Extrem- und Wendepunkte

Extreme and inflection points

Mathematik Klasse 12 16 Aufgaben

AnalysisAbleitungenExtremaWendepunkte

Bei Verknüpfungen mit sin und cos hat f′(x) = 0 unendlich viele Lösungen; in einem Intervall sucht man sie an der Kurve und mit der Symmetrie (cos x = −0,5 liefert 2π/3 und 4π/3), nicht nur mit der Rechnerlösung. Ob ein Extremum vorliegt, entscheidet der Vorzeichenwechsel von f′ oder das Vorzeichen von f″ — x + sin x hat bei π eine waagrechte Tangente, aber einen Terrassenpunkt. Wendestellen sind Nullstellen von f″ mit Vorzeichenwechsel. Der Abschnitt räumt ein, dass f′ = 0 kein Extremum garantiert, und bereitet die Schwingung im Sachkontext vor.

Nullstellen der Ableitung

Wir untersuchen $f (x) = x + 2 sin x$ auf $[0; 2 π]$ . Für einen Extrempunkt muss die Tangente waagrecht sein, also $f^{'} (x) = 1 + 2 cos x = 0$ , das heißt $cos x = - 0, 5$ . Der Rechner (RAD) liefert $cos^{- 1} (- 0, 5) = \frac{2 π}{3} \approx 2, 09$ — aber nur eine Lösung. Die Kosinuskurve schneidet die Gerade $y = - 0, 5$ in $[0; 2 π]$ zweimal; die zweite Lösung folgt aus der Symmetrie: $2 π - \frac{2 π}{3} = \frac{4 π}{3} \approx 4, 19$ .

Bei $\frac{2 π}{3}$ wechselt $f^{'}$ von + nach −: Hochpunkt. Bei $\frac{4 π}{3}$ wechselt sie von − nach +: Tiefpunkt. Dasselbe zeigt $f^{''} (x) = - 2 sin x$ : Es ist $f^{''} (\frac{2 π}{3}) = - 3 < 0$ und $f^{''} (\frac{4 π}{3}) = + 3 > 0$ .

Ziehe x₀ und finde die beiden Stellen, an denen die Steigung 0 ist.

Kein Extremum

$f^{'} (x) = 0$ ist nur eine notwendige Bedingung. Bei $g (x) = x + sin x$ ist $g^{'} (x) = 1 + cos x$ nie negativ und bei $x = π$ gleich 0. Dort liegt die Tangente waagrecht, aber $g^{'}$ ist links und rechts von π positiv: Es gibt keinen Vorzeichenwechsel, die Kurve steigt weiter. Der Punkt $(π ∣ π)$ ist ein Terrassenpunkt, kein Extrempunkt. Erst der Vorzeichenwechsel von $g^{'}$ entscheidet.

Ziehe x₀ über π und achte darauf, ob die Steigung ihr Vorzeichen wechselt.

Wendestellen

Wendestellen sind Nullstellen von $f^{''}$ mit Vorzeichenwechsel. Für $f (x) = sin x$ ist $f^{''} (x) = - sin x$ , im Intervall $(0; 2 π)$ also nur bei $x = π$ gleich 0. Dort geht die Kurve von der Rechtskurve ( $f^{''} < 0$ ) in die Linkskurve ( $f^{''} > 0$ ) über; die Wendetangente hat die Steigung −1. Extrem- und Wendestellen liegen bei der Sinuskurve an verschiedenen Stellen: Extrema bei $\frac{π}{2} + k π$ , Wendestellen bei $k π$ .

Die Sinuskurve f (blau) und f″ = −sin x (violett) schneiden sich bei π: dort liegt die Wendestelle W(π | 0), f″ wechselt das Vorzeichen.

Voraussetzungen (1)

Summen und Produkte mit sin

Klasse 12

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Leicht

Multiple Choice #1 25s ▶ Testen

Welche Lösungen hat die Gleichung cos x = 0 im Intervall [0; 2π]?

● x = π/2 und x = 3π/2
○ nur x = π/2
○ x = 0 und x = π

Die Kosinuskurve schneidet die x-Achse zweimal: bei π/2 (fallend) und bei 3π/2 (steigend). Der Rechner liefert nur die erste Lösung π/2. Bei 0 und π ist cos x gleich 1 und −1, nicht 0.

Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Die Gleichung sin x = 0 hat im Intervall [0; 2π] genau zwei Lösungen.

✓ Falsch

Falsch: Die Sinuskurve schneidet die x-Achse bei 0, π und 2π. Das sind drei Lösungen.

Multiple Choice #3 25s ▶ Testen

Ein Rechner liefert für sin x = 0,5 die Lösung x = 0,524 (Bogenmaß). Welche weitere Lösung hat die Gleichung im Intervall [0; π]?

● 2,618
○ 1,047
○ 3,665

Die Sinuskurve ist symmetrisch zu x = π/2: Die zweite Lösung ist π − 0,524 ≈ 2,618. 1,047 wäre 2·0,524 und 3,665 wäre π + 0,524; beides liegt nicht auf der Geraden y = 0,5.

Multiple Choice #4 25s ▶ Testen

Die Abbildung zeigt g(x) = x + sin x. Bei x = π ist g′(π) = 0. Was liegt im Punkt P vor?

● Terrassenpunkt (kein Extremum)
○ Hochpunkt
○ Tiefpunkt

g′(x) = 1 + cos x ist links und rechts von π positiv: g′ wechselt das Vorzeichen nicht, die Kurve steigt weiter. Bei einem Hoch- oder Tiefpunkt müsste g′ von + nach − oder von − nach + wechseln.

Wahr / Falsch #5 15s ▶ Testen

Für f(x) = x − sin x gilt f′(0) = 0. Also hat f an der Stelle 0 einen Extrempunkt.

✓ Falsch

Falsch: f′(x) = 1 − cos x ist zwar bei 0 gleich 0, bleibt aber links und rechts davon positiv. Ohne Vorzeichenwechsel von f′ gibt es kein Extremum: f steigt durch (0 | 0) hindurch, die Kurve hat dort einen Terrassenpunkt.

Multiple Choice #6 25s ▶ Testen

Für f(x) = x + 2·sin x ist f′(x) = 1 + 2·cos x und f′(2π/3) = 0. Wie ändert f′ dort sein Vorzeichen?

● von + nach −
○ von − nach +
○ gar nicht

Links von 2π/3 ≈ 2,09 ist f′ positiv (f′(2) ≈ 0,168), rechts negativ (f′(2,2) ≈ −0,177). Ein Wechsel von + nach − bedeutet einen Hochpunkt.

Multiple Choice #7 25s ▶ Testen

Welcher der drei Punkte liegt auf einer Wendestelle der Sinuskurve?

● B
○ A
○ C

B liegt bei x = π: Dort ist f″(x) = −sin x = 0 und wechselt das Vorzeichen. A (Hochpunkt) und C (Tiefpunkt) sind Extremstellen mit f′ = 0, aber f″ = −1 beziehungsweise +1.

Wahr / Falsch #8 15s ▶ Testen

Die Kosinuskurve hat an der Stelle x = π/2 eine Wendestelle.

✓ Wahr

Für f(x) = cos x ist f″(x) = −cos x, und cos(π/2) = 0. Bei π/2 wechselt −cos x das Vorzeichen, also liegt dort eine Wendestelle.

Multiple Choice #9 25s ▶ Testen

Wo liegen die Wendestellen der Kosinuskurve im Intervall [0; 2π]? (Es gilt f″(x) = −cos x.)

● x = π/2 und x = 3π/2
○ x = 0, x = π und x = 2π
○ nur x = π

f″(x) = −cos x = 0 gilt bei π/2 und 3π/2, und dort wechselt f″ das Vorzeichen. Bei 0, π und 2π liegen die Extremstellen (f′ = −sin x = 0).

Mittel

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Wie viele Lösungen hat die Gleichung cos x = 0 im Intervall [0; 4π]?

✓ Antwort: 4

Die Kosinuskurve hat in jeder Periode 2π zwei Nullstellen: π/2, 3π/2, 5π/2 und 7π/2. Das sind 4 Lösungen.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Für f(x) = x + 2·sin x gilt f″(x) = −2·sin x. Berechne f″(2π/3) auf 2 Dezimalen.

✓ Antwort: -1.732051

f″(2π/3) = −2·sin(2π/3) = −2·(√3/2) = −√3 ≈ −1,73. Negativ heißt: Rechtskurve, also Hochpunkt.

Zahleneingabe #3 30s ▶ Testen

Wie viele Wendestellen hat die Sinuskurve im offenen Intervall (0; 2π)?

✓ Antwort: 1

f″(x) = −sin x ist im offenen Intervall (0; 2π) nur bei x = π gleich 0. Es gibt eine Wendestelle.

Schwer

Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Für f(x) = x + 2·sin x ist f′(x) = 1 + 2·cos x. Löse f′(x) = 0 und gib die kleinste positive Lösung auf 2 Dezimalen an.

✓ Antwort: 2.094395

1 + 2·cos x = 0 führt auf cos x = −0,5. Der Rechner (RAD) liefert x = cos⁻¹(−0,5) = 2π/3 ≈ 2,09. Das ist die kleinste positive Lösung; die zweite ist 4π/3.

Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Der Hochpunkt von f(x) = x + 2·sin x liegt bei x = 2π/3. Berechne seinen y-Wert auf 2 Dezimalen.

✓ Antwort: 3.826446

f(2π/3) = 2π/3 + 2·sin(2π/3) = 2π/3 + √3 ≈ 2,0944 + 1,7321 ≈ 3,83.

KI-bewertete Rechnung #3 240s ▶ Testen

Bestimme für f(x) = x + 2·sin x im Intervall [0; 2π] alle Stellen mit waagrechter Tangente und entscheide mit der zweiten Ableitung, ob dort ein Hoch- oder Tiefpunkt liegt. Gib auch die y-Werte an. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: f′(x) = 1 + 2·cos x = 0 ⇒ cos x = −1/2 ⇒ x₁ = 2π/3 und x₂ = 4π/3 (zweite Lösung aus 2π − 2π/3). f″(x) = −2·sin x. f″(2π/3) = −√3 < 0: Hochpunkt (2π/3 | 2π/3 + √3) ≈ (2,09 | 3,83). f″(4π/3) = +√3 > 0: Tiefpunkt (4π/3 | 4π/3 − √3) ≈ (4,19 | 2,46).

Beide Lösungen von cos x = −0,5 in [0; 2π] gehören dazu. f″(2π/3) < 0: Hochpunkt, f″(4π/3) > 0: Tiefpunkt.

Zahleneingabe #4 30s ▶ Testen

Die Kurve von f(x) = 2x + sin x hat bei x = π eine Wendestelle. Wie groß ist die Steigung der Wendetangente?

✓ Antwort: 1

f′(x) = 2 + cos x, also f′(π) = 2 + cos π = 2 − 1 = 1.