Dreiecke konstruieren

Constructing triangles

Mathematik Klasse 7 18 Aufgaben

GeometrieKonstruierenDreieckskonstruktionHöhe

Beim Konstruieren aus Bestimmungsstücken hilft eine Planfigur: eine freihändige Skizze mit beschrifteten Ecken und eingetragenen gegebenen Stücken. Eine gegebene Höhe h_c legt die Ecke C auf eine Parallele zu AB im Abstand h_c; ein zweites Stück legt C auf einen Kreis, der Schnittpunkt ist C, und es kann zwei, eine oder keine Lösung geben. Die Konstruktionsbeschreibung hält die Schritte nummeriert fest; ein rechtwinkliges Dreieck aus c und h_c nutzt den Thaleskreis. Die Station bereitet die Sachaufgaben, Flächenberechnungen mit Höhen und den Satz des Pythagoras vor.

Die Planfigur

Bevor du zeichnest, skizzierst du eine Planfigur: ein Dreieck aus freier Hand mit beschrifteten Ecken und den gegebenen Stücken. Beispiel: c = 7 cm, b = 5 cm und h_c = 4 cm. Die Planfigur muss nicht maßstabsgetreu sein (schalte um), aber die Angaben müssen an der richtigen Stelle stehen. Sie zeigt, welche Ecke noch fehlt, und damit die Reihenfolge: Mit AB = c beginnst du, weil dort zwei Ecken feststehen. Gesucht ist die Ecke C.

Schalte zwischen Planfigur und Konstruktion um. Was ist gleich, was ist anders?

Die Höhe ist ein Abstand

Die Höhe h_c ist der Abstand der Ecke C von der Geraden AB. Alle Punkte mit dem Abstand 4 cm von AB liegen auf zwei Parallelen zu AB, eine auf jeder Seite; wähle die obere. Außerdem ist AC = b = 5 cm, also liegt C auf dem Kreis um A mit dem Radius 5 cm. C ist ein Schnittpunkt von Parallele und Kreis. Es können zwei sein, dann gibt es zwei verschiedene Dreiecke. Bei h_c = 5 cm ist es einer. Ist die Höhe größer als b, gibt es keinen, denn C kann nicht weiter von AB entfernt sein als von A.

Verändere die Höhe h. Für welche Werte gibt es zwei, eine oder keine Ecke C?

Beschreibung und Thaleskreis

Die Konstruktionsbeschreibung hält jeden Schritt in Worten fest, in der Reihenfolge des Zeichnens. Beispiel: ein rechtwinkliges Dreieck mit $γ = 90°$ , c = 10 cm und h_c = 4,8 cm.

Zeichne AB = 10 cm.
Zeichne die Parallele p zu AB im Abstand 4,8 cm.
Zeichne den Thaleskreis über AB.
Die Schnittpunkte von p und Thaleskreis sind C₁ und C₂.
Zeichne das Dreieck ABC₁.

Warum der Thaleskreis? Ein rechter Winkel bei C bedeutet nach der Umkehrung des Thalessatzes: C liegt auf dem Thaleskreis über AB. Die beiden Lösungen sind Spiegelbilder, also kongruent; die Seiten sind 6 cm und 8 cm lang.

Gehe mit dem Regler die Schritte durch. Welche zwei Linien legen die Ecke C fest?

Voraussetzungen (1)

Die Umkehrung des Thalessatzes

Klasse 7

›

Ermöglicht (1)

Konstruktionen in Sachaufgaben

Klasse 7

›

Leicht

Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Aufgabe: Konstruiere das Dreieck ABC mit a = 5 cm, b = 4 cm und γ = 60°. Zwischen welchen beiden Seiten liegt in der Planfigur der Winkel γ?

● Zwischen a und b
○ Zwischen b und c
○ Zwischen a und c

γ liegt bei der Ecke C. Bei C treffen sich die Seiten a = BC und b = CA. Diese Lage legt die Reihenfolge fest: Man beginnt mit dem Winkel zwischen a und b.

Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Die Skizze ist eine brauchbare Planfigur zur Aufgabe: a = 5 cm, b = 4 cm, γ = 60°.

✓ Falsch

Eine Planfigur muss nicht maßstabsgetreu sein, aber die Angaben müssen an der richtigen Stelle stehen. Hier ist 60° bei A eingetragen, verlangt ist γ bei C.

Multiple Choice #3 25s ▶ Testen

Gegeben sind AB = 7 cm und h_c = 4 cm. Auf welcher Linie liegt die Ecke C?

● Auf einer Parallele zu AB im Abstand 4 cm
○ Auf dem Kreis um A mit dem Radius 4 cm
○ Auf der Mittelsenkrechten von AB

Die Höhe h_c ist der Abstand von C zur Geraden AB. Alle Punkte mit diesem Abstand liegen auf Parallelen zu AB. Ein Kreis um A würde den Abstand zu A festlegen, nicht zu AB.

Im Bild tippen #4 15s ▶ Testen

Tippe auf die Höhe h_c.

✓ Antwort: hc

Die Höhe h_c gehört zur Seite c = AB: Sie führt von der gegenüberliegenden Ecke C senkrecht auf die Gerade AB. hb und ha gehören zu den Seiten b und a.

Multiple Choice #5 45s ▶ Testen

Aufgabe: c = 7 cm, b = 5 cm, h_c = 4 cm. Welche Konstruktionsbeschreibung stimmt?

● 1. AB = 7 cm. 2. Parallele zu AB im Abstand 4 cm. 3. Kreis um A mit r = 5 cm. 4. Schnittpunkt C.
○ 1. Kreis um A mit r = 5 cm. 2. AB = 7 cm. 3. Schnittpunkt C. 4. Parallele zu AB im Abstand 4 cm.
○ 1. AB = 7 cm. 2. Kreis um B mit r = 5 cm. 3. Parallele zu AB im Abstand 4 cm. 4. Schnittpunkt C.

Zuerst die gegebene Grundseite AB. Dann die beiden Linien, auf denen C liegt (Parallele für h_c, Kreis um A für b), zuletzt ihr Schnittpunkt. Ein Kreis um B würde b an die falsche Ecke legen.

Sortieren #6 50s ▶ Testen

Bringe die Schritte der Konstruktion (a = 6 cm, b = 5 cm, c = 8 cm) in die richtige Reihenfolge.

✓ Antwort: Strecke AB = 8 cm zeichnen,Kreis um A mit r = 5 cm zeichnen,Kreis um B mit r = 6 cm zeichnen,Schnittpunkt C markieren,Dreieck ABC zeichnen

Erst die Grundseite AB, dann die zwei Kreise (b = AC um A, a = BC um B), dann der Schnittpunkt C und zuletzt das Dreieck.

Multiple Choice #7 30s ▶ Testen

Konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit γ = 90°, c = 10 cm und h_c = 4,8 cm. Auf welchen beiden Linien liegt C?

● Auf dem Thaleskreis über AB und auf einer Parallele zu AB im Abstand 4,8 cm
○ Auf dem Kreis um A mit r = 10 cm und auf einer Parallele zu AB im Abstand 4,8 cm
○ Auf dem Thaleskreis über AB und auf der Mittelsenkrechten von AB

γ = 90° bedeutet: C liegt auf dem Thaleskreis über AB (Umkehrung des Satzes von Thales). h_c = 4,8 cm bedeutet: C liegt auf einer Parallele zu AB im Abstand 4,8 cm.

Im Bild tippen #8 15s ▶ Testen

Gesucht ist ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse AB und h_c = 4,8 cm. Tippe auf eine mögliche Ecke C.

✓ Antwort: E1

C muss auf dem Thaleskreis über AB liegen (rechter Winkel) und auf der Parallele im Abstand 4,8 cm (Höhe). Nur E1 liegt auf beiden.

Mittel

Lückentext #1 20s ▶ Testen

Vor dem Zeichnen skizzierst du zur Aufgabe eine ___.

✓ Antwort: Planfigur

Die Planfigur ist die freihändige Skizze mit allen gegebenen Stücken; sie hilft, die Reihenfolge der Konstruktion zu finden.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Die Höhe h_c beträgt 3,5 cm. Wie weit ist die Parallele zu AB, auf der die Ecke C liegt, von AB entfernt (in cm)?

✓ Antwort: 3.5

Die Ecke C hat von AB den Abstand h_c. Also liegt die Parallele 3,5 cm von AB entfernt.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Aufgabe: a = 6 cm, b = 5 cm, c = 8 cm. Du zeichnest AB und dann einen Kreis um A, auf dem die Ecke C liegen muss. Welchen Radius hat dieser Kreis (in cm)?

✓ Antwort: 5

C hat von A den Abstand b = AC = 5 cm (b ist die Seite gegenüber B, sie liegt zwischen C und A). Der Kreis um A hat also den Radius 5 cm.

Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Ein rechtwinkliges Dreieck mit γ = 90° und c = 10 cm hat die Höhe h_c. Wie groß kann h_c höchstens sein (in cm)?

✓ Antwort: 5

C liegt auf dem Thaleskreis über AB mit Radius 5 cm. Der größte Abstand von AB ist der Radius, also h_c ≤ 5 cm; bei größerem h_c schneidet die Parallele den Kreis nicht.

Schwer

Zahleneingabe #1 25s ▶ Testen

Aufgabe: c = 8 cm, α = 40°, β = 65°. In der Planfigur soll auch γ stehen. Wie groß ist γ (in Grad)?

✓ Antwort: 75

Die Winkelsumme im Dreieck ist 180°: γ = 180° − 40° − 65° = 75°.

Zahleneingabe #2 40s ▶ Testen

Gegeben: c = 7 cm, b = 5 cm und h_c = 3 cm. Der Kreis um A mit Radius 5 cm schneidet die Parallele im Abstand 3 cm zu AB, auf der Seite über AB, in wie vielen Punkten?

✓ Antwort: 2

Die Parallele ist 3 cm von AB entfernt, der Radius ist 5 cm. Weil 3 < 5 ist, schneidet der Kreis die Parallele in zwei Punkten C₁ und C₂. Es gibt zwei (verschiedene) Dreiecke.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Beschreibung: 1. Zeichne AB = 7 cm. 2. Zeichne die Parallele zu AB im Abstand 4 cm. 3. Zeichne den Kreis um A mit r = 5 cm. 4. Der Schnittpunkt der Parallele mit dem Kreis ist C. Wie weit ist C von der Geraden AB entfernt (in cm)?

✓ Antwort: 4

C liegt auf der Parallele (Schritt 2 und 4), also hat C von AB den Abstand 4 cm, die Höhe h_c.

KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Konstruiere alle Dreiecke ABC mit c = 7 cm, b = 5 cm und h_c = 4 cm. Zeichne zuerst eine Planfigur, schreibe die Konstruktionsbeschreibung in nummerierten Schritten auf und entscheide, wie viele verschiedene Dreiecke es gibt. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Planfigur mit c, b, h_c. 1. AB = 7 cm. 2. Parallele p zu AB im Abstand 4 cm. 3. Kreis um A mit r = 5 cm. 4. Schnittpunkte C₁ und C₂ von p und Kreis (beide Seiten von A: C₁ 3 cm rechts, C₂ 3 cm links von A auf p). 5. Dreiecke ABC₁ und ABC₂. Es gibt zwei verschiedene Dreiecke (BC₁ ≈ 5,7 cm, BC₂ ≈ 10,8 cm).

Die Parallele im Abstand 4 cm und der Kreis um A mit r = 5 cm schneiden sich in zwei Punkten; beide Dreiecke haben c, b und h_c wie verlangt, sind aber nicht kongruent.

Zahleneingabe #5 30s ▶ Testen

C liegt auf dem Thaleskreis über AB, und ∠CAB = 37°. Wie groß ist ∠ABC (in Grad)?

✓ Antwort: 53

C auf dem Thaleskreis bedeutet γ = 90°. Winkelsumme: ∠ABC = 180° − 90° − 37° = 53°.

KI-bewertete Rechnung #6 240s ▶ Testen

Konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit γ = 90°, c = 10 cm und h_c = 4,8 cm. Zeichne eine Planfigur, schreibe die Konstruktionsbeschreibung auf und begründe, warum C auf dem Thaleskreis liegt. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: Planfigur mit rechtem Winkel bei C und Höhe h_c. 1. AB = 10 cm. 2. Parallele p zu AB im Abstand 4,8 cm. 3. Mittelpunkt M von AB, Thaleskreis um M mit r = 5 cm. 4. Schnittpunkte C₁ und C₂ von p und Thaleskreis. 5. Dreieck ABC₁. Begründung: γ = 90° ⇒ C liegt auf dem Thaleskreis über AB (Umkehrung); C₂ ist das Spiegelbild von C₁ an der Mittelsenkrechten von AB, also ist das Dreieck kongruent (Seiten 6 cm und 8 cm).

Zwei Bedingungen legen C fest: der rechte Winkel (Thaleskreis über AB) und die Höhe (Parallele im Abstand h_c). Ihre Schnittpunkte sind die möglichen Ecken C.