Stufen- und Wechselwinkel
Corresponding and alternate angles
Wird ein Paar paralleler Geraden von einer dritten geschnitten, entstehen acht Winkel. Stufenwinkel liegen an beiden Schnittpunkten in derselben Lage und sind an Parallelen gleich; das ist der Fundamentalsatz, den wir voraussetzen. Wechselwinkel liegen innen auf verschiedenen Seiten und folgen als abgeleiteter Satz aus Stufen- und Scheitelwinkeln. Die Station räumt aus, dass die Gleichheit auch an nicht parallelen Geraden gelte oder dass Stufen- und Wechselwinkel dasselbe seien. Bereitet den Beweis der Winkelsumme im Dreieck, die Winkelketten und die Umkehrung vor.
Stufenwinkel an Parallelen
Nun verläuft eine zweite Leitung parallel zur ersten, und eine dritte Leitung t schneidet beide. Diese
Doppelkreuzung hat zwei Schnittpunkte und acht Winkel. Stufenwinkel liegen an beiden
Schnittpunkten in derselben Lage: beide oben rechts, beide unten links. Sind g und h parallel, sind
Stufenwinkel gleich groß:
Diesen Satz beweisen wir nicht. Er ist unser Ausgangspunkt, ein Fundamentalsatz: Alles Weitere bauen wir darauf auf. Die Lage entscheidet, nicht die Größe: Neigst du die Schneidende, ändern sich beide Winkel, doch sie bleiben gleich.
Wechselwinkel
Wechselwinkel liegen zwischen den Parallelen auf verschiedenen Seiten der Schneidenden, etwa unten links bei g und oben rechts bei h. Auch sie sind gleich groß, und diesmal brauchen wir keinen neuen Grundsatz. Der Stufenwinkel des Winkels bei g liegt unten links bei h. Sein Scheitelwinkel liegt oben rechts bei h.
Stufenwinkel sind gleich, Scheitelwinkel sind gleich – also sind auch die Wechselwinkel gleich. Der Satz über Wechselwinkel ist ein abgeleiteter Satz: Er folgt aus Sätzen, die schon feststehen.
Nur an Parallelen
Die Gleichheit gilt nur, wenn g und h parallel sind. Kippe die Gerade h ein wenig: Die Stufenwinkel unterscheiden sich sofort, und zwar genau um den Kippwinkel, den Winkel, um den h aus der parallelen Lage gedreht wurde. Auf ein Zeichenblatt ist dabei kein Verlass: Zwei Geraden, die fast parallel aussehen, sind es oft nicht. Wer Parallelität behauptet, braucht einen Grund, keinen Augenschein.
Voraussetzungen (1)
Ermöglicht (1)
g und h sind parallel. Welcher der Winkel β, γ, δ ist der Stufenwinkel von α?
g ∥ h. Ein Winkel misst 64° oben rechts bei g. Sein Stufenwinkel bei h (auch oben rechts) misst 116°.
g und h sind parallel. Welcher der Winkel β, γ, δ ist der Wechselwinkel von α?
In der Figur ist α unten rechts bei g und γ oben links bei h markiert. Die Winkel α und γ sind Wechselwinkel.
g ∥ h und α = 70°. Welcher Weg führt von α zum Wechselwinkel, ohne zu messen?
g ∥ h und α = 70°. Der Stufenwinkel von α misst 70°, dessen Scheitelwinkel misst 70°. Also misst der Wechselwinkel von α 70°.
In der Skizze (nicht maßstabsgetreu) misst α = 70° und der Stufenwinkel β = 76°. Was gilt für g und h?
g und h sind nicht parallel. Trotzdem sind ihre Stufenwinkel gleich groß.
g und h sind nicht parallel; eine dritte Gerade schneidet beide. Sind die Stufenwinkel dann gleich groß?
g und h laufen aufeinander zu; eine dritte Gerade schneidet beide. Sind die Wechselwinkel dann gleich groß?
Eine dritte Gerade schneidet g und h; zwei Stufenwinkel messen 80° und 80°. Sind g und h dann parallel?
Eine dritte Gerade schneidet g und h; zwei Wechselwinkel messen 63° und 63°. Sind g und h dann parallel?
g ∥ h. Ein Winkel misst 74°. Wie groß ist sein Stufenwinkel (in °)?
g ∥ h. Ein Winkel misst 115°. Wie groß ist sein Wechselwinkel (in °)?
Der Wechselwinkel eines Winkels ist der ___winkel seines Stufenwinkels.
Stufenwinkel sind nur dann gleich groß, wenn die Geraden ___ sind.
g und h sind parallel; eine dritte Gerade schneidet beide. An g misst ein Winkel 50°. Wie viel Grad misst sein Stufenwinkel an h?
g und h sind parallel; eine dritte Gerade schneidet beide. An g misst ein Winkel 64°. Wie viel Grad misst sein Stufenwinkel an h?
g und h sind parallel; eine dritte Gerade schneidet beide. An g misst ein Winkel 75°. Wie viel Grad misst sein Wechselwinkel an h?
g und h sind parallel; eine dritte Gerade schneidet beide. An g misst ein Winkel 42°. Wie viel Grad misst sein Wechselwinkel an h?
Ein Balken schneidet zwei parallele Latten. Bei der oberen Latte misst der Winkel links unten 63°. Wie groß ist der Winkel links unten bei der unteren Latte (in °)?
Vom Turm aus sieht man ein Boot unter dem Tiefenwinkel 27° (von der Waagerechten am Turm nach unten gemessen). Wie groß ist der Winkel am Boot zwischen der Wasserlinie und der Blicklinie zum Turm (in °)?
g ∥ h. Der Winkel unten links bei g misst 55°. Wie groß ist der Nebenwinkel seines Wechselwinkels (in °)?
Zwei parallele Geraden g und h werden von einer Geraden t geschnitten. Der Winkel oben rechts bei g misst 64°. Bestimme alle acht Winkel und nenne bei jedem Schritt die Beziehung (Nebenwinkel, Scheitelwinkel, Stufenwinkel oder Wechselwinkel). Schreibe deine Rechnung auf Papier und fotografiere sie.
Zwei Geraden g und h werden von t geschnitten. Die Stufenwinkel messen 67° und 71°. Um wie viel Grad weicht h von einer Parallelen zu g ab?