Vektoren als Verschiebungen
Vectors as translations
Ein Vektor beschreibt eine Verschiebung: Alle gleich langen, gleich gerichteten Pfeile stellen denselben Vektor dar, wo der Pfeil beginnt, ist gleichgültig. Im Raum gibt man ihn als Spaltenvektor mit drei Zahlen an, je eine für jede Achsenrichtung; der Pfeil von O zu einem Punkt P ist sein Ortsvektor mit den Koordinaten von P. Räumt das Fehlbild „ein Vektor ist ein fester Pfeil an einem Ort“ aus und die Verwechslung von Punkt und Ortsvektor (Nguyen & Meltzer 2003). Bereitet den Verbindungsvektor, das Rechnen mit Vektoren und später Geradengleichungen vor.
Die Drohne fliegt weiter: 1 nach vorn, 2 nach rechts, 2 nach oben. Diese Bewegung heißt
Verschiebung, und sie hängt nicht davon ab, wo die Drohne startet. Ein
Ein Vektor ist also kein fester Ort. Zwei Pfeile an verschiedenen Stellen stellen denselben Vektor dar, wenn sie gleich lang und gleich gerichtet sind, und ein Pfeil, der im Ursprung beginnt, ist nur einer von unendlich vielen.
Im Raum gibt man einen Vektor durch drei Zahlen an, den Spaltenvektor:
Er verschiebt um
Der Pfeil vom Ursprung O zu einem Punkt P heißt Ortsvektor
Voraussetzungen (1)
Ermöglicht (2)
Der Pfeil von A(0 | 0 | 0) nach B(2 | 0 | 1) stellt einen Vektor dar. Welcher Pfeil stellt denselben Vektor dar?
Die Pfeile a und b im Bild sind gleich lang. Sie stellen denselben Vektor dar.
Im Bild sind drei Pfeile gezeichnet. Welche stellen denselben Vektor dar?
Eine Drohne fliegt 3 m in x₁-Richtung, 2 m gegen die x₂-Richtung und 4 m nach oben. Welcher Vektor beschreibt den Flug?
Der Vektor (0; 0; 5) beschreibt eine Verschiebung um 5 Einheiten senkrecht nach oben.
Welcher Vektor beschreibt die Verschiebung vom Punkt A zum Punkt B im Bild?
Wie lautet der Ortsvektor des Punktes P(3 | −1 | 5)?
Der Ortsvektor des Punktes A(0 | 4 | 0) ist der Pfeil vom Ursprung zu A und hat die Zahlen (0; 4; 0).
Der Pfeil vom Ursprung O zum Punkt P ist eingezeichnet. Welcher Vektor ist OP?
Der Pfeil von P(1 | 1 | 1) nach Q(4 | 3 | 2) stellt einen Vektor dar. Um wie viele Einheiten verschiebt er in x₂-Richtung?
Der Vektor (4; −1; 6) verschiebt einen Punkt. Um wie viele Einheiten ändert sich die x₃-Koordinate?
Der Ortsvektor von R ist (7; 2; −4). Welche x₃-Koordinate hat R?
Der Pfeil von A(1 | 2 | 3) nach B(2 | 4 | 3) stellt einen Vektor dar. Derselbe Vektor wird am Punkt C(5 | 0 | 1) angesetzt und endet in D. Welche x₂-Koordinate hat D?
Der Punkt A(1 | 2 | 3) wird durch den Vektor (2; 0; −5) verschoben. Welche x₃-Koordinate hat der Bildpunkt?
Der Ortsvektor von P ist (2; 5; 1). Der Punkt Q entsteht aus P durch Verschiebung um (1; −3; 4). Welche x₂-Koordinate hat Q?
Der Vektor v = (2; −1; 3) verschiebt den Punkt A(1 | 4 | 2) in den Punkt B. Bestimme B und zeichne v als Pfeil ab A. Gib die Ortsvektoren von A und B an und begründe in zwei Sätzen, warum der Pfeil von O nach B nicht derselbe Vektor ist wie der Pfeil von A nach B. Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.