Punkte im Raum

Points in space

Mathematik Klasse 12 16 Aufgaben
GeometrieKoordinatenAnalytische Geometrie

Ein Punkt im Raum wird durch drei Koordinaten P(x₁ | x₂ | x₃) festgelegt, in fester Reihenfolge: x₁ auf den Betrachter zu, x₂ nach rechts, x₃ nach oben. Der Abschnitt zeigt, wie man einen Punkt Schritt für Schritt einzeichnet und im Schrägbild abliest, und warum das Bild allein einen Punkt nicht festlegt: Die x₁-Achse ist um den Faktor ½√2 verkürzt, eine gezeichnete Länge ist keine Koordinate. Räumt aus, Koordinaten nach der Lage im Bild zu lesen oder Bildlängen für Koordinaten zu halten. Bereitet besondere Lagen, Spiegelpunkte und Ortsvektoren vor.

Die drei Achsen

Um die Drohne zu finden, legen wir drei zueinander senkrechte Zahlengeraden durch einen gemeinsamen Punkt, den Ursprung O: Die x₁-Achse zeigt auf dich zu, die x₂-Achse nach rechts, die x₃-Achse nach oben. Ein Punkt hat dann drei Koordinaten, immer in dieser Reihenfolge:

Bei ist , und . Die Höhe über dem Boden, der x₁x₂-Ebene, ist die dritte Koordinate. Koordinaten dürfen auch negativ sein: Ein negatives x₃ liegt unter dem Boden, ein negatives x₂ links von O und ein negatives x₁ von dir weg. Gestrichelte Hilfslinien zeigen den Quader von O bis P.

Verändere x₁, x₂ und x₃ mit den Reglern. Wo liegt P, wenn x₃ = 0 ist?

Vom Ursprung zum Punkt

Einen Punkt zeichnest du in drei Schritten von O aus ein: erst x₁ Einheiten entlang der x₁-Achse, dann x₂ Einheiten parallel zur x₂-Achse, zuletzt x₃ Einheiten parallel zur x₃-Achse. Bei sind das 3, 4 und 2 Einheiten. Die Reihenfolge der Schritte ist beliebig, jeder Weg endet im selben Punkt. Steigt ein Punkt senkrecht nach oben, ändert sich nur x₃: Drei Einheiten höher wird aus der Punkt . Zum Ablesen gehst du den Weg rückwärts: vom Punkt senkrecht hinunter zur x₁x₂-Ebene und dann parallel zu den Achsen zurück.

Ändere die Koordinaten und folge den drei Pfeilen: rot, grün, blau.

Das Schrägbild

Das Papier ist flach, der Raum nicht. Darum zeichnet man x₂ und x₃ in wahrer Länge, die x₁-Achse aber schräg unter 45° und auf verkürzt: Pro Einheit rückt der Bildpunkt eine halbe Einheit nach links und eine halbe nach unten. Eine gezeichnete Länge ist deshalb keine Koordinate: Gezeichnet gilt „wahre Länge mal 0,71“, eine x₁-Kante von 6 Einheiten erscheint nur etwa 4,2 lang. Und ein Bildpunkt genügt nicht: , und haben dasselbe Bild. Erst die Hilfslinien machen den Punkt eindeutig.

Schiebe x₁ von 0 bis 4: Der Bildpunkt P bleibt stehen, die Hilfslinien nicht.

Ermöglicht (2)

Besondere Lagen
Klasse 12
›
Vektoren als Verschiebungen
Klasse 12
›
Leicht
Multiple Choice #1 20s ▶ Testen

Im Schrägbild ist der Punkt P mit Hilfslinien eingezeichnet. Welche Koordinaten hat P?

  • ● P(2 | 4 | 3)
  • ○ P(4 | 2 | 3)
  • ○ P(2 | 3 | 4)
Die Hilfslinien führen zu x₁ = 2 auf der schrägen Achse, x₂ = 4 auf der waagerechten und x₃ = 3 auf der senkrechten. Man schreibt sie in der Reihenfolge x₁, x₂, x₃.
Wahr / Falsch #2 15s ▶ Testen

Bei P(1 | 6 | 3) ist 6 die Höhe des Punktes über der x₁x₂-Ebene.

✓ Falsch
Die Höhe ist die dritte Koordinate x₃ = 3. Die 6 ist die x₂-Koordinate (nach rechts).
Multiple Choice #3 20s ▶ Testen

Ein Punkt liegt 5 Einheiten in Richtung x₂, 1 Einheit in Richtung x₃ und −2 Einheiten in Richtung x₁ von O entfernt. Wie schreibt man ihn?

  • ● P(−2 | 5 | 1)
  • ○ P(5 | −2 | 1)
  • ○ P(5 | 1 | −2)
Die Koordinaten stehen immer in der Reihenfolge x₁, x₂, x₃: (−2 | 5 | 1). Die Reihenfolge der Beschreibung im Text ist nicht die der Koordinaten.
Multiple Choice #4 20s ▶ Testen

Du zeichnest P(2 | 3 | 4) ein. Welcher Weg führt von O zu P?

  • ● 2 entlang der x₁-Achse, 3 parallel zur x₂-Achse, 4 parallel zur x₃-Achse
  • ○ 2 entlang der x₂-Achse, 3 parallel zur x₁-Achse, 4 parallel zur x₃-Achse
  • ○ 2 entlang der x₁-Achse, 3 parallel zur x₃-Achse, 4 parallel zur x₂-Achse
Die erste Zahl gehört zur x₁-Achse, die zweite zur x₂-Achse, die dritte zur x₃-Achse. Vertauscht man die Achsen, landet man in einem anderen Punkt.
Multiple Choice #5 20s ▶ Testen

F(3 | 2 | 0) liegt in der x₁x₂-Ebene. Der Punkt S liegt im Bild senkrecht über F, 3 Einheiten höher. Welche Koordinaten hat S?

  • ● S(3 | 2 | 3)
  • ○ S(3 | 5 | 0)
  • ○ S(6 | 2 | 0)
Senkrecht nach oben ändert nur x₃: von 0 auf 0 + 3 = 3. Die Koordinaten x₁ = 3 und x₂ = 2 bleiben.
Wahr / Falsch #6 15s ▶ Testen

Man erreicht R(2 | 4 | 3), wenn man von O erst 2 Einheiten in x₁-Richtung, dann 3 Einheiten in x₃-Richtung und zuletzt 4 Einheiten in x₂-Richtung geht.

✓ Wahr
Jede Koordinate wird in ihrer eigenen Achsenrichtung abgetragen. Die Reihenfolge der drei Schritte ist beliebig, das Ziel (2 | 4 | 3) bleibt dasselbe.
Multiple Choice #7 20s ▶ Testen

Ein Würfel mit der Kantenlänge 4 cm hat eine Ecke in O. Wie lang zeichnest du im Schrägbild seine Kante entlang der x₁-Achse (1 Einheit = 1 cm)?

  • ● ca. 2,8 cm
  • ○ 4 cm
  • ○ 2 cm
Die x₁-Achse wird auf ½√2 ≈ 0,71 verkürzt: 4 · 0,71 ≈ 2,8 cm. Ein bloßes Halbieren (2 cm) ist nicht der Faktor der Vereinbarung.
Multiple Choice #8 20s ▶ Testen

Im Achsenkreuz fehlen die Beschriftungen. Welche Achse ist die schräg gezeichnete, verkürzte?

  • ● die x₁-Achse
  • ○ die x₂-Achse
  • ○ die x₃-Achse
Im Schrägbild kommt x₁ auf den Betrachter zu und wird schräg unter 45° gezeichnet; x₂ läuft waagerecht, x₃ senkrecht.
Wahr / Falsch #9 15s ▶ Testen

Die Punkte A(2 | 2 | 2) und B(4 | 3 | 3) werden im Schrägbild an derselben Stelle gezeichnet. Dann sind A und B derselbe Punkt.

✓ Falsch
Beide haben dasselbe Bild (x₂ − x₁/2 = 1 und x₃ − x₁/2 = 1), aber verschiedene Koordinaten. Das Bild allein legt einen Raumpunkt nicht fest.
Mittel
Zahleneingabe #1 15s ▶ Testen

Welche x₃-Koordinate hat der Punkt R(7 | 2 | 9)?

✓ Antwort: 9
Die x₃-Koordinate steht an dritter Stelle: 9.
Lückentext #2 15s ▶ Testen

Von O zu P(5 | 1 | 2): Die ersten 5 Einheiten laufen entlang der x___-Achse.

✓ Antwort: 1
Die erste Koordinate 5 gehört zur x₁-Achse.
Zahleneingabe #3 35s ▶ Testen

Wie lang zeichnest du im Schrägbild die Strecke von O nach (5 | 0 | 0) (1 Einheit = 1 cm, auf 0,1 cm genau)?

✓ Antwort: 3.5
5 · ½√2 = 3,536 ≈ 3,5 cm.
Schwer
Zahleneingabe #1 30s ▶ Testen

Eine Drohne schwebt im Punkt D(2 | 5 | 1) (Einheit: 1 m). Sie steigt senkrecht um 3 m. Welche x₃-Koordinate hat ihr neuer Ort?

✓ Antwort: 4
Steigen ändert nur die Höhe x₃: 1 + 3 = 4. Der neue Ort ist (2 | 5 | 4).
Zahleneingabe #2 30s ▶ Testen

Der Punkt A(2 | 3 | 4) wird eingezeichnet. Wie viele Einheiten liegt A über der x₁x₂-Ebene?

✓ Antwort: 4
Der Abstand zur x₁x₂-Ebene ist die x₃-Koordinate: 4 Einheiten.
Zahleneingabe #3 40s ▶ Testen

Im Schrägbild ist die x₁-Kante eines Quaders 3 cm lang gezeichnet (1 Einheit = 1 cm). Wie viele Einheiten lang ist die Kante in Wirklichkeit (auf 0,1 genau)?

✓ Antwort: 4.2
Gezeichnet = wahre Länge · ½√2, also wahre Länge = 3 : ½√2 ≈ 4,243 ≈ 4,2. Die 3 cm sind nicht die wahre Länge.
KI-bewertete Rechnung #4 240s ▶ Testen

Zeichne ein Schrägbild des Koordinatensystems (x₁ unter 45° auf ½√2 verkürzt, x₂ waagerecht, x₃ senkrecht, 1 Einheit = 1 cm). Trage A(4 | 0 | 0), B(4 | 3 | 0) und C(4 | 3 | 2) mit Hilfslinien ein. Wie lang ist die Strecke OA im Bild, und warum darfst du die x₁-Koordinate nicht am Bild abmessen? Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.

✓ Antwort: A: 4 Einheiten auf der x₁-Achse, im Bild 4 · ½√2 ≈ 2,8 cm (2 cm nach links und 2 cm nach unten). B: von A 3 cm nach rechts. C: von B 2 cm nach oben. Die x₁-Richtung ist um ½√2 verkürzt und schräg, deshalb ist die gezeichnete Länge 2,8 cm nicht die Koordinate 4; die Koordinate liest man am Achsenmaßstab ab.
Im Schrägbild werden alle Punkte durch drei Schritte entlang der Achsen konstruiert. Nur x₂ und x₃ erscheinen in wahrer Länge; die x₁-Länge wird mit ½√2 multipliziert.