Produkte und Potenzen

Produkte zusammenfassen

In einem Produkt darfst du die Faktoren beliebig ordnen. Deshalb multiplizierst du Zahlen mit Zahlen und Buchstaben mit Buchstaben: $3a\cdot 4b=(3\cdot 4)\cdot (a\cdot b)=12ab$. Im Rechteck sind das 3 · 4 = 12 Kacheln der Größe a × b.

Gleiche Buchstaben werden zur Potenz: 5x · 2x = 10x², nicht 10x. Bei der Summe addierst du die Koeffizienten, beim Produkt multiplizierst du sie.

Auch mit mehreren Faktoren klappt das: 2a · 3b · 5 = (2 · 3 · 5) · ab = 30ab.

Gleiche Basis

Eine Potenz ist ein Produkt gleicher Faktoren: $a^3=a\cdot a\cdot a$. Im Produkt a³ · a⁴ stehen 3 + 4 = 7 Faktoren a, also $a^3\cdot a^4=a^7$.

Bei gleicher Basis addierst du die Hochzahlen. Rechne nicht 3 · 4 = 12 und nicht die Basen: 2³ · 2⁴ ist 2⁷ = 128, nicht 4⁷. Ein einzelnes a hat die Hochzahl 1: a · a³ = a⁴.

Rechne so: x⁵ · x³ = x⁸, denn 5 + 3 = 8. Das Gesetz braucht gleiche Basen: a² · b³ lässt sich nicht zusammenfassen. Und a² + a³ ist eine Summe, sie ergibt nicht a⁵.

Gleicher Exponent

Haben zwei Potenzen dieselbe Hochzahl, ordnest du die Faktoren um: $2^3\cdot 5^3=(2\cdot 5{)}^3=10^3=1000$. Die Hochzahl bleibt, die Basen werden multipliziert: a³ · b³ = (ab)³.

Deshalb ist (2a)³ = 2³ · a³ = 8a³ und nicht 2a³: Die Hochzahl gilt für jeden Faktor in der Klammer.

Ein Beispiel: 4⁴ · 25⁴ = 100⁴, denn 4 · 25 = 100. Die Regel spart Rechenarbeit, wenn das Produkt der Basen eine runde Zahl ist.

Potenz einer Potenz

$(a^3{)}^2$ bedeutet a³ · a³: zwei Gruppen mit je drei Faktoren a, zusammen 3 · 2 = 6 Faktoren. Es gilt (a³)² = a⁶. Bei einer Potenz einer Potenz multiplizierst du die Hochzahlen.

Verwechsle das nicht mit dem Produkt a³ · a², bei dem du die Hochzahlen addierst und a⁵ erhältst. Zur Probe: (2³)² = 8² = 64 = 2⁶.

Die Regeln lassen sich kombinieren: (x²)³ · x = x⁶ · x = x⁷. Erst die Potenz einer Potenz, dann die gleiche Basis.