2x + 3). Ausmultiplizieren bestätigt es. Aus der Summe ist ein Produkt geworden.